《金版学案》2014高考总复习(人教新课标理科)配套精讲课件第十章计数原理、概率、随机变量及其分布第一节_图文

第十章 计数原理、概率、 随机变量及其分布

第一节

分类计数与分步计数原理

考 纲 要 求
1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.
2.会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和

解决一些简单的实际问题.

课 前 自 修
知识梳理 1.分类加法计数原理: 做一件事,完成它可以有两类办法,在第一类办法中 有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法, 那么完成这件事共有N=m1+m2种不同的办法. 定义拓展:做一件事,完成它可以有n类办法,在第 一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不 同的方法,……,在第n类办法中有mn种不同的方法,那 么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的办法.

2.分步乘法计数原理: 做一件事,完成它需要分成两个步骤,做第一步有m1 种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法,那么完成这 件事共有N=m1· m2种不同的方法. 定义拓展:做一件事,完成它需要分成n个步骤,做 第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方 法,……,做第n步有mn种不同方法,那么完成这件事共有

N=m1· m2 · …· mn种不同的方法.

基础自测 1.(2012· 深圳高级中学期末)设集合A={-1,0,1},集合 B={0,1,2,3},定义A*B={(x,y)|x∈(A∩B),y∈(A∪B)},则 A*B中元素个数是( A.7 ) B.10 C.25 D.52

解析:A∩B={0,1},A∪B={-1,0,1,2,3}.x有2种取法,

y有5种取法,由分步乘法原理得2×5=10.故选B.
答案:B

2.(2012· 泉州模拟)从10名大学毕业生中选3人担任村
长助理,则甲、乙至少有1人入选,而丙没有入选的不同选 法的种数为( A.85 ) B.56 C.49 D.28

解析:甲、乙至少有1个入选而丙没有入选的不同选
2 2 1 =49(种). 法为 C7 +C7 +C7

答案:C

3.在某种信息传输过程中,用4个数字的一个排列(数
字允许重复)表示一个信息,不同排列表示不同信息.若所 用数字只有0和1,则与信息0110至多有两个对应位置上的 数字相同的信息个数为 A.10 B.11 C.12 D.15

解析:与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的 信息包括三类:
第一类:与信息0110有两个对应位置上的数字相同的有
2 =6(个); 4

C

第二类:与信息0110有一个对应位置上的数字相同的有

C1 4 =4(个);
第三类:与信息0110没有一个对应位置上的数字相同的 有 C0 =1(个). 4

所以与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信 息有6+4+1=11(个).故选B.
答案:B

4.椭圆

x2 y2 + m n

=1的焦点在y轴上,且m∈{1,2,3,

4,5},n∈{1,2,3,4,5,6,7},则这样的椭圆有________个.
解析:由题知m<n,根据m的取值分为5类:m=1 时,有6个椭圆;m=2时,有5个椭圆;m=3时,有4个

椭圆;m=4时,有3个椭圆;m=5时,有2个椭圆.共有
6+5+4+3+2=20个. 答案:20

考 点 探 究
考点一
分类加法计数原理的运用 三边长均为整数,且最大边长为11的三角形

【例1】

的个数是______________.

思路点拨:根据题目中的条件,列出另两边满足的关
系式,然后用列举法逐一求出来,再用分类加法计数原理求 解.

解析: 设较小的两边长为x,y,不妨设x≤y,
?x≤y≤11, ? 则 ?x+y>11, ? * ?x,y∈N .

当x=1时,y=11; 当x=2时,y=10,11;

当x=3时,y=9,10,11;
当x=4时,y=8,9,10,11; 当x=5时,y=7,8,9,10,11; 当x=6时,y=6,7,8,9,10,11;

当x=7时,y=7,8,9,10,11;
… 当x=11时,y=11. 所以不同三角形的个数为1+2+3+4+5+6+5+4+ 3+2+1=36(个). 答案:36 点评:应用分类加法计数原理时,首先要根据问题的特点,

确定好分类的标准.分类时应满足:完成一件事的任何一种方
法,必属于某一类且仅属于某一类.

变式探究 1.如图,小圆圈表示网络的结点,结点之间的线段 表示它们有网线相连.连线标注的数字表示该段网线单位 时间内可以通过的最大信息量.现从结点A向结点B传递信 息,信息可以从分开不同的路线同时传递,则单位时间内 传递的最大信息量为( )

A.26

B.24

C.20

D.19

解析:因信息可以分开沿不同的路线同时传递,由分

类计数原理,完成从结点A向结点B传递有四种办法:
12→5→3,12→6→4,12→6→7,12→8→6,故单位时间内传递 的最大信息量为四条不同网线上信息的和:3+4+6+6= 19.故选D. 答案:D

考点二

分步乘法计数原理的运用 把一个圆分成3块扇形,现在用5种不同的颜

【例2】

色给3块扇形涂色,要求相邻扇形的颜色互不相同,问有多
少种不同的涂法?

解析:依题意,可分三步来完成:第一步涂A区域, 有5种不同涂法,第二步涂B区域,有4种不同涂法,第三步

涂C区域,有3种不同涂法.根据分步乘法计数原理,得不
同涂色方法数是5×4×3=60(种). 点评:本题需要分步去完成,分步计数原理中每步中每

种方法都只能做这件事的一步,不能独立完成这件事,各个
步骤都是不可缺少的,需要依次完成所有的步骤,才能完成 这件事.

变式探究 2.将4个不同的小球放入3个不同的盒子,其中每个盒 子都不空的放法共有( A.34种 ) C.18种 D.36种

B.43种

解析:4个不同的小球放入3个不同的盒子,其中每个盒 子都不空,则必有一个盒子放入2个球.设4个球的编号分别 为1,2,3,4,则其中2个球放在一个盒子里的情况有:1、2,1、 3,1、4,2、3,2、4,3、4,计6种情况.把2个球放在一个盒子里 的情况当作1个球和另外2个球分别放入3个盒子里,共有 3×2×1种放法.于是所求放法为6×3×2×1=36种.故选D.
答案:D

考点三

两个计数原理的综合应用

【例3】 现有高三4个班学生34人,其中一、二、三、 四班各7人、8人、9人、10人,他们自愿组成数学课外小组. (1)选其中1人为负责人,有多少种不同的选法? (2)每班选1名组长,有多少种不同的选法? (3)推选2人作中心发言,这2人需来自不同的班级,有多 少种不同的选法? 思路点拨:本题主要考查两个计数原理的综合应用,先 考虑分类再考虑分步.

解析:(1)分四类. 第一类,从一班学生中选1人,有7种选法; 第二类,从二班学生中选1人,有8种选法; 第三类,从三班学生中选1人,有9种选法; 第四类,从四班学生中选1人,有10种选法.

所以,共有不同的选法N=7+8+9+10=34种.
(2)分四步.第1、2、3、4步分别从一、二、三、四班 学生中选一人任组长,所以共有不同的选法N= 7×8×9×10=5 040 种.

(3)分六类.每类又分两步.从一、二班学生中各选1人,

有7×8种不同的选法;从一、三班学生中各选1人,有7×9
种不同的选法;从一、四班学生中各选1人,有7×10种不同 的选法;从二、三班学生中各选1人,有8×9种不同的选法; 从二、四班学生中各选1人,有8×10种不同的选法;从三、 四班学生中各选1人,有9×10种不同的选法.所以共有不同

的选法N=7×8+7×9+7×10+8×9+8×10+9×10=431
种.

点评:解决这类题首先要明确:“完成一件事”指什么?
如何完成这件事(即分步还是分类)?进而确定应用分类计数原 理还是分步计数原理. 分步计数原理中的“分步”程序要正确.“步”与“步” 之间是连续的,不间断的,缺一不可. 分类计数原理中的“分类”要全面, 不能遗漏.“类” 与“类”之间是并列的、互斥的、独立的,也就是说,完成

一件事情,每次只能选择其中的一类办法中的某一种方法.

变式探究

3.(1)(2012· 临沂市模拟)2010年广州亚运会的篮球比赛中
场休息时,为活跃现场气氛,组委会想从拉拉队的5名男队员和 5名女队员中选出3名队员表演一个临时性的节目,则其中至少 有1名女队员入选的方案数为 ( A.180 B.120 ) C.110 D.100

(2)(2012· 上海市模拟)上海某区政府召集5家企业的负责人
开年终总结经验交流会,其中甲企业有2人到会,其余4家企业

各有1人到会,会上推选3人发言,则这3人来自3家不同企业的
可能情况的种数为________.

(1)解析:(法一)(分类加法计数法)当有1名女队员和2名
2 男队员时,不同的方案数为 C1 =5×10=50(种); C 5 5

当有2名女队员和1名男队员时,不同的方案数为
2 4 C5 C5 =5×10=50(种);

当有3名女队员时,不同的方案数为 C3 =10(种). 5 根据分类加法计数原理可得,不同的方案数共有50+50 +10=110(种).

3 (法二)(排除法)从10名队员中任选3名队员的方案数为 C10

=120(种);只从5名男队员中选取3名队员的方案数为 C3 = 5 10(种).所以至少有1名女队员入选的方案数为120-10=

110(种).故选C.
2 (2)若3人中有1人来自甲企业,则共有C1 2C4 种情况;若3

人中没有甲企业的,则共有 C3 种情况.由分类加法原理可得, 4
3 2 这3人来自3家不同企业的可能情况共有 C1 + =16种. C 4 2C4

答案:(1)C (2)16

【例4】 电视台在”欢乐今宵”节目中拿出两个信箱, 其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信,甲信箱中 有30封,乙信箱中有20封.现由主持人抽奖确定幸运观众, 若先确定一名幸运之星,再从两信箱中各确定一名幸运伙伴, 有多少种不同的结果? 解析: 分两类: (1)幸运之星在甲箱中抽,再在两箱中各定一名幸运伙伴, 有30×29×20=17 400种结果; (2)幸运之星在乙箱中抽,同理有20×19×30=11 400种 结果. 由分类计数原理,共有17 400+11 400=28 800 种不同 结果. 点评:在综合运用两个原理时,一般先分类再分步.

变式探究 4. 由1,2,3,4,5组成没有重复数字且1,2都不与5相邻的五位

数的个数是(
A.36

)
B.32 C.28 D.24

解析:分类讨论:如果5在两端,则1,2有三个位置可选,
2 2 = 24种;如果5不在两端,则1,2只有两个位 A 3 A2 2 2 A 置可选,排法为3× = 12 2A 2种.由分类加法计数原理,共

排法为2×

计12+24=36种.故选A. 答案:A

课时升华
1.分类加法计数原理与分步乘法计数原理是计数问题

的基本原理,它贯穿于全章学习的始终,体现了解决问题时
将其分解的两种常用方法,即把问题分类解决和分步解决, 是本章学习的重点. 2.两个原理的联系与区别. 共同点:都是计算完成一件事的所有不同的方法种 数.

不同点:一个与分类有关,一个与分步有关.如果完成 一件事情共有n类办法,这n类办法彼此之间是相互独立的,无 论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事情,求完成 这件事情的方法种数,就用分类加法计数原理;如果完成一件 事情需要分成n个步骤,各个步骤都是不可缺少的,需要依次 完成所有的步骤,才能完成这件事,而完成每一个步骤各有若 干种不同的方法,求完成这件事情的方法种数就用分步乘法计 数原理.
简而言之,两个原理都是指完成一件事的方法种数而言 的.区别在于:(1)分类计数原理是“分类”,分步计数原理 是“分步”;(2)分类计数原理中每类办法中的每一种方法都 能独立完成一件事,分步计数原理中每步中每种方法都只能做 这件事的一步,不能独立完成这件事.

3.对两个原理的浅释.
分类加法计数原理中,“完成一件事,有n类办法”, 是说每种办法“互斥”,即每种方法都可以独立地完成这件 事,同时他们之间没有重复也没有遗漏.进行分类时,要求 各类办法彼此之间是相互排斥的,不论那一类办法中的哪一

种方法,都能独立完成这件事.只有满足这个条件,才能直
接用分类加法计数原理,否则不可以. 分步乘法计数原理中,“完成一件事,需要分成n个步 骤”,是说每个步骤都不足以完成这件事,这些步骤,彼此 间也不能有重复和遗漏.

如果完成一件事需要分成几个步骤,各步骤都不可缺少, 需要依次完成所有步骤才能完成这件事,而各步要求相互独 立,即相对于前一步的每一种方法,下一步都有mi种不同的 方法,那么完成这件事的方法数就可以直接用分步乘法计数 原理.

可以看出“分”是它们共同的特征,但是,分法却大不
相同. 这种变形还提醒人们,分类和分步,常是在一定的限制 之下人为的,因此,在这里我们大有用武之地:可以根据解 题需要灵活而巧妙地分类或分步.

感 悟 高 考
品味高考 1.某同学有同样的画册2本,同样的集邮册3本,从中取出 4本赠送给4位朋友,每位朋友1本,则不同的赠送方法共有 ( )

A.4种

B.10种

C.18种

D.20种

解析:若取出1本画册,3本集邮册,有C1 种赠送方法; 4
2 若取出2本画册,2本集邮册,有C4 种赠送方法,则不同的赠

送方法有C

1 + 4

C

2 4 =10种.故选B.

答案:B

2.(2012· 浙江卷)若从1,2,3,…,9这9个整数中同时取4 个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有( )

A.60种

B.63种

C.65种

D.66种

解析:要使所取出的4个数的和为偶数,则对其中取出的 数字奇数和偶数的个数有要求,所以按照取出的数字奇偶数的 个数分类.1,2,3,…,9这9个整数中有5个奇数,4个偶数.要 想同时取4个不同的数其和为偶数,则取法有三类: ①4个都是偶数:1种; ②2个偶数,2个奇数: C5C4=60种;
2 2

C5 =5种. ③4个都是奇数:
答案:D

4

∴不同的取法共有66种.故选 D.

高考预测
1.(2012· 惠州市一模)将5名学生分配到甲、乙2个宿舍, 每个宿舍至少安排2名学生,那么互不相同的安排方法的种数 为( ) A.10 B.20 C.30 D.40

解析:安排方法可分为两类:甲宿舍3名,乙宿舍2名,
2 方法数为C3 =10(种);乙宿舍3名,甲宿舍2名,方法数为 5C2 2 3 2 3 2 + =20种安排方法.故 C C5 C3 =10(种).所以总共有 C3 C 5C3 5 2

选B.
答案:B

2.(2011· 福州市质检)四棱锥PABCD的顶点P在底面ABCD 中的投影恰好是A,其三视图如下图所示,根据图中的信息, 在四棱锥PABCD的任两个顶点的连线中,互相垂直的异面直 线对数为____________ .

答案:6


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