高中数学必修四(人教版)课件 第一章 三角函数 1.5(二)_图文

1.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象(二)
目标定位 1.了解y=Asin(ωx+φ)的实际意义,能借助

计算器或计算机画出它的图象; 2. 会用 “ 五点法 ” 画

函数y=Asin(ωx+φ)的图象.

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自 主 预 习
1.简谐振动
A 叫做振幅,周期T 简谐振动y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)中,___ 2π ω φ. ωx+φ ,初相是___ ω ,频率f=______ =____ 2π ,相位是________

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2.函数y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)的性质如下:
定义域 值域 周期性 R
[-A,A] _________

2π T= ω π φ=kπ (k∈Z)时是奇函数;φ= 2 +kπ (k∈Z)时是偶函 kπ 非奇非偶 函数 数;当 φ≠ 2 (k∈Z)时是_________ π π 单调增区间可由 2kπ - 2 ≤ω x+φ≤2kπ + 2 (k∈Z)得到, π 3π 单调减区间可由 2kπ + 2 ≤ω x+φ≤2kπ + 2 (k∈Z)得到
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奇偶性

单调性

即 时 自 测
1.思考判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)“五点法”作函数 y=Asin(ωx+φ)的图象的本质是化归为 作 y=sin x 的作图.( √ ) (2)“五点法”作函数 y=Asin(ωx+φ)的图象, “第一点”应是 图象上升时与 x 轴的交点.( √ ) 1 (3)由图象求函数 y=Asin(ωx+φ)+k 的解析式时,A=2(ymax +ymin).( × )
? π ? π? 1 ? ? ? ? (4)y=2sin?2x+ ?的图象一个对称中心是?- ,0? ?.( × ) 3 3 ? ? ? ?

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提示

(1)“五点法”作函数 y=Asin(ωx+φ)的图象时,把 ωx+ x,对.

φ 看成一个整体 X,即化归为 y=sin

(2)(0, 0)只是 y=sin x 递增函数区间上图象与 x 轴的交点, 故对. 1 (3)A=2(ymax-ymin). π π kπ π kπ (4)由 2x+ 3 =kπ, k∈Z, 得 x=- 6 + 2 , 令 x=- 6 + 2 = π 1 - 3 ,k=-3?Z,故错.

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2.函数

?x π y=2sin? ?2+ 5 ?

? ? ?的周期、振幅各是( ?

)

A.4π ,-2 C.π ,2

B.4π ,2 D.π ,-2

2π 解析 T= =4π,振幅 A=2. 1 2 答案 B

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3.函数

? π ? y=sin?3x- 4 ? ? ? ,0? ?

? ? ?的图象的一个对称中心是( ? ? π ? ? B.?- ,0? ? ? 12 ? ?11π D.? ? 12 ? ? ? ,0? ?

)

? 7π A.? ?- 12 ? ?7π C.? ? 12 ?

? ? ,0 ? ?

解析

? ? 7π? π? 7π ? ? ? ∵当 x=- 12 时,y=sin?3×? - ?=sin(-2 ?- 12 ? 4 ? ? ? ?

? ? 7 π)=0,∴?-12,0?是原函数图象的一个对称中心. ? ?

答案 A
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4.函数
解析

? π ? y=sin?2x- 6 ?

? ? ?的图象在(-π ?

,π )上有_______条对称轴.

π π kπ π 由 2x- 6 =kπ+ 2 ,k∈Z 得 x= 2 + 3 ,k∈Z.

又 x∈(-π,π), 5π π π 2π ∴x= 6 , 3 ,- 6 ,- 3 .

答案 4

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类型一 “五点法”作y=Asin(ωx+φ)的简图
【例 1】 用“五点法”作出函数
? π ? y=2sin?2x+ 3 ? ? ? ?在一个周期上 ?

的简图,并指出该函数的单调区间.

解 (1)列表如下:
π 2x+ 3 x y 0 π -6 0 π 2 π 12 2 π π 3 0 3π 2 7π 12 -2 2π 5π 6 0

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(2)描点、连线,如图: 由图象知,在一个周期内,
?π 7π ? 函数在? , 12 ?12 ? 5 ? 函数在 -12π ? ? ? ?上单调递减, ?

π? ? , 上单调递增. 12? ?

又因为函数的周期为π ,
?π 所以函数的单调递减区间为? ?12+kπ ? ? 5π 单调递增区间为? ?- 12 ? ? 7π ? , +kπ ?(k∈Z); 12 ?

? π ? +kπ ,12+kπ ?(k∈Z). ?

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规律方法

用“五点法”画函数 y=Asin (ωx+φ)(x∈R)的

简图,先作变量代换,令 X=ωx+φ,再用方程思想由 X π 3 取 0, ,π, π,2π来确定对应的 x 值,最后根据 x, 2 2 y 的值描点、连线画出函数的图象.

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【训练 1】 某同学用“五点法”画函数 f(x)=Asin(ωx+φ)
? ? ?ω >0,|φ ?

π? ? |< ?在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分 2?

数据,如下表:

ω x+φ x Asin(ωx+φ)

0

π 2 π 3

π

3π 2 5π 6 -5



0

5

0

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(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数 f(x)的解析式; π (2)将 y=f(x)图象上所有点向左平行移动 6 个单位长度,得 到 y=g(x)的图象, 求 y=g(x)的图象离原点 O 最近的对称中 心.

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π π 5π 解 (1)根据表中已知数据,得 A=5, 3 ω +φ= 2 , 6 ω + 3π π φ= ,解得 ω=2,φ =- .数据补全如下表: 2 6

ωx+φ
X Asin(ωx+φ)
且函数表达式为

0 π 12 0

π 2 π 3 5
? ? ?. ?

π 7π 12 0

3π 2 5π 6 -5

2π 13π 12 0

? π ? f(x)=5sin?2x- 6 ?

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(2)由(1)知 因此

? π ? f(x)=5sin?2x- 6 ?

? ? ?, ? ? ? π ? ? ?=5sin?2x+ 6 ? ? ? ? ?. ?

? ? π ? ? g(x)=5sin?2?x+ 6 ? ?

? π ? ?- 6 ?

因为 y=sin x 的对称中心为(kπ ,0),k∈Z, π kπ π 令 2x+ 6 =kπ ,k∈Z,解得 x= 2 -12,k∈Z. 故
?kπ y=g(x)图象的对称中心为? ? 2 ? ? π ? -12,0?,k∈Z,其中离原点 O ?

? π ? ? 最近的对称中心为?- ,0? ?. 12 ? ?

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类型二 由图象求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式
π? 【例 2】 函数 y=Asin(ωx+φ) A>0,ω >0, |φ |< ? 的图象的 2? ?
? ? ?

一部分如图所示,求此函数的解析式.

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法一

(逐一定参法)

? 5π ? ? π ? 由图象知 A=3,T= 6 -?- ?=π , 6? ?

2π ∴ω = T =2,∴y=3sin(2x+φ).
? π ∵点? ?- 6 ? ? ? π ? ? ,0?在函数图象上,∴0=3sin?- 6 ? ? ? ? ×2+φ?. ?

π π ∴- 6 ×2+φ=kπ ,得 φ= 3 +kπ (k∈Z).
? π π π? ? ∵|φ |< 2 ,∴φ = 3 .∴y=3sin?2x+ ? ?. 3 ? ?

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法二

(待定系数法)
?π A=3.∵图象过点? ?3 ? ? ?5π ? ? ,0?和? ? ? 6 ? ? ,0?, ?

由图象知
? ? ? ? ? ? ? ? ?

π? ?? ? π, ? ? π? ?? ? 2, ? ? 3 ? ∴ 解得?? ? π.∴y=3sin?2x+ ?. 3? ? 5π? ?? ? 2π, ? ? 3 ? 6
法三 (图象变换法)
? π ,点? ?- 6 ? ? ? ,0?在图象上,可知函数图象由 ?

由 A=3,T=π

y=

? π π? ? 3sin 2x 向左平移 6 个单位长度而得,所以 y=3sin 2?x+ ? , 6? ? ?



? π ? y=3sin?2x+ 3 ?

? ? ?. ?

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规律方法 三角函数中系数的确定方法 给出y=Asin(ωx+φ)的图象的一部分,确定A,ω,φ的方法

(1)第一零点法:如果从图象可直接确定A和ω,则选取“第一
零点”(即“五点法”作图中的第一个点)的数据代入“ωx+φ =0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ. (2)特殊值法:通过若干特殊点代入函数式,可以求得相关待 定系数A,ω,φ.这里需要注意的是,要认清所选择的点属于 五个点中的哪一点,并能正确代入列式.

(3)图象变换法:运用逆向思维的方法,先确定函数的基本解
析式y=Asin ωx,再根据图象平移规律确定相关的参数.
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【训练 2】 已知函数

? y=Asin(ωx+φ)? ?A>0,ω >0,|φ ?

π? ? |< ? 2?

的图象的一个最高点为(2, 2 2), 由这个最高点到相邻最低 点,图象与 x 轴交于点(6,0),试求函数的解析式.

解 由已知条件知 A=2 2, 2π 2π π T 又 =6-2=4,∴T=16,ω = T = = , 4 16 8 ∴y=2
?π 2sin? ?8 ? ? ? x+φ?. ?

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∵图象过点(6,0),且该点是第三个特殊点, ∴0=2
?π 2sin? ?8 ? ? ? ×6+φ?, ?

3π π ∴ 4 +φ=2kπ +π (k∈Z),又|φ|< 2 . π ∴令 k=0,得 φ= , 4 ∴y=2
?π 2sin? ?8 ?

π? ? x+ ?. 4?

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类型三 由函数性质求y=Asin(ωx+φ)的解析式(互动探究)
【例 3】 已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ ≤π )是 R 上 的偶函数, 其图象关于点
?3π M? ? 4 ? ? ? π ? ? 且在区间?0, ,0?对称, 2 ? ? ? ? ?上 ?

是单调函数,求 ω 和 φ 的值.

[思路探究] 探究点一 正弦型的函数是偶函数意味着什么? π 提示 φ= 2 +kπ,k∈Z. 探究点二 图象关于点 M 对称,能得到什么结论? 提示 点的坐标适合对称中心方程.
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∵f(x)=sin(ωx+φ)是 R 上的偶函数,

π ∴sin(-ωx+φ)=sin(ωx+φ).∴φ=kπ + 2 (k∈Z). π 又∵0≤φ≤π ,∴φ= ,∴f(x)=cos ω x. 2
?3π ∵图象关于点? ? 4 ? ? 3π ? ,0?对称,∴cos 4 ?

ω =0,

3π π ∴ ω = +kπ ,k∈Z, 4 2
? π? 2 4 ? ∴ω = + k,k∈Z.又∵f(x)在区间?0, ? 上是单调函数, ? 3 3 2? ?

2π 1 π 2 ∴ × ≥ ,∴ω ≤2.又∵ω>0,∴ω =3或 ω=2. ω 2 2
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规律方法

y=Asin(ωx+φ)的性质运用

(1)函数 y=Asin(ωx+φ)的性质较为综合,在历年高考题 中都有所体现和考查.围绕着函数单调性、 最值、 奇偶性, 图象的对称性等都有所体现和考查. (2)有关函数 y=Asin(ωx+φ)的性质运用问题,要特别注 意整体代换思想的运用.

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【训练 3】 设函数 f(x)=sin(2x+φ)(-π <φ<0),y=f(x) π 图象的一条对称轴是直线 x= 8 . (1)求 φ; (2)求函数 y=f(x)的单调区间及最值;
解 π kπ π φ (1)由 2x+φ=kπ + 2 ,k∈Z 得 x= 2 + 4 - 2 ,

kπ π φ π π 令 2 + 4 - 2= 8 ,解得 φ=kπ + 4 ,k∈Z. 3π ∵-π <φ<0,∴φ =- 4 .
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? 3π ? (2)由(1)知,f(x)=sin?2x- 4 ?

? ? ?. ?

π 3π π 由 2kπ - 2 ≤2x- 4 ≤2kπ + 2 (k∈Z), π 5π 解得 kπ + ≤x≤kπ + (k∈Z). 8 8
? 故函数的单调递增区间是? ?kπ ?

π 5π ? ? + 8 ,kπ + 8 ?(k∈Z). ? 5π 9π? ? + ,kπ + ?(k∈Z). 8 8?

? 同理可得函数的单调递减区间是? ?kπ ?

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3π π 当 2x- 4 =2kπ + 2 (k∈Z), 5π 即 x=kπ + (k∈Z)时函数有最大值 1. 8 3π π 当 2x- =2kπ - (k∈Z), 4 2 π 即 x=kπ + (k∈Z)时函数有最小值-1. 8

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[课堂小结]

1.对“五点法”作函数图象的两点说明
(1) 用“五点法”作函数的图象,实质是利用函数的三个零 点,两个最值点,画出该函数一个周期内的图象.

(2) 用“五点法”作函数的图象,关键是列表,特别是给定
区间作图问题,则首先要确定该区间端点处的函数值,再 确定两个端点之间的最值点、零点.

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2.根据图象求函数y=Asin(ωx+φ)+k解析式的三点说明
(1)若 y=Asin(ωx+φ)+k(A>0, ω >0), 则 A 与 k 的确定方法由 ymax-ymin ymax+ymin 下列公式确定:即 A= ,k= . 2 2 (2)由图象确定周期 T 的方法: 可通过图象与 x 轴的交点确定 T: 与 x 轴交点中相邻的两点间距离为半个周期, 或根据相邻的最 高点与最低点之间的距离为半个周期确定 T. (3)当 φ 的范围确定时,解析式一般确定;当 φ 的范围不确定 时,解析式一般不唯一.

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2π π 1 1. 最大值为 ,最小正周期为 ,初相为 的函数表达式是 2 3 6 ( )
? 1 ? ?x π ? B.y=2sin? - ? 6? ?3 ? 1 ? ?x π ? A.y=2sin? + ? 6? ?3

π? 1 ? ? C.y= sin?3x- ? 2 ? 6? ?
解析 π φ= 6 .

π? 1 ? ? D.y= sin?3x+ ? 2 ? 6? ?

1 2π 2 y=Asin(ωx+φ)中,由已知:A=2, =3π,ω=3, ω

答案 D
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? 2.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)? ?A>0,ω >0,|φ ?

π? ? |< ?的部分图象如图 2?

所示,则 ω=_______,φ=_______.

T 5π π π 解析 由图可知:4= 12 - 6 = 4 ,∴T=π, π π π ∴ω=2;由 2× +φ= ,φ= . 6 2 6 π 答案 2 6
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3.用五点作图法作函数

? π ? f(x)=sin?x- 4 ?

? ? ?在一个周期内的图象 ?

时,其中第五个关键点是_______.
?9 ? π 9 解析 由 x- =2π,x= π,故第五个关键点为?4π,0?. 4 4 ? ?

答案

?9 ? π ?4

? ,0? ?

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4.某简谐运动的图象对应的函数解析式为:y=

? π ? 2sin?2x- 4 ?

? ? ?. ?

①利用“五点法”作出函数在一个周期(闭区间)上的简图;

解 ①第一步:列表
x π 2x- 4
? π ? sin?2x- 4 ? ? ? ? ?

π 8 0 0 0

3π 8 π 2 1 2

5π 8 π 0 0

7π 8 3π 2 -1 - 2

9π 8 2π 0 0

y

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第二步:描点.
第三步:连线画出图象如图所示:

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