多伦县第一中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题


多伦县第一中学 2018-2019 学年上学期高三数学 10 月月考试题 班级__________ 一、选择题
1. 设 f ( x) 是偶函数,且在 (0, ??) 上是增函数,又 f (5) ? 0 ,则使 f ( x) ? 0 的的取值范围是( A. ?5 ? x ? 0 或 x ? 5 A.AB?α B. x ? ?5 或 x ? 5 B.AB?α D.以上都不对 ) D.向下平移 1 个单位 ) B.向右平移 1 个单位 B.{x|﹣1<x<1} C.向上平移 1 个单位 C. ?5 ? x ? 5 ) 2. 线段 AB 在平面 α 内,则直线 AB 与平面 α 的位置关系是( C.由线段 AB 的长短而定 A.向左平移 1 个单位 A.{x|x>3}     5. 复数 ) D. x ? ?5 或 0 ? x ? 5

座号_____

姓名__________

分数__________

3. (文科)要得到 g ? x ? ? log 2 2 x 的图象,只需将函数 f ? x ? ? log 2 x 的图象(

4. 已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x)=2x﹣4(x>0) ,则{x|f(x﹣1)>0}等于( C.{x|﹣1<x<1 或 x>3} D.{x|x<﹣1}

1 ? 2i 在复平面内所对应的点位于( 1? i
B.第二象限 )
2 2

) C.第三象限 D.第四象限

A.第一象限 6. 下列命题正确的是(
2

A.已知实数 a, b ,则“ a ? b ”是“ a ? b ”的必要不充分条件 B.“存在 x0 ? R ,使得 x0 ? 1 ? 0 ”的否定是“对任意 x ? R ,均有 x ? 1 ? 0 ”
2
1

C.函数 f ( x) ? x 3 ? ( ) 的零点在区间 ( , ) 内
x

1 2

1 1 3 2

D.设 m, n 是两条直线, ? , ? 是空间中两个平面,若 m ? ? , n ? ? , m ? n 则 ? ? ? 7. 数列{an}满足 an+2=2an+1﹣an,且 a2014,a2016 是函数 f(x)= a2000+a2012+a2018+a2030)的值是( A.2 B.3 C.4 ,b=0.8 D.5 ,c=log20.5,则 a、b、c 的大小关系是( C.a<b<c ) D.b<a<c ) +6x﹣1 的极值点,则 log2(

8. 设 a=0.5 A.c<b<a 9.

B.c<a<b

如图所示,已知四边形 ABCD 的直观图是一个边长为的正方形,则原图形的周长


为(

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A. 2 2

B. )

C.

D. 4 2+2

10.如图是某几何体的三视图,正视图是等腰梯形,俯视图中的曲线是两个同心的半圆组成的半圆环,侧视图 是直角梯形.则该几何体表面积等于(

A.12+

B.12+23π

C.12+24π

D.12+ )

π

11.数列 1,3,6,10,…的一个通项公式是( A. an ? n ? n ? 1
2

B. an ?

n(n ? 1) 2

C. an ?

n(n ? 1) 2

D. an ? n ? 1
2

12.两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和底面圆周都在同一个球面上.若圆锥底面面积是球面面积的 则这两个圆锥的体积之比为( ) A.2:1 B.5:2 C.1:4 D.3:1



二、填空题
13.设全集 U={0,1,2,3,4},集合 A={0,1,2},集合 B={2,3},则(?UA)∪B=  . 14.圆柱形玻璃杯高 8cm,杯口周长为 12cm,内壁距杯口 2cm 的点 A 处有一点蜜糖.A 点正对面的外壁(不 是 A 点的外壁)距杯底 2cm 的点 B 处有一小虫.若小虫沿杯壁爬向蜜糖饱食一顿,最少要爬多少       cm.(不计杯壁厚度与小虫的尺寸)

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15.设实数 x,y 满足 .  

,向量 =(2x﹣y,m), =(﹣1,1).若 ∥ ,则实数 m 的最大值为    

16.定义在 R 上的可导函数 f ( x) ,已知

y?e

f′ ? x?

的图象如图所示,则 y ? f ( x) 的增区间是 ▲



三、解答题
17.如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧面 AA1C1C⊥底面 ABC,AA1=A1C=AC=2,AB=BC,且 AB⊥BC,O 为 1 AC 中点. O 1 1O⊥平面 2 ABC; x (Ⅰ)证明:A (Ⅱ)求直线 A1C 与平面 A1AB 所成角的正弦值; (Ⅲ)在 BC1 上是否存在一点 E,使得 OE∥平面 A1AB,若不存在,说明理由 ; 若存在,确定点 E 的位置.

y

 

18.(本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? ax ? bx ? ln x ( a, b ? R ).
2

(1)当 a ? ?1, b ? 3 时,求函数 f ? x ? 在 ? , 2 ? 上的最大值和最小值; ?2 ? 出 b 的值;若不存在,说明理由;

?1

?

(2)当 a ? 0 时,是否存在实数 b ,当 x ? ? 0, e ? ( e 是自然常数)时,函数 f ( x) 的最小值是 3,若存在,求

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19.在某大学自主招生考试中,所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科 目的考试,成绩分为 A,B,C,D,E 五个等级.某考场考生的两科考试成绩的数据统计如图所示,其中“数 学与逻辑”科目的成绩为 B 的考生有 10 人.

(Ⅰ)求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为 A 的人数; (Ⅱ)若等级 A,B,C,D,E 分别对应 5 分,4 分,3 分,2 分,1 分,求该考场考生“数学与逻辑”科目的 平均分; (Ⅲ)已知参加本考场测试的考生中,恰有两人的两科成绩均为 A.在至少一科成绩为 A 的考生中,随机抽 取两人进行访谈,求这两人的两科成绩均为 A 的概率.  

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20.已知椭圆

+

=1(a>b>0)的离心率为

,且 a2=2b.

(1)求椭圆的方程; (2)直线 l:x﹣y+m=0 与椭圆交于 A,B 两点,是否存在实数 m,使线段 AB 的中点在圆 x2+y2=5 上,若存 在,求出 m 的值;若不存在,说明理由.

21.(14 分)已知函数 f ( x) ? mx ? a ln x ? m , g ( x) ? (1)求 g ( x) 的极值; 3 分

x e
x ?1

,其中 m,a 均为实数.

(2)设 m ? 1, a ? 0 ,若对任意的 x1 , x2 ? [3, 4] ( x1 ? x2 ) , f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 5分

1 1 ? 恒成立,求 a 的最小值; g ( x2 ) g ( x1 )

(3)设 a ? 2 ,若对任意给定的 x0 ? (0, e] ,在区间 (0, e] 上总存在 t1 , t2 (t1 ? t2 ) ,使得 f (t1 ) ? f (t2 ) ? g ( x0 ) 成立, 求 m 的取值范围. 6 分

22.如图,已知椭圆 C:

+y2=1,点 B 坐标为(0,﹣1) ,过点 B 的直线与椭圆 C 另外一个交点为 A,且线

段 AB 的中点 E 在直线 y=x 上 (Ⅰ)求直线 AB 的方程 (Ⅱ)若点 P 为椭圆 C 上异于 A,B 的任意一点,直线 AP,BP 分别交直线 y=x 于点 M,N,证明:OM?ON 为定值.

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多伦县第一中学 2018-2019 学年上学期高三数学 10 月月考试题(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】B

考 点:函数的奇偶性与单调性. 【思路点晴】本题主要考查函数的单调性、函数的奇偶性,数形结合的数学思想方法.由于函数是偶函数,所 以定义域关于原点对称,图象关于 y 轴对称,单调性在 y 轴两侧相反,即在 x ? 0 时单调递增,当 x ? 0 时, 函数单调递减.结合 f (5) ? 0 和对称性,可知 f ( ?5) ? 0 ,再结合函数的单调性,结合图象就可以求得最后的 解集.1 2. 【答案】A 【解析】解:∵线段 AB 在平面 α 内, ∴直线 AB 上所有的点都在平面 α 内, ∴直线 AB 与平面 α 的位置关系: 直线在平面 α 内,用符号表示为:AB?α 故选 A. 【点评】本题考查了空间中直线与直线的位置关系及公理一,主要根据定义进行判断,考查了空间想象能力. 公理一:如果一条线上的两个点在平面上则该线在平面上.   3. 【答案】C 【解析】 试题分析: g ? x ? ? log 2 2 x ? log 2 2 ? log 2 x ? 1 ? log 2 x ,故向上平移个单位. 考点:图象平移. 4. 【答案】C 【解析】解:当 x>0 时,由 f(x)>0 得 2x﹣4>0,得 x>2, ∵函数 f(x)是奇函数, 当 x<0 时,﹣x>0,则 f(﹣x)=2﹣x﹣4=﹣f(x), 即 f(x)=4﹣2﹣x,x<0, 当 x<0 时,由 f(x)>0 得 4﹣2﹣x>0,得﹣2<x<0, 即 f(x)>0 得解为 x>2 或﹣2<x<0,

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由 x﹣1>2 或﹣2<x﹣1<0, 得 x>3 或﹣1<x<1, 即{x|f(x﹣1)>0}的解集为{x|﹣1<x<1 或 x>3}, 故选:C. 【点评】本题主要考查不等式的求解,根据函数奇偶性的性质先求出 f(x)>0 的解集是解决本题的关键.   5. 【答案】C 【解析】

6. 【答案】C 【解析】

考 点:1.不等式性质;2.命题的否定;3.异面垂直;4.零点;5.充要条件. 【方法点睛】本题主要考查不等式性质,命题的否定,异面垂直,零点,充要条件.充要条件的判定一般有① 定义法:先分清条件和结论(分清哪个是条件,哪个是结论),然后找推导关系(判断 p ? q, q ? p 的真假), 最后下结论(根据推导关系及定义下结论). ②等价转化法:条件和结论带有否定性词语的命题,常转化为其逆 否命题来判断. 7. 【答案】C 【解析】解:函数 f(x)= ∵a2014,a2016 是函数 f(x)= +6x﹣1,可得 f′(x)=x2﹣8x+6, +6x﹣1 的极值点,

∴a2014,a2016 是方程 x2﹣8x+6=0 的两实数根,则 a2014+a2016=8. 数列{an}中,满足 an+2=2an+1﹣an, 可知{an}为等差数列, ∴a2014+a2016=a2000+a2030,即 a2000+a2012+a2018+a2030=16, 从而 log2(a2000+a2012+a2018+a2030)=log216=4. 故选:C.

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【点评】熟练掌握利用导数研究函数的极值、等差数列的性质及其对数的运算法则是解题的关键.   8. 【答案】B 【解析】解:∵a=0.5 ∴0<a<b, ∵c=log20.5<0, ∴c<a<b, 故选 B. 【点评】本题主要考查了对数值、指数值大小的比较,常常与中间值进行比较,属于基础题.   9. 【答案】C 【解析】 ,b=0.8 ,

考 点:平面图形的直观图. 10.【答案】C 【解析】解:根据几何体的三视图,得; 该几何体是一半圆台中间被挖掉一半圆柱, 其表面积为 S=[ ×(2+8)×4﹣2×4]+[ ×π?(42﹣12)+ ×(4π× =12+24π. 故选:C. 【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题,也考查了空间想象能力与计算能力的应用问题,是基础题 目.   11.【答案】C 【解析】 试题分析:可采用排除法,令 n ? 1 和 n ? 2 ,验证选项,只有 an ? 考点:数列的通项公式. 12.【答案】D 【解析】解:设球的半径为 R,圆锥底面的半径为 r,则 πr2= ×4πR2= ,∴r= . ﹣π× )+ ×8π]

n(n ? 1) ,使得 a1 ? 1, a2 ? 3 ,故选 C. 2

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∴球心到圆锥底面的距离为 ∴两个圆锥的体积比为 : 故选:D.  

= .∴圆锥的高分别为 和 =1:3.



二、填空题
13.【答案】 {2,3,4} . 【解析】解:∵全集 U={0,1,2,3,4},集合 A={0,1,2}, ∴CUA={3,4}, 又 B={2,3}, ∴(CUA)∪B={2,3,4}, 故答案为:{2,3,4}   14.【答案】 10 cm 【解析】解:作出圆柱的侧面展开图如图所示,设 A 关于茶杯口的对称点为 A′, 则 A′A=4cm,BC=6cm,∴A′C=8cm, ∴A′B= 故答案为:10. =10cm.

【点评】本题考查了曲面的最短距离问题,通常转化为平面图形来解决.   15.【答案】 6 . 【解析】解:∵ 若 ∥ , ∴2x﹣y+m=0, 即 y=2x+m, 作出不等式组对应的平面区域如图: =(2x﹣y,m), =(﹣1,1).

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平移直线 y=2x+m, 由图象可知当直线 y=2x+m 经过点 C 时,y=2x+m 的截距最大,此时 z 最大. 由 解得 , ,代入 2x﹣y+m=0 得 m=6.

即 m 的最大值为 6. 故答案为:6

【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用 m 的几何意义结合数形结合,即可求出 m 的最大值.根据向量 平行的坐标公式是解决本题的关键.   16.【答案】(﹣∞,2) 【解析】 试题分析:由 x

? 2时e

f′ ? x?

? 1 ? f ?( x) ? 0 , x ? 2时e

f′ ? x?

? 1 ? f ?( x) ? 0 ,所以 y ?

f ( x) 的

增区间是(﹣∞,2) 考点:函数单调区间

三、解答题
17.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)证明:因为 A1A=A1C,且 O 为 AC 的中点, 所以 A1O⊥AC. 又由题意可知,平面 AA1C1C⊥平面 ABC, 交线为 AC,且 A1O?平面 AA1C1C, 所以 A1O⊥平面 ABC. (Ⅱ)如图,以 O 为原点,OB,OC,OA1 所在直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系.

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由题意可知,A1A=A1C=AC=2,又 AB=BC,AB⊥BC,∴ 所以得:



则有:



设平面 AA1B 的一个法向量为 n=(x,y,z),则有 令 y=1,得 所以 . 因为直线 A1C 与平面 A1AB 所成角 θ 和向量 n 与 (Ⅲ)设 即 所以 令 OE∥平面 A1AB,得 即﹣1+λ+2λ﹣λ=0,得 , , ,得 , ,得 , 所成锐角互余,所以 .





即存在这样的点 E,E 为 BC1 的中点.

【点评】本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成的角、三角函数等知识,考查数形结合、化归与转化 的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力   18.【答案】

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【解析】【命题意图】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值、不等式的解法等基础知识,意在考查逻辑 思维能力、等价转化能力、分析与解决问题的能力、探究能力、运算求解能力.

(2)当 a ? 0 时, f ? x ? ? bx ? ln x . 假设存在实数 b ,使 g ? x ? ? bx ? ln x x ? ? 0, e ? 有最小值 3,

?

?

f ?( x) ? b ?

1 bx ? 1 ? .………7 分 x x 4 (舍去).………8 分 e

①当 b ? 0 时, f ( x) 在 ? 0, e ? 上单调递减, f ( x) min ? f ? e ? ? be ? 1 ? 3, b ? ②当 0 ?

1 ? 1? ?1 ? ? e 时, f ( x) 在 ? 0, ? 上单调递减,在 ? , e ? 上单调递增, b ? b? ?b ? ?1? 2 ∴ f ( x) min ? g ? ? ? 1 ? ln b ? 3, b ? e ,满足条件.……………………………10 分 ?b? 1 4 ③当 ? e 时, f ( x) 在 ? 0, e ? 上单调递减, f ( x) min ? g ? e ? ? be ? 1 ? 3, b ? (舍去),………11 分 b e 2 综上,存在实数 b ? e ,使得当 x ? ? 0, e ? 时,函数 f ( x) 最小值是 3.……………………………12 分
19.【答案】

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【解析】解:(Ⅰ)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为 B 的考生有 10 人, 所以该考场有 10÷0.25=40 人, 所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为 A 的人数为: 40×(1﹣0.375﹣0.375﹣0.15﹣0.025)=40×0.075=3 人; (Ⅱ)该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为: ×=2.9; (Ⅲ)因为两科考试中,共有 6 人得分等级为 A,又恰有两人的两科成绩等级均为 A, 所以还有 2 人只有一个科目得分为 A, 设这四人为甲,乙,丙,丁,其中甲,乙是两科成绩都是 A 的同学, 则在至少一科成绩等级为 A 的考生中,随机抽取两人进行访谈,基本事件空间为: Ω={{甲,乙},{甲,丙},{甲,丁},{乙,丙},{乙,丁},{丙,丁}},一共有 6 个基本事件. 设“随机抽取两人进行访谈,这两人的两科成绩等级均为 A”为事件 B,所以事件 B 中包含的基本事件有 1 个, 则 P(B)= .

【点评】本小题主要考查统计与概率的相关知识,具体涉及到频率分布直方图、平均数及古典概型等内容.   20.【答案】 【解析】解:(1)由题意得 e= 解得 a= ,b=c=1 =1; = ,a2=2b,a2﹣b2=c2,

故椭圆的方程为 x2+

(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2), 线段 AB 的中点为 M(x0,y0). 联立直线 y=x+m 与椭圆的方程得, 即 3x2+2mx+m2﹣2=0, △=(2m)2﹣4×3×(m2﹣2)>0,即 m2<3, x1+x2=﹣ 所以 x0= 即 M(﹣ , , =﹣ ,y0=x0+m= ,

).又因为 M 点在圆 x2+y2=5 上,

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可得(﹣

)2+(

)2=5,

解得 m=±3 与 m2<3 矛盾. 故实数 m 不存在. 【点评】本题考查椭圆的方程的求法,注意运用离心率公式,考查直线和椭圆方程联立,运用韦达定理和中点 坐标公式,考查存在性问题的解法,属于中档题.   e(1 ? x) 21.【答案】解:(1) g ?( x) ? ,令 g ?( x) ? 0 ,得 x = 1. ex 列表如下: x
g ?( x)

(?∞,1) ? ↗

1 0 极大值

(1,?∞) ? ↘ ∵ g ( 1 ) = 1 ,∴ y = g ( x) 大 值 为 1 , 无 极 小

g(x) 的极 值. 3分

(2)当 m ? 1, a ? 0 时, f ( x) ? x ? a ln x ? 1 , x ? (0, ??) . ∵ f ?( x) ?
x?a ? 0 在 [3, 4] 恒成立,∴ f ( x) 在 [3, 4] 上为增函数. x

设 h( x ) ?

e x ?1 ( x ? 1) 1 ex >0 ? ,∵ h?( x) ? x2 g ( x) ex
1 1 等价 ? g ( x2 ) g ( x1 )

在 [3, 4] 恒成立, ∴ h( x) 在 [3, 4] 上为增函数. 于 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? h( x2 ) ? h( x1 ) , 即 f ( x2 ) ? h( x2 ) ? f ( x1 ) ? h( x1 ) . 设 x2 ? x1 ,则 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?

1 ex 设 u ( x) ? f ( x) ? h( x) ? x ? a ln x ? 1 ? ? ,则 u(x)在 [3, 4] 为减函数. e x a 1 e x ( x ? 1) e x ?1 x ?1 ≤ 0 a ≥ x ? e ? ∴ u ?( x) ? 1 ? ? ? 在( 3 , 4 )上恒成立. ∴ 恒成立. x e x2 x e x ?1 e x ?1 ( x ? 1) 1 1 3 设 v( x) ? x ? e x ?1 ? ,∵ v?( x) ? 1 ? e x ?1 ? = 1 ? e x ?1 [( ? ) 2 ? ] ,x?[3,4], x x2 x 2 4 1 1 3 3 ∴ e x ?1 [( ? ) 2 ? ] ? e2 ? 1 ,∴ v?( x) < 0, v( x) 为减函数. x 2 4 4 2 ∴ v( x) 在[3,4]上的最大值为 v(3) = 3 ? e2 . 3 2 2 2 2 ∴a≥3 ? e ,∴ a 的最小值为 3 ? e . 8分 3 3
(3)由(1)知 g ( x) 在 (0, e] 上的值域为 (0,1] . ∵ f ( x) ? mx ? 2 ln x ? m , x ? (0, ??) ,

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当 m ? 0 时, f ( x) ? ?2 ln x 在 (0, e] 为减函数,不合题意. 2 m( x ? ) m 当 m ? 0 时, f ?( x) ? ,由题意知 f ( x) 在 (0, e] 不单调, x 2 2 所以 0 ? ? e ,即 m ? .① m e 2 2 此时 f ( x) 在 (0, ) 上递减,在 ( , e) 上递增, m m 3 ∴ f (e)≥1 ,即 f (e) ? me ? 2 ? m≥1 ,解得 m≥ .② e ?1 3 由①②,得 m≥ . e ?1 2 ∵ 1 ? (0, e] ,∴ f ( ) ≤ f (1) ? 0 成立. m 2 下证存在 t ? (0, ] ,使得 f (t ) ≥1. m 2 取 t ? e? m ,先证 e? m ? ,即证 2em ? m ? 0 .③ m 3 设 w( x) ? 2e x ? x ,则 w?( x) ? 2e x ? 1 ? 0 在 [ , ??) 时恒成立. e ?1 3 3 ∴ w( x) 在 [ , ??) 时为增函数.∴ w( x)≥ w( ) ? 0 ,∴③成立. e ?1 e ?1 再证 f (e? m ) ≥1.
3 3 时,命题成立. ? 1 ,∴ m≥ e ?1 e ?1 3 综上所述, m 的取值范围为 [ 14 分 , ??) . e ?1 22.【答案】

∵ f (e? m ) ? me? m ? m ? m≥

【解析】(Ⅰ)解:设点 E(t,t),∵B(0,﹣1),∴A(2t,2t+1), ∵点 A 在椭圆 C 上,∴ 整理得:6t2+4t=0,解得 t=﹣ 或 t=0(舍去), ∴E(﹣ ,﹣ ),A(﹣ ,﹣ ), ∴直线 AB 的方程为:x+2y+2=0; (Ⅱ)证明:设 P(x0,y0),则 , ,

直线 AP 方程为:y+ =

(x+ ),

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联立直线 AP 与直线 y=x 的方程,解得:xM= 直线 BP 的方程为:y+1= , ,



联立直线 BP 与直线 y=x 的方程,解得:xN= ∴OM?ON= =2?| |xM| |xN| |?| |

= |

|

= |

|

= | = .

|

【点评】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题,考查求直线的方程、线段乘积为定值等问题,考查运算求解能 力,注意解题方法的积累,属于中档题.  

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