2016高考理科数学二轮复习专题---概率统计专题训练题(4)

概率统计专题训练(4)
一.解答题(共 6 小题) 1. (2007?安徽)在医学生物学试验中,经常以果蝇作为试验对象,一个关有 6 只果蝇的笼 子里,不慎混入了两只苍蝇(此时笼内共有 8 只蝇子:6 只果蝇和 2 只苍蝇) ,只好把笼子 打开一个小孔,让蝇子一只一只地往外飞,直到两只苍蝇都飞出,再关闭小孔.以 ξ 表示笼 内还剩下的果蝇的只数. (Ⅰ)写出 ξ 的分布列(不要求写出计算过程)和数学期望 Eξ; (Ⅱ)求概率 P(ξ≥Eξ) . 2. (2010?广东模拟)某汽车驾驶学校在学员结业前,对学员的驾驶技术进行 4 次考核,规 定:按顺序考核,一旦考核合格就不必参加以后的考核,否则还需参加下次考核.若学员小 李独立参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为 的等差数列,他参加第一次考核合格 的概率超过 ,且他直到参加第二次考核才合格的概率为 (1)求小李第一次参加考核就合格的概率 p. ; (2)求小李参加考核的次数 ξ 的分布列和数学期望 Eξ. 3. (2010?南通模拟)某地位于甲、乙两条河流的交汇处,根据统计资料预测,今年汛期甲 河流发生洪水的概率为 0.25, 乙河流发生洪水的概率为 0.18 (假设两河流发生洪水与否互不 影响) .现有一台大型设备正在该地工作,为了保护设备,施工部门提出以下三种方案: 方案 1:运走设备,此时需花费 4000 元; 方案 2:建一保护围墙,需花费 1000 元,但围墙只能抵御一个河流发生的洪水,当两河流 同时发生洪水时,设备仍将受损,损失约 56000 元; 方案 3:不采取措施,此时,当两河流都发生洪水时损失达 60000 元,只有一条河流发生洪 水时,损失为 10000 元. (1)试求方案 3 中损失费 ξ(随机变量)的分布列; (2)试比较哪一种方案好. 4. (2005?湖北)某会议室用 5 盏灯照明,每盏灯各使用灯泡一只,且型号相同.假定每盏 灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关,该型号的灯泡寿命为 1 年以上的概率为 p1,寿命为 2 年以上的概率为 p2.从使用之日起每满 1 年进行一次灯泡更换工作,只更换已坏的灯泡, 平时不换. (Ⅰ)在第一次灯泡更换工作中,求不需要换灯泡的概率和更换 2 只灯泡的概率; (Ⅱ)在第二次灯泡更换工作中,对其中的某一盏灯来说,求该盏灯需要更换灯泡的概率; (Ⅲ)当 p1=0.8,p2=0.3 时,求在第二次灯泡更换工作,至少需要更换 4 只灯泡的概率(结 果保留两个有效数字) . 5. (2010?苏州模拟)在 1,2,3,…9 这 9 个自然数中,任取 3 个不同的数. (1)求这 3 个数中至少有 1 个是偶数的概率;
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(2)求这 3 个数和为 18 的概率; (3)设 ξ 为这 3 个数中两数相邻的组数(例如:若取出的数为 1,2,3,则有两组相邻的 数 1,2 和 2,3,此时 ξ 的值是 2) .求随机变量 ξ 的分布列及其数学期望 Eξ. 6. (2010?丹阳市模拟)在一次运动会上,某单位派出了有 6 名主力队员和 5 名替补队员组 成的代表队参加比赛. (1)如果随机抽派 5 名队员上场比赛,将主力队员参加比赛的人数记为 X,求随机变量 X 的数学期望; (2)若主力队员中有 2 名队员在练习比赛中受轻伤,不宜同时上场;替补队员中有 2 名队 员身材相对矮小, 也不宜同时上场; 那么为了场上参加比赛的 5 名队员中至少有 3 名主力队 员,教练员有多少种组队方案?

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概率统计专题训练(4)
参考答案与试题解析

一.解答题(共 6 小题) 1. (2007?安徽)在医学生物学试验中,经常以果蝇作为试验对象,一个关有 6 只果蝇的笼 子里,不慎混入了两只苍蝇(此时笼内共有 8 只蝇子:6 只果蝇和 2 只苍蝇) ,只好把笼子 打开一个小孔,让蝇子一只一只地往外飞,直到两只苍蝇都飞出,再关闭小孔.以 ξ 表示笼 内还剩下的果蝇的只数. (Ⅰ)写出 ξ 的分布列(不要求写出计算过程)和数学期望 Eξ; (Ⅱ)求概率 P(ξ≥Eξ) . 【考点】离散型随机变量及其分布列;等可能事件的概率;离散型随机变量的期望与方差.
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【专题】计算题;应用题;压轴题. 【分析】 (I)由题意知以 ξ 表示笼内还剩下的果蝇的只数,ξ 的可能取值是 0,1,2,3,4, 5,6,结合变量对应的事件写出变量的概率,写出分布列,做出期望. (II)根据上一问做出的期望值,知道概率 P(ξ≥Eξ)就是求概率 P(ξ≥2) ,在上一问所做的 分布列中,变量大于等于 2 包括 5 种情况,这五种情况是互斥的,根据互斥事件的概率公式 得到结果. 【解答】解: (Ⅰ)由题意知以 ξ 表示笼内还剩下的果蝇的只数,ξ 的可能取值是 0,1,2, 3,4,5,6 得到 ξ 的分布列为: ξ0 1 2 3 4 5 6 P ∴数学期望为 Eξ= (1×6+2×5+3×4)=2. .

(II)所求的概率为 P(ξ≥Eξ)=P(ξ≥2)=

【点评】本题主要考查等可能条件下的事件概率的计算、离散型随机变量的分布列、数学期 望的概念及其计算,考查分析问题及解决实际问题的能力. 2. (2010?广东模拟)某汽车驾驶学校在学员结业前,对学员的驾驶技术进行 4 次考核,规 定:按顺序考核,一旦考核合格就不必参加以后的考核,否则还需参加下次考核.若学员小 李独立参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为 的等差数列,他参加第一次考核合格 的概率超过 ,且他直到参加第二次考核才合格的概率为 .

(1)求小李第一次参加考核就合格的概率 p. ; (2)求小李参加考核的次数 ξ 的分布列和数学期望 Eξ. 【考点】离散型随机变量的期望与方差;等可能事件的概率;离散型随机变量及其分布列.
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【专题】计算题;压轴题. 【分析】 (1)根据题意写出关于概率的方程,解方程即可得到要求的结果,根据条件中对于 概率的要求,舍去不合题意的. (2)根据题意得到变量的可能取值,由(1)的结论知,小李四次考核每次合格的概率依次 为 ,结合变量对应的事件写出分布列和期望. , 或 . . ,

【解答】解: (1)由题意,得 因为 ,所以

,即小李第一次参加考核就合格的概率

(2)由(1)的结论知,小李四次考核每次合格的概率依次为 所以,

所求分布列为: ξ 1 P 由上可知,

2

3

4

【点评】 本题考查离散型随机变量的分布列和期望, 本题解题的关键是在第一问做出要用的 概率,本题是一个必出现在高考卷中的题目类型. 3. (2010?南通模拟)某地位于甲、乙两条河流的交汇处,根据统计资料预测,今年汛期甲 河流发生洪水的概率为 0.25, 乙河流发生洪水的概率为 0.18 (假设两河流发生洪水与否互不 影响) .现有一台大型设备正在该地工作,为了保护设备,施工部门提出以下三种方案: 方案 1:运走设备,此时需花费 4000 元; 方案 2:建一保护围墙,需花费 1000 元,但围墙只能抵御一个河流发生的洪水,当两河流 同时发生洪水时,设备仍将受损,损失约 56000 元; 方案 3:不采取措施,此时,当两河流都发生洪水时损失达 60000 元,只有一条河流发生洪 水时,损失为 10000 元. (1)试求方案 3 中损失费 ξ(随机变量)的分布列; (2)试比较哪一种方案好. 【考点】离散型随机变量及其分布列. 【专题】计算题;压轴题. 【分析】 (1)方案 3 中损失费 ξ 的取值为 60000 和 10000,利用相互独立事件的概率求出其 概率即可. (2)比较哪一种方案好方案一可直接算出其损失,方案二和三中求其损失的期望值,再与 方案 1 比较即可. 【解答】解: (1)在方案 3 中,记“甲河流发生洪水”为事件 A,“乙河流发生洪水”为事件 B,
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则 P(A)=0.25,P(B)=0.18, 所以,有且只有一条河流发生洪水的概率为 P(A? + ?B)=P(A)?P( )+P( )?P(B) =0.34, 两河流同时发生洪水的概率为 P(A?B)=0.045, 都不发生洪水的概率为 P( ? )=0.75×0.82=0.615, 设损失费为随机变量 ξ,则 ξ 的分布列为: ξ 10000 60000 0 P 0.34 0.045 0.615 (2)对方案 1 来说,花费 4000 元; 对方案 2 来说,建围墙需花费 1000 元,它只能抵御一条河流的洪水, 但当两河流都发生洪水时,损失约 56000 元,而两河流同时发生洪水的概率为 P=0.25×0.18=0.045. 所以,该方案中可能的花费为:1000+56000×0.045=3520(元) . 对于方案来说,损失费的数学期望为:Eξ=10000×0.34+60000×0.045=6100(元) , 比较可知,方案 2 最好,方案 1 次之,方案 3 最差. 【点评】本题考查相互独立事件的概率,随机变量的分布列和期望,以及利用概率知识解决 实际问题的能力. 4. (2005?湖北)某会议室用 5 盏灯照明,每盏灯各使用灯泡一只,且型号相同.假定每盏 灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关,该型号的灯泡寿命为 1 年以上的概率为 p1,寿命为 2 年以上的概率为 p2.从使用之日起每满 1 年进行一次灯泡更换工作,只更换已坏的灯泡, 平时不换. (Ⅰ)在第一次灯泡更换工作中,求不需要换灯泡的概率和更换 2 只灯泡的概率; (Ⅱ)在第二次灯泡更换工作中,对其中的某一盏灯来说,求该盏灯需要更换灯泡的概率; (Ⅲ)当 p1=0.8,p2=0.3 时,求在第二次灯泡更换工作,至少需要更换 4 只灯泡的概率(结 果保留两个有效数字) . 【考点】离散型随机变量及其分布列;相互独立事件的概率乘法公式. 【专题】计算题;压轴题. 【分析】 (I)一只灯泡需要不需要换,可以看做一个独立重复试验,根据公式得到在第一次 更换灯泡工作中,不需要换灯泡的概率和需要更换 2 只灯泡的概率. (II)由题意知在第二次灯泡更换工作中,对其中的某一盏灯来说,该盏灯需要更换灯泡是 两个独立事件,包括两种情况,这两种情况是互斥的,根据独立重复试验和互斥事件的概率 公式,得到结果. (III)由题意知,至少需要更换 4 只灯泡包括需要环 4 只,需要换 5 只,根据独立重复试验 的概率公式写出结果. 【解答】解:因为该型号的灯泡寿命为 1 年以上的概率为 p1,寿命为 2 年以上的概率为 p2. 所以寿命为 1~2 年的概率应为 p1﹣p2.其分布列为: 寿命0~1 1~2 2~ P 1﹣P1P1﹣P2P2 (I)一只灯泡需要不需要换,可以看做一个独立重复试验,根据公式得到 5 2 3 在第一次更换灯泡工作中,不需要换灯泡的概率为 p1 ,需要更换 2 只灯泡的概率为 C5 p1 2 (1﹣p1) ;
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(II)在第二次灯泡更换工作中,对其中的某一盏灯来说,该盏灯需要更换灯泡是两个独立 事件的和事件: 2 ①在第 1、2 次都更换了灯泡的概率为(1﹣p1) ; ②在第一次未更换灯泡而在第二次需要更换灯泡的概率为 p1﹣p2. 2 故所求的概率为 p3=(1﹣p1) +p1﹣p2. (III)由(II)当 p1=0.8,p2=0.3 时,在第二次灯泡更换工作中,对其中的某一盏灯来说, 2 该盏灯需要更换灯泡的概率 p3=(1﹣p1) +p1(p1﹣p2)=0.54. 在第二次灯泡更换工作,至少换 4 只灯泡包括换 5 只和换 4 只两种情况: 5 5 ①换 5 只的概率为 p3 =0.54 =0.046; 1 4 4 ②换 4 只的概率为 C5 p3 (1﹣p3)=5×0.54 (1﹣0.54)=0.196, 故至少换 4 只灯泡的概率为:p4=0.046+0.196=0.242. 即满两年至少需要换 4 只灯泡的概率为 0.242. 【点评】本题考查离散型随机变量的分布列,考查独立重复试验的概率,考查相互独立事件 同时发生的概率,考查互斥事件的概率,是一个综合题,题干比较长,需要认真读题来理解 题意. 5. (2010?苏州模拟)在 1,2,3,…9 这 9 个自然数中,任取 3 个不同的数. (1)求这 3 个数中至少有 1 个是偶数的概率; (2)求这 3 个数和为 18 的概率; (3)设 ξ 为这 3 个数中两数相邻的组数(例如:若取出的数为 1,2,3,则有两组相邻的 数 1,2 和 2,3,此时 ξ 的值是 2) .求随机变量 ξ 的分布列及其数学期望 Eξ. 【考点】离散型随机变量的期望与方差;等可能事件的概率. 【专题】计算题;压轴题. 3 【分析】 (1)本题是一个等可能事件的概率,试验发生所包含的事件数 C9 ,满足条件的事 件 3 个数中至少有 1 个是偶数,包含三种情况一个偶数,两个偶数,三个偶数,写出每种情 况的组合数,求出概率. 3 (2)本题是一个等可能事件的概率,试验发生所包含的事件数 C9 , ,考虑三数由大到小排 列后的中间数只有可能为 5、6、7、8,分别为 459,567,468,369,279,378,189 七种 情况,求出概率. (3)ξ 为这 3 个数中两数相邻的组数,随机变量 ξ 的取值为 0,1,2,结合变量对应的事件 写出变量的概率,写出分布列,利用期望公式做出期望值. 【解答】解: (1)由题意知本题是一个等可能事件的概率, 3 试验发生所包含的事件数 C9 , 满足条件的事件 3 个数中至少有 1 个是偶数, 包含三种情况一个偶数, 两个偶数, 三个偶数, 这三种情况是互斥的,根据等可能和互斥事件的概率公式得到
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; (2)记“这 3 个数之和为 18”为事件 B, 考虑三数由大到小排列后的中间数只有可能为 5、6、7、8, 分别为 459,567,468,369,279,378,189 七种情况,

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(3)随机变量 ξ 的取值为 0,1,2, P(ξ=0)= P(ξ=1)= P(ξ=2)= ∴ξ 的分布列为

∴ξ 的数学期望为



【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望,考查等可能事件的概率,是一个数字问 题,这是一个比较典型的概率问题,注意做到不重不漏. 6. (2010?丹阳市模拟)在一次运动会上,某单位派出了有 6 名主力队员和 5 名替补队员组 成的代表队参加比赛. (1)如果随机抽派 5 名队员上场比赛,将主力队员参加比赛的人数记为 X,求随机变量 X 的数学期望; (2)若主力队员中有 2 名队员在练习比赛中受轻伤,不宜同时上场;替补队员中有 2 名队 员身材相对矮小, 也不宜同时上场; 那么为了场上参加比赛的 5 名队员中至少有 3 名主力队 员,教练员有多少种组队方案? 【考点】离散型随机变量的期望与方差;排列、组合的实际应用. 【专题】压轴题. 【分析】 (1)由题意知随机变量 X 的取值是 0、1、2、3、4、5,当 X=0 时,表示主力队员 参加比赛的人数为 0,当 X=1 时,表示主力队员参加比赛的人数为 1,当 X=2 时,表示主 力队员参加比赛的人数为 2,以此类推,写出概率和分布列求出期望. 3 1 2 2 (2)上场队员有 3 名主力,方案有: (C6 ﹣C4 ) (C5 ﹣C2 )=144(种) ;上场队员有 4 名 4 2 1 5 3 主力,方案有: (C6 ﹣C4 )C5 =45(种) ;上场队员有 5 名主力,方案有: (C6 ﹣C4 ) 0 4 1 C5 =C4 C2 =2(种) .列出三种情况,相加得到结论. 【解答】解: (1)由题意知随机变量 X 的取值是 0、1、2、3、4、5, ∵当 X=0 时,表示主力队员参加比赛的人数为 0,以此类推,
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∴P(X=0)=



P(X=1)=


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P(X=2)=



P(X=3)=



P(X=4)=



P(X=5)=



∴随机变量 X 的概率分布如下表:

E(X)=0× = ≈2.73

+1×

+2×

+3×

+4×

+5×

(2)由题意知 3 1 2 2 ①上场队员有 3 名主力,方案有: (C6 ﹣C4 ) (C5 ﹣C2 )=144(种) 4 2 1 ②上场队员有 4 名主力,方案有: (C6 ﹣C4 )C5 =45(种) 5 3 0 4 1 ③上场队员有 5 名主力,方案有: (C6 ﹣C4 )C5 =C4 C2 =2(种) 教练员组队方案共有 144+45+2=191 种. 【点评】 本题考查离散型随机变量的期望和应用, 本题这种类型是近几年高考题中经常出现 的,考查离散型随机变量的分布列和期望,大型考试中理科考试必出的一道问题.

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