湖北省宜昌市窑湾中学高中数学选修2-3学案(无答案)3.1 独立性检验


§3.1 独立性检验(1) 教学目标 (1)通过对典型案例的探究,了解独立性检验(只要求 2 ? 2 列联表)的基本思想、方法及初步 应用; (2)经历由实际问题建立数学模型的过程,体会其基本方法. 教学重点、难点:独立性检验的基本方法是重点.基本思想的领会及方法应用是难点. 教学过程 一.问题情境 1. 某医疗机构为了了解呼吸道疾病与吸烟是否有关,进行了一次抽样调查,共调查了 515 个成年 人,其中吸烟者 220 人,不吸烟者 295 人.调查结果是:吸烟的 220 人中有 37 人患呼吸道疾病 (简称患病),183 人未患呼吸道疾病(简称未患病);不吸烟的 295 人中有 21 人患病,274 人未患病. 问题:根据这些数据能否断定“患呼吸道疾病与吸烟有关”? 二.学生活动 为了研究这个问题, (1)引导学生将上述数据用下表来表示: 患病 吸烟 不吸烟 合计 37 21 58 未患病 183 274 457 合计 220 295 515 (2)估计吸烟者与不吸烟者患病的可能性差异: 在吸烟的人中,有 37 21 ? 16.82% 的人患病,在不吸烟的人中,有 ? 7.12% 的人患病. 220 295 问题:由上述结论能否得出患病与吸烟有关?把握有多大? 三.建构数学 1.独立性检验: (1)假设 H 0 :患病与吸烟没有关系. 若将表中“观测值”用字母表示,则得下表: 患病 吸烟 未患病 合计 a b a?b 不吸烟 合计 c d c?d a?c b?d a?b?c?d (近似的判断方法:设 n ? a ? b ? c ? d ,如果 H 0 成立,则在吸烟的人中患病的比例与 不 吸 烟 的 人 中 患 病 的 比 例 应 差 不 多 , 由 此 可 得 a c ? , 即 a?b c?d a( c ? d )? c ( ? a )b ? a?d ,因此, ? b 0 c | ad ? bc | 越小,患病与吸烟之间的关系越弱,否 则,关系越强. ) 设n ? a?b?c?d , 在假设 H 0 成立的条件下, 可以通过求 “吸烟且患病” 、 “吸烟但未患病” 、 “不吸烟但患病” 、 “不吸烟且未患病”的概率(观测频率) ,将各种人群的估计人数用 a, b, c, d , n 表示出来. 例如: “吸烟且患病”的估计人数为 n ? P ( AB ) ? n ? a?b a?c ? ; n n a?b b?d ? “吸烟但未患病” 的估计人数为 n ? P ( AB ) ? n ? ; n n c?d a?c ? “不吸烟但患病”的估计人数为 n ? P ( AB ) ? n ? ; n n c?d b?d ? “不吸烟且未患病”的估计人数为 n ? P( AB ) ? n ? . n n 如果实际观测值与假设求得的估计值相差不大,就可以认为所给数据(观测值)不能否定假设 H 0 .否则,应认为假设 H 0 不能接受,即可作出与假设 H 0 相反的结论. (2)卡方统计量: 为了消除样本对上式的影响,通常用卡方统计量(χ ? ? 卡方 χ 统计量公式: 2 2 (观测值 ? 预期值)2 预期值 )来进行估计. a?b a?c ? ? a?b b?d ? ? ? ? ?a ? n? ? ?b ? n? ? n n ? ? n n ? ? 2 ? χ ? a?b a?c a?b b?d n? ? n? ? n n n n c?d a?c? ? c?d b?d ? ? ? ? ?c ? n?

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