2018学年数学人教A版必修五优化练习:第一章 1.2 第1课时 距离问题

[课时作业] [A 组 基础巩固] 1.两灯塔 A,B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a(km),灯塔 A 在 C 北偏东 30° ,B 在 C 南偏东 60° ,则 A,B 之间距离为( A. 2a km C.a km ) B. 3a km D.2a km 解析:△ABC 中,AC=BC=a,∠ACB=90° ,AB= 2a. 答案:A 2.如图, 一艘海轮从 A 处出发, 以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40° 行,30 分钟后到达 B 处.C 处有一座灯塔,海轮在 A 处观察灯塔, 东 70° ,在 B 处观察灯塔,其方向是北偏东 60° ,那么 B,C 两点间 A.10 2海里 C.20 3海里 B.10 3海里 D.20 2海里 的方向直线航 其方向是南偏 的距离是( ) 20 解析:由题目条件,知 AB=20 海里,∠CAB=30° ,∠ABC=105° ,所以∠ACB=45° .由正弦定理,得 = sin 45° BC ,所以 BC=10 2海里,故选 A. sin 30° 答案:A 3.有一长为 10 m 的斜坡,倾斜角为 75° ,在不改变坡高和坡顶的前提下,通过加长坡面的方法将它的倾斜 角改为 30° ,则坡底要延长的长度(单位:m)是( A.5 C.10 2 B.10 D.10 3 中, 利用正弦定理 ) 解析:如图,设将坡底加长到 B′时,倾斜角为 30° ,在△ABB′ 可求得 BB′的长度. 在△ABB′中,∠B′=30° , ∠BAB′=75° -30° =45° ,AB=10 m, 由正弦定理,得 2 10× 2 ABsin 45° BB′= = =10 2(m). sin 30° 1 2 ∴坡底延伸 10 2 m 时,斜坡的倾斜角将变为 30° . 答案:C 4.一船自西向东匀速航行,上午 10 时到达一座灯塔 P 的南偏西 75° 距塔 68 海里的 M 处,下午 2 时到达这 座灯塔的东南方向的 N 处,则这只船的航行速度为( 17 6 A. 海里/小时 2 17 2 C. 海里/小时 2 ) B.34 6海里/小时 D.34 2海里/小时 PM MN 解析:如图所示,在△PMN 中, = , sin 45° sin 120° 68× 3 ∵MN= =34 6, 2 MN 17 6 ∴v= = (海里/小时). 4 2 答案:A 5.如图,某炮兵阵地位于 A 点,两观察所分别位于 C,D 两点.已知△ACD 形,且 DC= 3 km,当目标出现在 B 点时,测得∠CDB=45° ,∠BCD= 阵地与目标的距离是( A.1.1 km C.2.9 km 解析:∠CBD=180° -∠BCD-∠CDB=60° . 在△BCD 中,由正弦定理,得 CDsin 75° 6+ 2 BD= = . sin 60° 2 在△ABD 中,∠ADB=45° +60° =105° , 由余弦定理,得 AB2=AD2+BD2-2AD· BDcos 105° ? 6+ 2?2 6+ 2 6- 2 =3+ +2× 3× × 4 2 4 =5+2 3. ∴AB= 5+2 3≈2.9(km). ) B.2.2 km D.3.5 km 为正三角 75° , 则炮兵 ∴炮兵阵地与目标的距离约是 2.9 km. 答案:C 6. 在相距 2 千米的 A、 B 两点处测量目标点 C, 若∠CAB=75° , ∠CBA=60° , 则 A、 C 两点之间的距离为________ 千米. 2 AC 解析:∠C=180° -75° -60° =45° ,由正弦定理 = , sin 45° sin 60° ∴AC= 6. 答案: 6 7.某人从 A 处出发,沿北偏东 60° 行走 3 3 km 到 B 处,再沿正东方向行走 2 km 到 C 处,则 A,C 两地距 离为________km. 解析:如图所示,由题意可知 AB=3 3,BC=2,∠ABC=150° , 由余弦定理,得 AC2=27+4-2×3 3×2×cos 150° =49, AC=7. 则 A,C 两地距离为 7 km. 答案:7 8.一艘船以每小时 15 km 的速度向东行驶,船在 A 处看到一灯塔 B 在北偏东 60° ,行驶 4 h 后,船到达 C 处, 看到这个灯塔在北偏东 15° ,这时船与灯塔的距离为________km. 解析:如图所示,AC=15×4=60, ∠BAC=30° ,∠B=45° , 60 BC 在△ABC 中由正弦定理得 = , sin 45° sin 30° ∴BC=30 2. 答案:30 2 9.如图,为了测量河的宽度,在一岸边选定两点 A,B,望对岸的标 CAB=45° ,∠CBA=75° ,AB=120 米,求河的宽度. 解析:在△ABC 中, ∵∠CAB=45° ,∠CBA=75° , ∴∠ACB=60° . 由正弦定理,可得 AB· sin∠CBA 120sin 75° AC= = sin 60° sin∠ACB =20(3 2+ 6), 记物 C, 测得∠ 设 C 到 AB 的距离为 CD, 则 CD=ACsin∠CAB = 2 AC=20 ( 3+3). 2 ∴河的宽度为 20( 3+3)米. 10.为保障高考的公平性,高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪,要求在考点周围 1 千米处不能收到手机信 号,检查员抽查青岛市一考点,在考点正西约 1.732 千米有一条北偏东 60° 方向的公路,在此处检查员用手机 接通电话,以每小时 12 千米的速度沿公路行驶,问最长需要多少分钟,检查员开始收不到信号,并至少持续 多长时间该考点才算合格? 解析:如图所示,考点为 A,检查开始处为 B,设公路上 C、D 两点到考 米. 在△ABC 中,AB= 3≈1.732,AC=1,∠ABC=30° , sin 30° 3 由正弦定理 sin∠ACB= · AB= ,∴∠ACB=120° (

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