高中数学湘教版必修2第3章小结与复习《复习题三》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案

高中数学湘教版必修 2 第 3 章小结与复习 《复习题三》 优质课公 开课教案教师资格证面试试讲教案 1 教学目标 重点掌握以下两方面内容: ①理解任意角的概念和弧度的意义,能正确迅速进行弧度与角度的换算. ②掌握任意的角α 的正弦、余弦和正切的定义,能正确快速利用三角函数值在各个象限的符 号解题,能求三角函数的定义域和一些简单三角函数的值域. 2 学情分析 综合性较强学生理解较为困难 3 重点难点 重点掌握以下两方面内容: ①理解任意角的概念和弧度的意义,能正确迅速进行弧度与角度的换算. ②掌握任意的角α 的正弦、余弦和正切的定义,能正确快速利用三角函数值在各个象限的符 号解题,能求三角函数的定义域和一些简单三角函数的值域. 4 教学过程 4.1 第一学时 4.1.1 教学活动 活动 1【导入】第三章章末复习 题型一 任意角的三角函数的定义及三角函数线 掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线,能够利用三角函数的定义求三角函数 值,利用三角函数线判断三角函数的符号,借助三角函数线求三角函数的定义域. 例 1 求函数 y=+ 2 ( 1 ) 的定义域. 解 由题意知≥0, ( 1 ) 即, ( 1 ) 如图,结合三角函数线知: (k∈Z), ( π ) 解得 2kπ ≤x≤2kπ +3 ( π ) (k∈Z), ∴函数的定义域为,k∈Z ( π ) . 跟踪演练 1 设 f(x)=. (1)求 f(x)的定义域; (2)求 f(x)的值域及取最大值时 x 的值. 解 (1)由 1-2sin x≥0,根据正弦函数图象知: 定义域为{x|2kπ +6 ( 5 ) π ≤x≤2kπ +6 ( 13π ) ,k∈Z}. (2)∵-1≤sin x≤1,∴-1≤1-2sin x≤3, ∵1-2sin x≥0,∴0≤1-2sin x≤3, ∴f(x)的值域为[0,], 当 x=2kπ +2 ( 3π ) ,k∈Z 时,f(x)取得最大值. 题型二 同角三角函数的关系式及诱导公式 (1)牢记两个基本关系式 sin2α +cos2α =1 及 cos α ( sin α ) =tan α ,并能应用两个关系式进行三角函数的求值、 化简、 证明.在应用中,要注意掌握解题 的技巧,同时要体会数学思想方法如数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想及函数 与方程思想的应用. (2)诱导公式可概括为 k·2 ( π ) ±α (k∈Z)的各三角函数值的化简公式.记忆规律是:奇变偶不变,符号看象限.其中的奇、 偶 是指 2 ( π ) 的奇数倍或偶数倍,变与不变是指函数名称的变化.若是奇数倍,则函数名称变为相应的异名 函数(即正余互变);若是偶数倍,则函数名称不变.符号看象限是指把α 看成锐角时原函数值 的符号作为结果的符号. 例 2 已知 1+tan(2π -θ ) ( 2+tan(θ -π ) ) =-4,求(sin θ -3cos θ )·(cos θ -sin θ )的值. 解 方法一 由已知 1-tan θ ( 2+tan θ ) =-4, ∴2+tan θ =-4(1-tan θ ), 解得 tan θ =2. ∴(sin θ -3cos θ )(cos θ -sin θ ) =4sin θ cos θ -sin2 θ -3cos2θ =sin2 θ +cos2θ ( 4sin θ cos θ -sin2 θ -3cos2θ ) =tan2θ +1 ( 4tan θ -tan2θ -3 ) =4+1 ( 8-4-3 ) =5 ( 1 ) . 方法二 由已知 1-tan θ ( 2+tan θ ) =-4,解得 tan θ =2. 即 cos θ ( sin θ ) =2,∴sin θ =2cos θ . ∴(sin θ -3cos θ )(cos θ -sin θ )=(2cos θ -3cos θ )(cos θ -2cos θ )=cos2θ =sin2 θ +cos2θ ( cos2θ ) =tan2θ +1 ( 1 ) =5 ( 1 ) . 跟踪演练 2 已知α 是三角形的内角,且 sin α +cos α =5 ( 1 ) . (1)求 tan α 的值; (2)把 cos2 α -sin2 α ( 1 ) 用 tan α 表示出来,并求其值. 解 (1)方法一 联立方程 sin2 α +cos2 α =1 ② ( ① ) 由①得 cos α =5 ( 1 ) -sin α ,将其代入②, 整理得 25sin2 α -5sin α -12=0. ∵α 是三角形内角,∴sin α >0,∴, ( 3 ) ∴tan α =-3 ( 4 ) . 方法二 ∵sin α +cos α =5 ( 1 ) ,∴(sin α +cos α )2=5 ( 1 ) 2, 即 1+2sin α cos α =25 ( 1 ) ,∴2sin α cos α =-25 ( 24 ) , ∴(sin α -cos α )2=1-2sin α cos α =1+25 ( 24 ) =25 ( 49 ) . ∵sin α cos α =-25 ( 12 ) <0 且 0<α <π , ∴sin α >0,cos α <0,∴sin α -cos α >0, ∴sin α -cos α =5 ( 7 ) , 由, ( 7 ) 得, ( 3 ) ∴tan α =-3 ( 4 ) . (2)cos2α -sin2α ( 1 ) =cos2α -sin2α ( sin2α +cos2α ) = cos2α ( cos2α -sin2α ) =1-tan2α ( tan2α +1 ) , ∵tan α =-3 ( 4 ) , ∴cos2α -sin2α ( 1 ) =1-tan2α ( tan2α +1 ) =2 ( 4 ) =-7 ( 25 ) . 题型三 三角函数的图象及变换 三角函数的图象是研究三角

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