2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系(公开课)


2.1.2空间中直线与直线 之间的位置关系

学习目标
(1)理解异面直线的定义、画法; (2)了解空间中两条直线的位置关系; (3)理解并掌握平行公理、等角定理; (4)了解异面直线所成角的定义、范围及 计算。

立交桥

一、异面直线:
定义1:不同在任何一个平面内的两条直线 叫做异面直线。

D1 A1
D A B1

C1

C B

注意: 分别在某两个平面内的两条直线不一定 是异面直线, 它们可能是相交,也可能是平行.

【解析】 如图所示, 与 AB 异面的直线有 B1C1; CC1, A1D1, DD1 四条, 因为各棱具有相同的位置且正方体共有 12 条棱, 12×4 排除两棱的重复计算,共有异面直线 =24(对) . 2

二、空间两直线的位置关系:
想一想:在空间中两条直线的位置关系? (1)相交直线——有且只有一个公共点

(2)平行直线——在同一平面内,没有公 共点 (3)异面直线——不同在任何一个平面内, 没有公共点

三:异面直线的画法:
b A

?

b

?

a

?
b

a

?

a

“经过这两条 直线无法作出 一个平面” .

【解析】如题干图(1)中,直线 GH∥MN;图(2)中,G、H、N 三点共面,但 M?面 GHN,因此直线 GH 与 MN 异面;图(3)中,连接 MG,GM∥HN,因此 GH 与 MN 共面;图(4)中,G、M、N 共面, 但 H?面 GMN,∴GH 与 MN 异面.所以图(2) 、 (4)中 GH 与 MN 异面.

我们知道,在同一平面内, 如果两条直线都和第三条 直线平行,那么这两条直线互相平行.在空间这一规律是 否还成立呢?

D1 A1 D B1

C1

C B

A

公理4:在空间中平行于同一条直线的两 条直线互相平行.
———平行线的传递性 推广:在空间平行于一条已知直线的所有直线都 互相平行.

例1:已知ABCD是四个顶点不在同一个平面内 的空间四边形,E,F,G,H分别是AB,BC, CD,DA的中点,连结EF,FG,GH,HE,求 证:EFGH是一个平行四边形。
证明: 连结BD
∵ EH是△ABD的中位线 1 ∴EH ∥BD且EH = BD
2

A

H E D B F

1 同理,FG ∥BD且FG = 2 BD

G
C

∴EH ∥FG且EH =FG
∴EFGH是一个平行四边形

解题思想: 把所要解的立体几何问题转化为平面几何的问题

四: 等角定理
问题:在平面上,我们容易证明“如果一个角的 两边和另一个角的两边分别平行,那么这两个角 相等或互补”。

在空间中,结论是否仍然成立呢?

定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行, 那么这两个角相等或互补。

A B D E F
C
?

?
B D F

A
C
?

?

E

五. 异面直线所成的角的定义
问题:在平面上,两条直线相交成4个角,我 们把其中不大于90°的角称为它们的夹角。

在空间中,我们同样可以考察两条直线的 夹角。那么,两条异面直线的夹角应该如 何定义呢?

m
?

m?
l
m

o
l'
l

l'

平 移

?

两异面直线所成的角? 的范围是 0 ? ? ? 90

o

两异面直线所成的角? 的范围是 0 ? ? ? 90
如果两条异面直线所成的角为直角,就说两条 直线互相垂直。

o

记作:a ? b
b
?

a'

a

O

?

强调:1)范围

? ? (0, 90 ]
0

2)与O的位置无关 ;

3)为了方便点O选取应有利于解决问题,可取
特殊点(如a 或 b上); 4)找两条异面直线所成的角,要作平行移动(平 行线),把两条异面直线所成的角,转化为两条相交 直线所成的角.

例2:(2)哪些棱所在直线与直线AA1垂直?

D1

C1

A1

B1

D
A

C

B

例2:(1)求直线BA1和CC1所成角的度数。

D1

C1

A1

B1

45
C

o

D
A

B

练习
如图,已知长方体 ABCD ? A?B?C ?D?中, AB ? 2 3, AD ? 2 3, AA? ? 2. (1) BC和A?C ?所成的角是多少度?

(2)AA?和BC ?所成的角是多少度?

答案: (1)45° (2)60°

A

F

【解析】取 BD 的中点 G,连接 EG,GF, ∵F,G 分别为 AD , BD 的中点,∴ FG ? AB . 所以∠EFG 为异面直线 EF 与 AB 所成的角或其补角.
a 设 AB ? CD ? a ,在△EFG 中, FG ? GE ? , 2
C D G E B

又∵AB⊥CD,∴EG⊥FG,∴ ?EFG ? 45 .
?

借助三角形的 中位线作平行 线

六、异面直线所成角的求法:
求异面直线所成的角的步骤是:

一作(找):作(或找)平行线
二证:证明所作的角为所求的异

面直线所成的角。
三求:在一恰当的三角形中求出角

课堂小结
异面直线的定义: 不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。 相交直线 空间两直线的位置关系 平行直线 异面直线 异面直线的画法 异面直线所成的角 用平面来衬托 平移,转化为相交直线所成的角

公理4: 在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行. 空间中,如果两个角的两边分别对应平行, 等角定理:

那么这两个角相等或互补.
一作(找)二证三求

异面直线的求法:

例3:在正方体ABCD-A’B’C’D’中,棱长为a, E、F分别是棱A’B’,B’C’的中点,求: ①异面直线 AD与 EF所成角的大小; ②异面直线 B’C与 EF所成角的大小; ③异面直线 B’D与 EF所成角的 ? 大小. 90 AC∥ A’C’∥ EF, OG ∥B’D B’D 与EF所成的角 即为AC与OG所成的角, 即为∠AOG或其补角.
G

平 ? 45 移 ? 60 法

O


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