【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.4 基本不等式及其应用 文

【步步高】 (江苏专用) 2017 版高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.4 基本不等式及其应用 文

1.基本不等式 ab≤

a+b
2

(1)基本不等式成立的条件:a≥0,b≥0. (2)等号成立的条件:当且仅当 a=b 时取等号. 2.几个重要的不等式 (1)a +b ≥2ab(a,b∈R). (2) + ≥2(a,b 同号). (3)ab≤? (4)
2 2

b a a b

?a+b?2 (a,b∈R). ? ? 2 ?
≥?

a2+b2 ?a+b?2
2

? (a,b∈R). ? 2 ?

以上不等式等号成立的条件均为 a=b. 3.算术平均数与几何平均数 设 a>0,b>0,则 a,b 的算术平均数为

a+b
2

,几何平均数为 ab,基本不等式可叙述为两个

正数的几何平均数不大于它们的算术平均数. 4.利用基本不等式求最值问题 已知 x>0,y>0,则 (1)如果积 xy 是定值 p,那么当且仅当 x=y 时,x+y 有最小值 2 p.(简记:积定和最小) (2)如果和 x+y 是定值 p,那么当且仅当 x=y 时,xy 有最大值 .(简记:和定积最大) 4 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) 1 (1)函数 y=x+ 的最小值是 2.( × )

p2

x

1

4 π (2)函数 f(x)=cos x+ ,x∈(0, )的最小值等于 4.( × ) cos x 2 (3)“x>0 且 y>0”是“ + ≥2”的充要条件.( × ) 1 3 (4)若 a>0,则 a + 2的最小值为 2 a.( × )

x y y x

a

(5)不等式 a +b ≥2ab 与

2

2

a+b
2

≥ ab有相同的成立条件.( × )

1.(教材改编)设 x>0,y>0,且 x+y=18,则 xy 的最大值为________. 答案 81 解析 ∵x>0,y>0,∴ 即 xy≤(

x+y
2

≥ xy,

x+y
2

) =81,当且仅当 x=y=9 时,(xy)max=81.

2

x2+y2 2.若实数 x,y 满足 x>y>0,且 log2x+log2y=1,则 的最小值为________. x-y
答案 4 解析 由 log2x+log2y=1 得 xy=2,又 x>y>0,所以 x-y>0,

x2+y2 ?x-y?2+2xy = =x- x-y x- y

y+ ≥2 x-y
所以

4

?x-y?·

4

x-y

=4,当且仅当 x-y=2,即 x=1+ 3,y= 3-1 时取等号,

x2+y2 的最小值为 4. x-y
1 (x>2)在 x=a 处取最小值,则 a=________. x-2

3.若函数 f(x)=x+ 答案 3

解析 当 x>2 时,x-2>0,f(x)=(x-2)+ 当 x-2=

1 +2≥2 x-2

?x-2?×

1 +2=4,当且仅 x-2

1 (x>2),即 x=3 时取等号,即当 f(x)取得最小值时,x=3,即 a=3. x-2

4. (教材改编)若把总长为 20 m 的篱笆围成一个矩形场地, 则矩形场地的最大面积是________ m. 答案 25 解析 设矩形的一边为 x m, 1 则另一边为 ×(20-2x)=(10-x)m, 2
2

2

∴y=x(10-x)≤[

x+?10-x?
2

] =25,

2

当且仅当 x=10-x,即 x=5 时,ymax=25. 5.(教材改编)已知 x,y∈R ,且 x+4y=1,则 xy 的最大值为________. 答案 1 16


1 2 1 解析 1=x+4y≥2 4xy=4 xy,∴xy≤( ) = , 4 16 1 x= ? ? 2 1 当且仅当 x=4y= ,即? 2 1 ? ?y=8

1 时,(xy)max= . 16

题型一 利用基本不等式求最值 命题点 1 配凑法求最值 5 1 例 1 (1)已知 x< ,则 f(x)=4x-2+ 的最大值为________. 4 4x-5 (2)函数 y= (3)函数 y=

x2+2 (x>1)的最小值为________. x-1 x-1 的最大值为________. x+3+ x-1
1 5

答案 (1)1 (2)2 3+2 (3)

5 解析 (1)因为 x< ,所以 5-4x>0, 4 1 1 则 f(x)=4x-2+ =-(5-4x+ )+3≤-2+3=1. 4x-5 5-4x 1 当且仅当 5-4x= ,即 x=1 时,等号成立. 5-4x 1 故 f(x)=4x-2+ 的最大值为 1. 4x-5

x2+2 ?x2-2x+1?+?2x-2?+3 (2)y= = x-1 x-1
= ?x-1? +2?x-1?+3 x-1
2

3

=(x-1)+

3 +2≥2 3+2. x-1

3 当且仅当(x-1)= ,即 x= 3+1 时,等号成立. ?x-1? (3)令 t= x-1≥0,则 x=t +1, 所以 y=
2

t . t +1+3+t t +t+4
2

t



2

当 t=0,即 x=1 时,y=0; 当 t>0,即 x>1 时,y= 1 , 4 t+ +1

t

4 因为 t+ ≥2 4=4(当且仅当 t=2 时取等号),

t

所以 y=

1 1 ≤ , 4 5 t+ +1

t

1 即 y 的最大值为 (当 t=2,即 x=5 时 y 取得最大值). 5 思维升华 (1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提:“一正”“二定”“三相 等”. 所谓“一正”是指正数, “二定”是指应用基本不等式求最值时, 和或积为定值, “三 相等”是指满足等号成立的条件. (2)在利用基本不等式求最值时,要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常数的形式, 然后再利用基本不等式. 命题点 2 常数代换或消元法求最值 例 2 (1)若正数 x,y 满足 x+3y=5xy,则 3x+4y 的最小值是________. (2)(高考改编题)设 a+b=2,b>0,则 答案 (1)5 (2)-2 1 3 解析 (1)方法一 由 x+3y=5xy 可得 + =1, 5y 5x 1 3 ∴3x+4y=(3x+4y)( + ) 5y 5x 9 4 3x 12y 13 12 = + + + ≥ + =5. 5 5 5y 5x 5 5 3x 12y 1 (当且仅当 = ,即 x=1,y= 时,等号成立), 5y 5x 2 ∴3x+4y 的最小值是 5. 1 |a| + 取最小值时,a 的值为________. 2|a| b

4

3y 方法二 由 x+3y=5xy 得 x= , 5y-1 1 ∵x>0,y>0,∴y> , 5 1 9 4 13?y- ?+ + -4y 5 5 5 9y ∴3x+4y= +4y= +4y 5y-1 5y-1 13 9 = + · 5 5 1 5 1 13 +4(y- )≥ +2 5 5 36 =5, 25

1 y- 5

1 当且仅当 y= 时等号成立,∴(3x+4y)min=5. 2 (2)∵a+b=2, ∴ = 1 |a| 2 |a| a+b |a| + = + = + 2|a| b 4|a| b 4|a| b

a b |a| a + + ≥ +2 4|a| 4|a| b 4|a|

b |a| a × = +1, 4|a| b 4|a|

b |a| 当且仅当 = 时等号成立. 4|a| b
又 a+b=2,b>0, ∴当 b=-2a,a=-2 时, 1 |a| + 取得最小值. 2|a| b

思维升华 条件最值的求解通常有两种方法:一是消元法,即根据条件建立两个量之间的函 数关系,然后代入代数式转化为函数的最值求解;二是将条件灵活变形,利用常数“1”代换 的方法构造和或积为常数的式子,然后利用基本不等式求解最值. (1)已知 x, y∈(0, +∞), 2
x-3

1 y 1 m =( ) , 若 + (m>0)的最小值为 3, 则 m=________. 2 x y

(2)已知 x>0,y>0,x+3y+xy=9,则 x+3y 的最小值为________. 答案 (1)4 (2)6 解析 (1)由 2
x-3

1 y =( ) 得 x+y=3, 2

1 m 1 1 m + = (x+y)( + ) x y 3 x y 1 y mx = (1+m+ + ) 3 x y 1 ≥ (1+m+2 m), 3

5

(当且仅当 = 时取等号) 1 ∴ (1+m+2 m)=3, 3 解得 m=4. 9-3y (2)由已知得 x= . 1+y 方法一 (消元法) ∵x>0,y>0,∴y<3, 9-3y 3y +9 ∴x+3y= +3y= 1+y 1+y = 3?1+y? -6?1+y?+12 12 = +(3y+3)-6 1+y 1+y 12 ·?3y+3?-6=6, 1+y
2 2

y mx x y

≥2

12 当且仅当 =3y+3, 1+y 即 y=1,x=3 时,(x+3y)min=6. 方法二 ∵x>0,y>0, 1 1 x+3y 2 9-(x+3y)=xy= x·(3y)≤ ·( ), 3 3 2 当且仅当 x=3y 时等号成立. 设 x+3y=t>0,则 t +12t-108≥0, ∴(t-6)(t+18)≥0,又∵t>0,∴t≥6. 故当 x=3,y=1 时,(x+3y)min=6. 题型二 基本不等式与学科知识的综合 命题点 1 用基本不等式求解与其他知识结合的最值问题 4 1 2 2 例 3 (1)已知直线 ax+by+c-1=0(b,c>0)经过圆 x +y -2y-5=0 的圆心,则 + 的最
2

b c

小值是________. 1 1 (2)已知 a>0, b>0, a, b 的等比中项是 1, 且 m=b+ , n=a+ , 则 m+n 的最小值是________.

a

b

答案 (1)9 (2)4 解析 (1)圆 x +y -2y-5=0 化成标准方程, 得 x +(y-1) =6, 所以圆心为 C(0,1). 因为直线 ax+by+c-1=0 经过圆心 C,
6
2 2 2 2

所以 a×0+b×1+c-1=0,即 b+c=1. 4 1 4 1 4c b 因此 + =(b+c)( + )= + +5.

b c

b c

b

c

因为 b,c>0, 4c b 所以 + ≥2

b

c

4c b · =4.

b

c

4c b 当且仅当 = 时等号成立.

b

c

2 1 4 1 由此可得 b=2c,且 b+c=1,即 b= ,c= 时, + 取得最小值 9. 3 3 b c 1 1 (2)由题意知:ab=1,∴m=b+ =2b,n=a+ =2a,

a

b

∴m+n=2(a+b)≥4 ab=4,当且仅当 a=b=1 时,等号成立. 命题点 2 求参数的值或取值范围 3 1 m 例 4 已知 a>0,b>0,若不等式 + ≥ 恒成立,则 m 的最大值为________. a b a+3b 答案 12 3 1 m 解析 由 + ≥ a b a+3b 3 1 9b a 得 m≤(a+3b)( + )= + +6.

a b

a

b

9b a 又 + +6≥2 9+6=12,

a

b

∴m≤12,∴m 的最大值为 12. 思维升华 (1)应用基本不等式判断不等式是否成立: 对所给不等式(或式子)变形, 然后利用 基本不等式求解. (2)条件不等式的最值问题:通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解. (3)求参数的值或范围:观察题目特点,利用基本不等式确定相关成立条件,从而得参数的值 或范围. (1)已知各项均为正数的等比数列{an}满足 a7=a6+2a5,若存在两项 am,an 使得

aman=4a1,则 + 的最小值为________. m n x2+ax+11 * (2)已知函数 f(x)= (a∈R),若对于任意 x∈N ,f(x)≥3 恒成立,则 a 的取值范 x+1
围是________________________________________________________________________. 3 8 答案 (1) (2)[- ,+∞) 2 3

1 4

7

解析 (1)由各项均为正数的等比数列{an}满足 a7=a6+2a5,可得 a1q =a1q +2a1q , 所以 q -q-2=0, 解得 q=2 或 q=-1(舍去). 因为 aman=4a1,所以 q 所以 2
m+n-2
4 2

6

5

4

m+n-2

=16,

=2 ,所以 m+n=6.

1 4 1 1 4 所以 + = (m+n)( + ) m n 6 m n 1 n 4m = (5+ + ) 6 m n 1 ≥ (5+2 6 当且仅当 =

n 4m 3 · )= . m n 2

n 4m 时,等号成立, m n

1 4 3 故 + 的最小值等于 . m n 2 (2)对任意 x∈N ,f(x)≥3 恒成立,即
*

x2+ax+11 8 ≥3 恒成立,即知 a≥-(x+ )+3. x+1 x

8 17 * 设 g(x)=x+ ,x∈N ,则 g(2)=6,g(3)= . x 3 17 8 8 ∵g(2)>g(3),∴g(x)min= .∴-(x+ )+3≤- , 3 x 3 8 8 ∴a≥- ,故 a 的取值范围是[- ,+∞). 3 3 题型三 不等式的实际应用 例 5 运货卡车以每小时 x 千米的速度匀速行驶 130 千米, 按交通法规限制 50≤x≤100(单位: 千米/时).假设汽油的价格是每升 2 元,而汽车每小时耗油(2+ )升,司机的工资是每小 360 时 14 元. (1)求这次行车总费用 y 关于 x 的表达式; (2)当 x 为何值时,这次行车的总费用最低,并求出最低费用的值. 130 解 (1)设所用时间为 t= (h),

x2

x

y=

130 x 130 ×2×(2+ )+14× ,x∈[50,100]. x 360 x

2

130×18 2×130 所以,这次行车总费用 y 关于 x 的表达式是 y= + x,x∈[50,100]. x 360 2 340 13 (或 y= + x,x∈[50,100]). x 18
8

130×18 2×130 (2)y= + x≥26 10, x 360 130×18 2×130 当且仅当 = x, x 360 即 x=18 10,等号成立. 故当 x=18 10千米/时时,这次行车的总费用最低,最低费用的值为 26 10元. 思维升华 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数. (2)根据实际问题抽象出函数的解析式后,只需利用基本不等式求得函数的最值. (3)在求函数的最值时,一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解. 某工厂某种产品的年固定成本为 250 万元, 每生产 x 千件, 需另投入成本为 C(x), 1 2 当年产量不足 80 千件时,C(x)= x +10x(万元).当年产量不小于 80 千件时,C(x)=51x 3 + 10 000 -1 450(万元).每件商品售价为 0.05 万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全

x

部售完. (1)写出年利润 L(x)(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式; (2)当年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大? 解 (1)当 0<x<80 时,

L(x)=1 000x×0.05-( x2+10x)-250
1 2 =- x +40x-250. 3 当 x≥80 时,

1 3

L(x)=1 000x×0.05-(51x+
10 000 =1 200-(x+ ).

10 000 -1 450)-250

x

x

1 - x +40x-250?0<x<80?, ? ? 3 ∴L(x)=? 10 000 1 200-?x+ ??x≥80?. ? ? x
2

1 2 (2)当 0<x<80 时,L(x)=- x +40x-250. 3 对称轴为 x=60, 即当 x=60 时,L(x)最大=950(万元). 10 000 当 x≥80 时,L(x)=1 200-(x+ )

x

9

≤1 200-2 10 000=1 000(万元), 当且仅当 x=100 时,L(x)最大=1 000(万元), 综上所述,当 x=100 时,年获利最大.

9.忽视最值取得的条件致误 1 2 典例 (1)已知 x>0,y>0,且 + =1,则 x+y 的最小值是________.

x y

3 (2)函数 y=1-2x- (x<0)的最小值为________.

x

1 2 易错分析 (1)多次使用基本不等式,忽略等号成立的条件.如:1= + ≥2

2

x y

xy

,∴ xy

≥2 2,∴x+y≥2 xy≥4 2,得(x+y)min=4 2. 3 (2)没有注意到 x<0 这个条件误用基本不等式得 2x+ ≥2 6.

x

解析 (1)∵x>0,y>0, 1 2 ∴x+y=(x+y)( + )

x y

y 2x =3+ + ≥3+2 2(当且仅当 y= 2x 时取等号), x y
∴当 x= 2+1,y=2+ 2时,(x+y)min=3+2 2. 3 3 (2)∵x<0,∴y=1-2x- =1+(-2x)+(- )≥1+2

x

x

3 ?-2x?· =1+2 6,当且仅 -x

当 x=-

6 时取等号,故 y 的最小值为 1+2 6. 2 (2)1+2 6

答案 (1)3+2 2

温馨提醒 (1)利用基本不等式求最值,一定要注意应用条件; (2)尽量避免多次使用基本不等式,若必须多次使用,一定要保证等号成立的条件一致.

[方法与技巧] 1. 基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能, 常 常用于比较数(式)的大小或证明不等式,解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点,选 择好利用基本不等式的切入点. 2. 对于基本不等式, 不仅要记住原始形式, 而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等,

10

例如:ab≤(

a+b
2

)≤

2

a2+b2
2

, ab≤

a+b
2



a2+b2
2

(a>0,b>0)等,同时还要注意不等式成

立的条件和等号成立的条件. 3.对使用基本不等式时等号取不到的情况,可考虑使用函数 y=x+ (m>0)的单调性. [失误与防范] 1.使用基本不等式求最值,“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可. 2.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.

m x

A 组 专项基础训练 (时间:30 分钟) 1.下列不等式一定成立的是________. 1 2 ①lg(x + )>lg x(x>0); 4 1 ②sin x+ ≥2(x≠kπ ,k∈Z); sin x ③x +1≥2|x|(x∈R); ④ 1 >1(x∈R). x +1
2 2

答案 ③ 1 1 2 解析 当 x>0 时,x + ≥2·x· =x, 4 2 1 2 所以 lg(x + )≥lg x(x>0), 4 故①不正确; 运用基本不等式时需保证“一正”“二定“三相等”, 而当 x≠kπ ,k∈Z 时,sin x 的正负不定, 故②不正确; 由基本不等式可知,③正确; 当 x=0 时,有 1 =1,故④不正确. x +1
2 2 2

2.设非零实数 a,b,则“a +b ≥2ab”是“ + ≥2 成立”的__________条件. 答案 必要不充分

a b b a

11

解析 因为 a,b∈R 时,都有 a +b -2ab=(a-b) ≥0, 即 a +b ≥2ab,而 + ≥2?ab>0, 所以“a +b ≥2ab”是“ + ≥2 成立”的必要不充分条件. 1 4 3.已知 a>0,b>0,a+b=2,则 y= + 的最小值是________.
2 2 2 2

2

2

2

a b b a

a b b a

a b

答案

9 2

1 4 1 1 4 解析 依题意,得 + = ( + )·(a+b) a b 2 a b 1 b 4a 1 = [5+( + )]≥ (5+2 2 a b 2

b 4a 9 · )= , a b 2

a+b=2, ? ?b 4a 当且仅当? = , a b ? ?a>0,b>0,
1 4 9 即 + 的最小值是 . a b 2

2 4 即 a= ,b= 时取等号, 3 3

4.(2014·重庆改编)若 log4(3a+4b)=log2 ab,则 a+b 的最小值是________. 答案 7+4 3

解析

? ab>0, 由题意得?ab≥0, ?3a+4b>0,

所以?

? ?a>0, ?b>0. ?

又 log4(3a+4b)=log2 ab, 所以 log4(3a+4b)=log4ab, 4 3 所以 3a+4b=ab,故 + =1.

a b

4 3 3a 4b 所以 a+b=(a+b)( + )=7+ +

a b

b

a

≥7+2

3a 4b · =7+4 3,

b

a

3a 4b 当且仅当 = 时取等号.

b

a

5.已知正数 x,y 满足 x+2y-xy=0,则 x+2y 的最小值为________. 答案 8

12

2 1 解析 由 x+2y-xy=0,得 + =1,且 x>0,y>0.

x y x

2 1 4y x ∴x+2y=(x+2y)×( + )= + +4≥4+4=8.

x y

y

6.规定记号“?”表示一种运算,即 a?b= ab+a+b(a、b 为正实数).若 1?k=3,则 k 的 值为________,此时函数 f(x)= 答案 1 3

k?x 的最小值为________. x

解析 1?k= k+1+k=3,即 k+ k-2=0, ∴ k=1 或 k=-2(舍去). ∴k=1.

f(x)=

1?x x+x+1 1 = =1+ x+ ≥1+2=3,

x

x

x

当且仅当 x=

1

x

,即 x=1 时等号成立.

7.已知 x>0,y>0,且 4xy-x-2y=4,则 xy 的最小值为________. 答案 2 解析 ∵x>0,y>0,x+2y≥2 2xy, ∴4xy-(x+2y)≤4xy-2 2xy, ∴4≤4xy-2 2xy, 即( 2xy-2)( 2xy+1)≥0, ∴ 2xy≥2,∴xy≥2. 1 1 1 9 8.若正数 a,b 满足 + =1,则 + 的最小值是________. a b a-1 b-1 答案 6 1 1 a 1 9 解析 ∵正数 a,b 满足 + =1,∴b= >0,解得 a>1.同理可得 b>1,所以 + = a b a-1 a-1 b-1 1

a-1



1 = +9(a-1)≥2 a-1 -1 a-1

9

1

a

a-1

·9?a-1?=6,当且仅当

1

a-1

=9(a-1),即 a

4 = 时等号成立,所以最小值为 6. 3 9.若当 x>-3 时,不等式 a≤x+ 答案 (-∞,2 2-3] 2 恒成立,则 a 的取值范围是________. x+3

13

解析 设 f(x)=x+

2 2 =(x+3)+ -3, x+3 x+3

因为 x>-3,所以 x+3>0, 故 f(x)≥2 ?x+3?× 2 -3=2 2-3, x+3

当且仅当 x= 2-3 时等号成立, 所以 a 的取值范围是(-∞,2 2-3]. 10.若关于 x 的方程 9 +(4+a)3 +4=0 有解,则实数 a 的取值范围是________. 答案 (-∞,-8] 4 x 解析 分离变量得-(4+a)=3 + x≥4,得 a≤-8. 3 11.(2015·南通二模)已知 x>0,y>0,且 2x+5y=20. (1)求 u=lg x+lg y 的最大值; 1 1 (2)求 + 的最小值.
x x

x y

解 (1)∵x>0,y>0, ∴由基本不等式,得 2x+5y≥2 10xy. ∵2x+5y=20, ∴2 10xy≤20,xy≤10, 当且仅当 2x=5y 时,等号成立.
? ?2x+5y=20, 因此有? ?2x=5y, ?

解得?

? ?x=5, ?y=2, ?

此时 xy 有最大值 10. ∴u=lg x+lg y=lg(xy)≤lg 10=1. ∴当 x=5,y=2 时,u=lg x+lg y 有最大值 1. (2)∵x>0,y>0, 1 1 ?1 1? 2x+5y ∴ + =? + ?· x y ?x y? 20 1 ? 5y 2x? 1 ? = ?7+ + ?≥ ?7+2 x y ? 20? 20? = 7+2 10 , 20 5y 2x? · ?

x

y?

5y 2x 当且仅当 = 时,等号成立.

x

y

14

2x+5y=20, ? ? 由?5y 2x = , ? ?x y

10 10-20 ? ?x= 3 , 解得? 20-4 10 y= . ? ? 3

1 1 7+2 10 ∴ + 的最小值为 . x y 20 B 组 专项能力提升 (时间:20 分钟) 12.设 x,y 均为正实数,且 答案 16 3 3 解析 由 + =1 得 xy=8+x+y, 2+x 2+y ∵x,y 均为正实数, ∴xy=8+x+y≥8+2 xy(当且仅当 x=y 时等号成立), 即 xy-2 xy-8≥0,解得 xy≥4, 即 xy≥16,∴xy 的最小值为 16. 3 3 + =1,则 xy 的最小值为________. 2+x 2+y

m2+1 13.已知 m>0,a1>a2>0,则使得 ≥|aix-2|(i=1,2)恒成立的 x 的取值范围是 m
________________________________________________________________________. 4 答案 [0, ]

a1

解析 因为

m2+1 1 =m+ ≥2(当且仅当 m=1 时等号成立), m m

所以要使不等式恒成立, 则 2≥|aix-2|(i=1,2)恒成立, 即-2≤aix-2≤2,所以 0≤aix≤4, 因为 a1>a2>0, 4 ? ?0≤x≤a , 所以? 4 ? ?0≤x≤a ,
1 2

4 即 0≤x≤ ,

a1

4 所以使不等式恒成立的 x 的取值范围是[0, ].

a1

14.已知 x,y∈R 且满足 x +2xy+4y =6,则 z=x +4y 的取值范围为________. 答案 [4,12]
15

2

2

2

2

解析 ∵2xy=6-(x +4y ),而 2xy≤ ∴6-(x +4y )≤
2 2 2 2

2

2

x2+4y2
2



x2+4y2
2



∴x +4y ≥4(当且仅当 x=2y 时取等号). 又∵(x+2y) =6+2xy≥0, 即 2xy≥-6,∴z=x +4y =6-2xy≤12 (当且仅当 x=-2y 时取等号). 综上可知 4≤x +4y ≤12. 1 1 a b 15.设 a>0,b>0,若 3是 3 与 3 的等比中项,则 + 的最小值为________.
2 2 2 2 2

a b

答案 4 解析 由题意知 3 ·3 =3,即 3 ∴a+b=1,∵a>0,b>0, 1 1 ?1 1? ∴ + =? + ?(a+b)
a b a+b

=3,

a b ?a b? b a a b

=2+ + ≥2+2

b a · =4, a b

1 当且仅当 a=b= 时,等号成立. 2 16.经市场调查,某旅游城市在过去的一个月内(以 30 天计),第 t 天(1≤t≤30,t∈N )的 1 旅游人数 f(t)(万人)近似地满足 f(t)=4+ ,而人均消费 g(t)(元)近似地满足 g(t)=120
*

t

-|t-20|. (1)求该城市的旅游日收益 W(t)(万元)与时间 t(1≤t≤30,t∈N )的函数关系式; (2)求该城市旅游日收益的最小值. 1 解 (1)W(t)=f(t)g(t)=(4+ )(120-|t-20|)
*

t

100 401+4t+ , ? ? t =? 140 559+ -4t, ? ? t

1≤t≤20, 20<t≤30. 100 4t· =441(t=5 时取最小值).

100 (2)当 t∈[1,20]时,401+4t+ ≥401+2

t

t

140 当 t∈(20,30]时,因为 W(t)=559+ -4t 递减,

t

16

2 所以 t=30 时,W(t)有最小值 W(30)=443 , 3 所以 t∈[1,30]时,W(t)的最小值为 441 万元.

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