等比数列优质课课件_图文

等比数列

学习目标:
1.理解等比数列的定义; 2.掌握等比数列的通项公式.会解决知道n, a1 , a n , q 中的三个,求另一个的问题.

学习重点:
1.等比数列概念的理解与掌握; 2.等比数列的通项公式的推导及应用.

探究一:等比数列的定义
观察下列数列,说出它们的特点.

(1)1,2,22,23,…
(3 )1, ? 1 2 , 1 4 ,? 1 8 ,?

( 2 )5, 2 5,1 2 5, 6 2 5 ...

定义:如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一
项的比都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比 数列,这个常数叫做公比,记为q(q≠0). 数学语言:
an a n ?1 或 a n ?1 an ? q ? q ( n ? 2且 n ? N
*

).

思考1:
1.已知等比数列{ an }: (1) an 能不能是零? 不能 能 (2)公比q能不能是1? 2.用下列方法表示的数列中能确定 是等比数列的是 ① ④ ⑥ . ① 1,-1,1,…,(-1)n+1 √ ②1,2,4,6…; ; ③a,a,a,…,a; ⑤ m , 2 m , 4 m 2 , 8 m 3 , ...

×

× ④已知a1=2,an=3an+1 ; √ ×
非零的 常数列

⑥2a,2a,2a,…,2a. √ 3.什么样的数列既是等差数列又是等比数列?

思考2:
若a,G,b三个数成等比数列,那么这 三个数 有何恒等关系?

结论:G2=ab
G叫做a,b的等比中项

探究二:通项公式
思考3:如何用a1和q表示第n项an 1.叠乘法(累乘法) 2.不完全归纳法 a2/a1=q a2=a1q a3/a2=q a3=a2q=a1q2 a4/a3=q a4=a3q=a1q3 … … an/an-1=q 这n-1个式子相乘得an/a1=qn-1 an=a1qn-1 所以 an=a1qn-1
其中,a1与q均不为0。由于当n=1时上面等式两边均为a1, 即等式也成立,说明上面公式当n∈N*时都成立,因此它 就是等比数列{an}的通项公式。

等比数列的通项公式:
a n ? a 1 ?q
n ?1

(n∈N﹡,q≠0)

思考4:等比数列的通项公式与函数有怎样的关系?
例如:数列{an}的首项是a1=1,公比q=2,则通项公式是:

an ? 2n -1 ______
上式还可以写成

an 8

·

an ?
可见,这个等比数列 的图象都在函数

1 2

7

?2

n

6
5

y ? ?2
1 2

x

4

·

3
2 1
0

的图象上,如右图所示。
结论: 等比数列?an ? 的图象是其对应的 函数的图象上一些孤立的点

·
·
1 2 3 4 n

例1.在等比数列 ?a ? 中,
n

(1) a 4 ? 2 7 , q ? ? 3, 求 a n ; (2) a 3 ? 12, a 4 ? 18, 求 a1 .
变式:求出下列等比数列中的未知项: (1 ) , a , ; 2 8

a ? ?4
a9 ? 9

(2 )a 5 = 4 ,a 7 = 6 , 求 a 9 .

0

1

2

例 2: 9 是 等 比 数 列 3 2 , 2 , 2 , 的 第 几 项 ? 3 3 ...
0 1 n ?1 2

解:a 1 ? 3 2 ? 1, q ? 3 2 , a n ? a 1 ? q n ? 1 ? 3 ?
n ?1

.

9 ? 3 ? 3
2

2

,即2 ?

n ?1 2

, n ? 5, ?

即 9 为 该 数 列 的 第 5项 .
变式: 3
m ?1

是该数列中的项吗?若是,是第几项 ?
n ?1 m ?1

分析:令3

? 3

2

, 则 n=2m +3

例 3: 已 知 { a n }的 通 项 公 式 a n ? 3 , 求 证 :a n }是 {
n

等比数列.
an

定义法,只要看
? q (q是 一 个 与 n无 关 的 非 零 常 数 )

变式 :

a n ?1

已 知 数 列 { a n }的 前 n 项 和 为 S n ? 3 ? 1, 求 证 :
n

数 列 { a n }是 等 比 数 列 .

分 析 : 当 n ? 1时 , a 1 ? S 1 ? 3 ? 1 ? 2;
1

当 n ? 2时 , a n ? S n ? S n ? 1 ? 3 ? 1 ? (3
n

n ?1

? 1) ? 2 ?3
n ?1

?3 ?3
n

n ?1

? 3?3

n ?1

当 n ? 1时 , 也 满 足 a n ? 2 ? 3
? an a n ?1 ? 2 ?3 2 ?3
n ?1 n?2

n ?1

?3

n ?1



? an ? 2 ? 3

n ?1

.

? 3 为 常 数 ( n ? 2 ).

当堂达标:
1.下面有四个结论: (1)由第一项起乘相同常数得后一项,这样所得到的数列一定为等比 数列; (2)常数列b,b,…b一定为等比数列; (3)等比数列{ a n}中,若公比q=1,则此数列各项相等;

(4)等比数列中,各项与公比都不能为零。
其中正确结论的个数是( A. 0 B. 1

C

) C. 2 D.3

2. 等比数列{ a n}中,a1 ? 4 ,公比q=3,则通项公式( D )
A. 3 n B. 4 n C.3 ?4 n ? 1 D. 4 ?3 n ? 1 3. 在等比数列{ a n }中,a 2 ? 6 , a 5 ? 4 8 ,则 a 8 ?

384

.

4. 2 ?

3 与 2 + 3 的等比中项为:

?1

小结:
1.等比数列的定义:

an a n ?1

? q ( n ? 2 )或

a n ?1 an

? q.

2.等比数列的通项公式:

an=a1qn-1
推导方法: (1)归纳法;(2)累乘法.
公式的 认识: (1)函数的观点;(2)方程的思想.

3.等比中项:

G

2

? ab

课后作业:
1、阅读教材第48~52页

2、完成课本第53页3,4题

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