2015-2016学年高中数学 第2章 3条件概率与独立事件课件 北师大版选修2-3

第二章
概 率

第二章
§3 条件概率与独立事件

1

课前自主预习

2

课堂典例探究

3

课 时 作 业

课前自主预习

1.理解条件概率的概念.

2.分清条件概率与非条件概率的区别.
3.明确求条件概率的两个公式的区别. 4 .理解两事件相互独立的定义,并会判定事件的独立

性.
5.会应用公式P(AB)=P(A)·P(B)解决实际问题. 本节重点:条件概率与独立事件. 本节难点:条件概率,判定相互独立事件的方法.

P?AB? P(B|A) = 1.设 A、B 为两个事件,且 P(A)>0,称_______ 为 P?A?

条件 概率.特别地, 在事件 A 发生的条件下,事件 B 发生的_____
n?AB? 对于古典概型,有 P(B|A)= . n?A?

P(A)· P(B) ,则称事件 A 2.对于事件 A、B,如果 P(AB)=__________
与 B 相互独立,如果事件 A、B 相互独立,则事件 A、B 发生的

没有 影响,此时 P(B|A)=_____ P(B) ,P(AB)=__________ P(A)· P(B) . 概率_____

- - 3.一般地,如果事件 A 与 B 相互独立,那么 A 与 B 、A 与 - - 独立 .如果事件 A1、A2、?、An 相互独立, B、 A 与 B 也相互_____
P(A1)· P(A2)· …· P(An) 则 P(A1· A2· ?· An)=____________________.

1.计算在事件 A 发生的条件下 B 发生的条件概率,常有以 下两种方法: (1)利用定义计算 先分别计算概率 P(AB)及 P(A),然后借助于条件概率公式 P?AB? P(B|A)= 求解. P?A?

(2)已知 A 发生,在此条件下 B 发生,相当于 AB 发生,要 求 P(B|A)相当于把 A 看作新的基本事件空间来计算 AB 发生的 概率,即 n?AB? P(B|A)= . n?A? (3)条件概率公式的变形公式 P?AB? 公式 P(B|A)= 揭示了 P(A)、P(B|A)与 P(AB)的关系, P?A? 常用于知二求一中.它的变形公式为:若 P(A)>0,则 P(AB)= P(A)P(B|A).

2.互斥与独立的区别与联系 (1)事件间的“互斥”与“独立”是两个不同的概念,但极 易混淆.在解决两个或两个以上事件相互关系的概率问题时, 首先要判断事件是互斥还是相互独立,只有搞清了事件的类型 才能采用相应的概率公式. 两事件互斥是指两个事件不可能同时发生;两事件相互独 立是指一个事件的发生与否对另一事件的发生与否没有影 响.学习时要注意区别开来.

“独立性”是指两个试验中,一个事件的发生不影响另一个事 件的发生;“互斥性”是指两个事件之间有很强的排斥关系: 在一次随机试验中,一个事件发生,另一个就不发生.此外, 两事件互斥则它们一定不独立, 两事件独立则它们一定不互斥. (2)一般地,可以证明,事件 A 与 B(不一定互斥)中至少有 一个发生的概率可按下面的加法公式计算: P(A+ B) = P(A)+ P(B)-P(AB). 特别地,当事件 A 与 B 互斥时,P(AB)=0,于是上式变为 P(A+B)=P(A)+P(B).

3.解决概率问题的步骤 求概率问题的步骤是: 第一步,确定事件的性质,将所给问题归结为以下各类事 件的某一种:古典概型、几何概型、互斥事件、条件概率、独 立事件. 第二步,判断事件的运算,确定事件至少有一个发生,还 是同时发生,分别运用相加或相乘公式.

第三步,结合排列组合知识,并运用以下概率公式求解. m 古典概型:P(A)= n . P?AB? 条件概率:P(A|B)= . P?A? d的测度 几何概型:P(A)= . D的测度 互斥事件:P(A+B)=P(A)+P(B). 独立事件:P(AB)=P(A)P(B).

此外,解决较复杂的概率综合题通常有三种策略: 一是直接法,将所求事件的概率直接化成一些彼此互斥的 事件的概率和, 再将每一类事件分解成简单事件; 二是间接法, 先求此事件的对立事件的概率,然后求此事件的的概率;三是 运用方程(组)的思想,将所求事件的概率设为未知数,列方程 进行化归求解.

3 3 1.已知 P(AB)=10,P(A)=5,则 P(B|A)等于( 9 A.50 9 C.10 1 B.2 1 D.4

)

[答案] B
[解析] 1 =2,故选 B.

3 P?AB? 10 本题直接考查条件概率公式,P(B|A)= =3 P?A? 5

2.(2014·新课标Ⅱ理,5)某地区空气质量监测资料表明, 一天的空气质量为优良的概率是 0.75,连续两天为优良的概率 是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为 优良的概率是( A.0.8 ) B.0.75

C.0.6
[答案] A

D.0.45

[解析] 设 A=“某一天的空气质量为优良”,B=“随后 一天的空气质量为优良”,则 P?A∩B? 0.6 P(B|A)= =0.75=0.8,故选 A. P?A? 熟练条件概率的定义、 计算公式是解答好本类题目的关键.

3.甲、乙两人进行乒乓球比赛,比赛规则为“3局2

胜”,即以先赢 2局者为胜.根据经验,每局比赛中甲获胜的
概率为0.6,则本次比赛甲获胜的概率是( A.0.216 C.0.432 [答案] D
[解析] “每局比赛中甲获胜”记为事件 A, 则 P(A)=0.6, - - - P( A )=0.4,“本次比赛中甲获胜”为事件 AA∪A A A∪ A AA, 所 以 “ 本 次 比 赛 中 甲 获 胜 ” 的 概 率 为 P = 0.6×0.6 + 0.6×0.6×0.4×2=0.648.选 D.

)

B.0.36 D.0.648

4 .若 P(A) = 0.3 , P(B) = 0.4 , P(A∩B) = 0.1 ,则 P(A|B) = ________,P(B|A)=________.
[答案] 1 4 1 3

P?A∩B? 1 [解析] P(A|B)= =4, P?B? P?A∩B? 1 P(B|A)= =3. P?A?

5.设甲、乙两人独立地射击同一目标,甲击中目标的概率 9 8 为10,乙击中目标的概率为9,现各射击一次,则目标被击中的 概率为________.
[答案] 89 90

[解析] “目标被击中”包含“甲中、乙不中”“甲不中、 乙中”“甲乙都中”三种情况, 其对立事件“甲乙都不中”. ∴ 1 1 89 所求概率为 1-10×9=90.

课堂典例探究

条件概率

在 5 道题中有 3 道理科题和 2 道文科题. 如果不 放回地依次抽取 2 道题,求: (1)第 1 次抽到理科题的概率; (2)第 1 次和第 2 次都抽到理科题的概率; (3)在第 1 次抽到理科题的条件下,第 2 次抽到理科题的概 率.

[解析] 设第 1 次抽到理科题为事件 A, 第 2 次抽到理科题 为事件 B,则第 1 次和第 2 次都抽到理科题为事件 AB. (1)从 5 道题中不放回地依次抽取 2 道的事件数为 n(Ω)=A2 5=20.
1 根据分步乘法计数原理,n(A)=A1 × A 3 4=12.

n?A? 12 3 于是 P(A)= = = . n?Ω? 20 5 (2)因为 Ω(AB)=A2 3=6,所以 3 n?AB? 6 P(AB)= = = . n?Ω? 20 10

(3)方法一:由(1)(2)可得,在第 1 次抽到理科题的条件下, 第 2 次抽到理科题的概率为: 3 P?AB? 10 1 P(B|A)= = 3 =2. P?A? 5 方法二:因为 n(AB)=6,n(A)=12, n?AB? 6 1 所以 P(B|A)= = = . n?A? 12 2

[反思总结]

在等可能事件的问题中,求条件概率采用公

n?AB? 式 P(B|A)= 更易理解, 然而最通用的方法是条件概率公式 n?A? P?AB? P(B|A)= ,这就需要求出 P(AB)和 P(A),用到原来的概率 P?A? 知识.

深圳某电脑主板工厂有职工 1 000 人,男、女各占一半, 男、女职工中非熟练工人分别为40人与10人,现从该厂的职工 中任选一名职工,试问:

(1)该职工为非熟练工人的概率是多少?
(2)若已知选出的是女职工,她是非熟练工人的概率又是多 少?

[解析]

设 A 表示事件“任选一名,为非熟练工人”,B

表示事件“选出的是女职工”. (1)非熟练工人共 40+10=50 人,由古典概型可知,职工 50 1 为非熟练工人的概率是 P(A)=1 000=20. (2)若已知选出的是女职工,她是非熟练工人的概率是 10 P?AB? 1 000 1 P(A|B)= = 500 =50. P?B? 1 000

相互独立性的判断

判断下列各对事件是否是相互独立事件:
(1)甲组3名男生、2名女生;乙组2名男生、3名女生,今从 甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛,“从甲组中选出1名 男生”与“从乙组中选出1名女生”; (2)容器内盛有 5个白乒乓球和3个黄乒乓球,“从8个球中

任意取出1个,取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出
1个,取出的还是白球”;

(3)一筐内有6个苹果和3个梨,“从中任意取出1个,取出 的是苹果”与“把取出的苹果放回筐内,再从筐内任意取出 1 个,取出的是梨”.

[分析]
互独立. [ 解析 ]

解答本题可先看两个事件中其中一个事件发生与

否对另一个事件发生的概率是否有影响,再判断两事件是否相 (1)“ 从甲组选出 1 名男生 ” 这一事件是否发生,

对“从乙组选出 1 名女生 ” 这一事件发生的概率没有影响,所 以它们是相互独立事件.

(2)“从 8 个球中任意取出 1 个,取出的是白球”的概率为 5 8,若这一事件发生了,则“从剩下的 7 个球中任意取出 1 个, 4 取出的仍是白球”的概率为7; 若前一事件没有发生, 则后一事 5 件发生的概率为7, 可见,前一事件是否发生,对后一事件发 生的概率有影响,所以二者不是相互独立事件. (3)由于把取出的苹果又放回筐内,故对“从中任意取出 1 个, 取出的是梨”的概率没有影响, 所以二者是相互独立事件.

[反思总结]

相互独立事件的特点是: (1)对两个事件而言;

(2) 其中一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影 响.

一个家庭中有若干个小孩,假定生男孩和生女孩是等可能 的,令A={一个家庭中既有男孩又有女孩 },B={一个家庭中 最多有一个女孩}.对下述两种情形,讨论A与B的独立性:

(1)家庭中有两个小孩;
(2)家庭中有三个小孩.

[分析]

(1)先写出家庭中两个小孩的所有可能情形,需注

意基本事件(男,女),(女,男)是不同的,然后分别求出 A、B 所含的基本事件数,由于生男生女具有等可能性,故可借助古 典概型来求 P(A)、 P(B)和 P(AB)的概率, 最后分析 P(AB)是否等 于 P(A)· P(B). (2)同(1).

[解析]

(1)有两个小孩的家庭,男孩、女孩的可能情形为

Ω={(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)}, 1 它有 4 个基本事件,由等可能性知概率各为4. 这时 A={(男,女),(女,男)}, B={(男,男),(男,女),(女,男)}, AB={(男,女),(女,男)}, 1 3 1 于是 P(A)=2,P(B)=4,P(AB)=2, 由此可知 P(AB)≠P(A)P(B),所以事件 A、B 不相互独立.

(2)有三个小孩的家庭,小孩为男孩、女孩的所有可能情形 为 Ω={(男,男,男),(男,男,女),(男,女,男),(女,男, 男),(男,女,女),(女,男,女),(女,女,男),(女,女, 女)}, 1 由等可能性知这 8 个基本事件的概率均为8,这时 A 中含有 6 个基本事件, B 中含有 4 个基本事件, AB 中含有 3 个基本事件.

6 3 4 1 3 于是 P(A)=8=4,P(B)=8=2,P(AB)=8, 3 显然有 P(AB)=8=P(A)P(B)成立. 从而事件 A 与 B 是相互独立的.
[反思总结] 判定两事件 A、B 是否相互独立,其依据为

P(AB)=P(A)· P(B),在计算 P(A)、P(B)及 P(AB)的概率时,可能 会用到古典概型、排列组合等相关知识,求解时注意知识间的 相互融合.

相互独立事件的概率
某企业有甲、 乙两个研发小组, 他们研发新产品 2 3 成功的概率分别为3和5,现安排甲组研发新产品 A,乙组研发 新产品 B,设甲、乙两组的研发相互独立. (1)求至少有一种新产品研发成功的概率; (2)若新产品 A 研发成功,预计企业可获利润 120 万元;若 新产品 B 研发成功,预计企业可获利润 100 万元,求该企业可 获利润的分布列.

[解析] (1)设至少有一组研发成功的事件为事件 A 且事件 B 为事件 A 的对立事件,则事件 B 为一种新产品都没有成功, 2 3 因为甲,乙成功的概率分别为3,5. 2 3 1 2 2 则 P(B)=(1-3)×(1-5)=3×5=15, 再根据对立事件概率之间的公式可得 13 P(A)=1-P(B)=15, 13 所以至少一种产品研发成功的概率为15.

(2)由题可设该企业可获得利润为 ξ,则 ξ 的取值有 0,120+ 0,100+0,120+100,即 ξ=0,120,100,220,由独立试验的概率计 算公式可得: 2 3 2 P(ξ=0)=(1-3)×(1-5)=15; 2 3 4 P(ξ=120)=3×(1-5)=15; 2 3 1 P(ξ=100)=(1-3)×5=5;

2 3 2 P(ξ=220)=3×5=5; 所以 ξ 的分布列如下: ξ 0 120 100 220 4 15 1 5 2 5

2 P(ξ) 15

甲、乙两人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比 赛,若赛完 5 局仍未出现连胜,则判定获胜局数多者赢得比 2 1 赛.假设每局甲获胜的概率为3,乙获胜的概率为3,各局比赛 结果相互独立. (1)求甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛的概率; (2)记 X 为比赛决出胜负时的总局数,求 X 的分布列.

[解析] 用 A 表示“甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛”, Ak 表示“第 k 局甲获胜”,Bk 表示“第 k 局乙获胜”,则 P(Ak) 2 1 =3,P(Bk)=3,k=1,2,3,4,5. (1)P(A) = P(A1A2) + P(B1A2A3) + P(A1B2A3A4) = P(A1)P(A2) + 22 1 22 2 1 P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2),P(A3)P(A4)=(3) +3×(3) +3×3 2 2 56 ×(3) =81.

(2)X 的可能取值为 2,3,4,5. 5 P(X=2)=P(A1A2)+P(B1B2)=P(A1)P(A2)+P(B1)P(B2)=9, P(X=3)=P(B1A2A3)+P(A1B2B3) 2 =P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(B3)=9, P(X=4)=P(A1B2A3A4)+P(B1A2B3B4) 10 =P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)+P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)=81,

8 P(X=5)=1-P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)=81. 故 X 的分布列为 X 2 3 4 5

5 2 10 8 P 9 9 81 81

概率知识的综合应用 设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设 备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4,各人是否需使用设备相互

独立.
(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率; (2)X表示同一工作日需使用设备的人数,求X的分布列.

[解析]

记Ai表示事件:同一工作日乙、丙中恰有i人需使

用设备,i=0,1,2, B表示事件:甲需使用设备.

C表示事件:丁需使用设备.
D表示事件:同一工作日至少3人需使用设备.

(1)D=A1· B· C+A2· B· C+A2B. P(B)=0.6,P(C)=0.4,P(Ai)=Ci2×0.52,i=0,1,2, 所以 P(D)=P(A1· B· C+A2· B+A2· B· C) =P(A1· B· C)+P(A2· B)+P(A2· B· C) =P(A1· B· C)+P(A2· B)+P(A2· B· C) =P(A1)P(B)P(C)+P(A2)P(B)+P(A2)P( B )P(C) =0.31.

(2)X 的可能取值为 0、1、2、3、4, P(X=0)=P( B · A0· C) =P( B )P(A0)P( C ) =(1-0.6)×0.52×(1-0.4) =0.06. P(X=1)=P(B· A0· C+B· A1· C) =P(B)P(A0)P( C )+P( B )P(A0)P(C)+P( B )P(A1)P( C ) = 0.6×0.52×(1 - 0.4) + (1 - 0.6)×0.52×0.4 + (1 - 0.6)×2×0.52×(1-0.4)=0.25.

P(X = 4) = P(A2· B· C) = P(A2)P(B)P(C) = 0.52×0.6×0.4 = 0.06, P(X=3)=P(D)-P(X=4)=0.25. P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)-P(X=4) =1-0.06-0.25-0.25-0.06 =0.38. ∴X 的分布列为: X 0 1 2 3 4

P 0.06 0.25 0.38 0.25 0.06

(2015·全国新课标Ⅱ理,18)某公司为了解用户对其产品的
满意度,从 A 、 B 两地区分别随机调查了 20 个用户,得到用户 对产品的满意度评分如下: A地区:62 78 86 93 48 95 65 73 81 66 97 62 81 74 92 78 51 56 95 88 91 54 85 82 46 76 74 76 53 65 64 89 73 79 64 82 53 76

B地区:73 83

(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并 通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度 (不要 求计算出具体值,给出结论即可); A 地区 4 5 6 7 8 9 B 地区

(2)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三 个等级: 满意度评分 低于 70 分 70 分到 89 分 不低于 90 分 满意度等级 不满意 满意 非常满意

记事件 C:“A 地区用户的满意度等级高于 B 地区用户的 满意度等级”.假设两地区用户的评价结果相互独立.根据所 给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求 C 的 概率.

[解析] (1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下

通过茎叶图可以看出,A 地区用户满意度评分的平均值高 于 B 地区用户满意度评分的平均值;A 地区用户满意度评分比 较集中,B 地区用户满意度评分比较分散.

(2)记 CA1 表示事件:“A 地区用户满意度等级为满意或非 常满意”; CA2 表示事件:“A 地区用户满意度等级为非常满意”; CB1 表示事件:“B 地区用户满意度等级为不满意”; CB2 表示事件:“B 地区用户满意度等级为满意”. 则 CA1 与 CB1 独立,CA2 与 CB2 独立,CB1 与 CB2 互斥, C=CB1CA1∪CB2CA2. P(C)=P(CB1CA1∪CB2CA2)=P(CB1CA1)+P(CB2CA2) =P(CB1)P(CA1)+P(CB2)P(CA2).

16 由所给数据得 CA1、CA2、CB1、CB2 发生的频率分别为20、 4 10 8 16 4 10 20、20、20.故 P(CA1)=20,P(CA2)=20,P(CB1)=20,P(CB2) 8 10 16 8 4 =20,故 P(C)=20×20+20×20=0.48.

另解:由题意可知: 概率 P 不满意 满意 非常满意 A B 1 5 1 2 3 5 2 5 1 5 1 10

3 1 1 1 2 12 ∴P(C)=5×2+5×(2+5)=25=0.48.

设某种灯管使用了 500h 还能继续使用的概率是 0.94,使用到 700h 还能继续使用的概率是 0.87,问已经使用了 500h 的一个此种灯管还能继续使用到 700h 的概率是多少?
[误解一] [误解二] P=0.94×0.87=0.8178. 设 A=“使用了 500h 还能继续使用”, B=“使

用到 700h 还能继续使用”, 则 P(A)=0.94, P(B)=0.87, 则 P(B|A) P?AB? P?A?P?B? = = =P(B)=0.87. P?A? P?A?

[正解]

设 A=“使用了 500h 还能继续使用”,B=“使

用到 700h 还能继续使用”,则 P(A)=0.94,P(B)=0.87,而所 P?AB? P?B? 求的概率为 P(B|A).由于 A∩B=B,故 P(B|A)= = = P?A? P?A? 0.87 87 0.94=94.

[反思总结]

本题所求事件的概率属于条件概率,误解一

P?A∩B? 当成了相互独立事件.误解二中错用公式 P(B|A)= = P?A? P?A?P?B? ,注意只有事件 A , B 相互独立时才有 P(A∩B) = P?A? P(A)P(B).

有一批种子的发芽率为 0.8,发芽后的幼苗成活 率为 0.7, 在这批种子中,随机抽取一粒,求这粒种子能成长为 幼苗的概率.
P?B? 0.7 7 [误解] P= = = . P?A? 0.8 8

[正解] 设 A=“种子发芽成功”,B=“种子能成长为幼 P?A∩B? 苗”. 根据题意知 P(A)=0.8, P(B|A)=0.7, 故由 P(B|A)= P?A? 知 P(A∩B)=P(A)P(B|A)=0.8×0.7=0.56.又由于 A∩B=B,故 P(A∩B)=P(B)=0.56, 即这粒种子能成长为幼苗的概率为 0.56.
[反思总结] 本题中 0.7 指的是这批种子在发芽成功的条

件下再成长为幼苗的概率,指的是 P(B|A).


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