选修4-5 第3节_图文

选修4-5

不等式选讲

第三节 三个重要的不等式

人 教 A 版 数 学

选修4-5

不等式选讲

1.理解柯西不等式、排序不等式和贝努利不等式.

2.会用柯西不等式证明不等式和求最值.

人 教 A 版 数 学

选修4-5

不等式选讲

一、柯西不等式
1 .二维形式:若 a , b, c ,d 都是实数,则 (a2 + b2)(c2 + d2)≥ (ac+bd)2 ,当且仅当 |α||ββ |是 当且仅当 成立. ad=bc时,等号成立. , 时,等号 α=kβ

2.向量形式:设α、β是两个向量,则|α·β|≤
人 教 A 版 数 学

,或存在实数k,使

零向量

选修4-5

不等式选讲

3.一般形式:设 a1,a2,a3,?,an,b1,b2,b3,?,
2 2 2 2 bn 是 实 数 , 则 (a 2 + a + ? + a )( b + b 1 2 n 1 2 + ? + (a1b1+a2b2+…+anbn)2 2 bn)≥ ,当且仅当 bi=0(i=1,

2,?,n)或存在一个数 k,使得 ai=kbi 时,等号成立.
人 教 A 版 数 学

(i=1,2,?,n)

选修4-5

不等式选讲

二、三角不等式 设 x1,y1,x2,y2∈R,那么
2 2 2 2 2 x1 +y2 + x + y ≥ ( x - x ) +( y - y ) . 1 2 2 1 2 1 2

人 教 A 版 数 学

选修4-5

不等式选讲

三角不等式的几何意义是什么? 提示:记 O(0,0) ,A(x1,y1) ,B(x2, y2),则不等式的几 何意义是在△OAB中两边之和大于第三边,当且仅当O,A, B三点共线,并且点A,B在原点O两旁时等号成立.
人 教 A 版 数 学

选修4-5

不等式选讲

三、排序不等式 1.乱序和、反序和与顺序和. 设 a1 , a2 , a3 , ? , an , b1 , b2 , b3 , ? , bn∈R , 且

a1≤a2≤a3≤?≤an , b1≤b2≤b3≤?≤bn ,设 c1 , c2 , c3 ,?,
cn 是数列 b1 , b2 , b3 ,?, bn 的任意一个排列,则分别将 S = a1c1+a2c2+a3c3+?+ancn, S1=a1bn+a2bn-1+a3bn-2+?+anb1,
人 教 A 版 数 学

S2=a1b1+a2b2+a3b3+?+anbn称为数组(a1,a2,a3,?, an)和数组(b1,b2,b3,?,bn)的 乱序和 , 反序和与

顺序和 .

选修4-5

不等式选讲

2.排序不等式(又称 排序原理

),设a1≤a2≤?≤an,

b1≤b2≤b3≤?≤bn为两组实数,c1,c2,?,cn是b1,b2,?,

bn 的任一排列,则a1bn+a2bn -1 +?+anb1≤a1c1 +a2c2+?+
ancn≤a1b1 + a2b2 +?+ anbn ,当且仅当 a1 = a2 =?= an 或 b1 = b2=?=bn时,反序和等于顺序和.

人 教 A 版 数 学

选修4-5

不等式选讲

四、贝努利不等式

1.如果x是实数,且 x>-1,x≠0 ,n为大于1的自然数,
那么有(1+x)n> 1+nx .

2.设α为实数,x>-1.
①如果 0<α<1 ,则(1+x)α≤1+αx;

②如果 α<0或α>1 ,则(1+x)α≥1+αx,
人 教 A 版 数 学

当且仅当 x=0 时等号成立.

选修4-5

不等式选讲

1.已知 x2+y2=10,则 3x+4y 的最大值为( A.5 10 C.3 10 B.4 10 D.2 10

)

解析:∵(32+42)(x2+y2)≥(3x+4y)2, 当且仅当 3y=4x 时等号成立.
人 教 A 版 数 学

∴25×10≥(3x+4y)2,∴(3x+4y)max=5 10. 故应选 A.

答案:A

选修4-5

不等式选讲

2.若实数 x,y,z 满足 x+2y+3z=a(a 为常数),则 x2 +y2+z2 的最小值为( a2 A. 12 ) a2 B. 14

a2 a2 C.16 D.18 解析:∵(12+22+32)(x2+y2+z2)≥(x+2y+3z)2=a2,当
1 1 且仅当 x=2y=3z 时等号成立,
人 教 A 版 数 学
2 a ∴14(x2+y2+z2)≥a2,∴x2+y2+z2≥ .故应选 B. 14 答案:B

选修4-5

不等式选讲

3.若 a,b,c∈(0,+∞),且 a+b+c=1,则 a+ b + c的最大值为( A.1 ) B. 2

C. 3 D.2 解析:( a+ b+ c)2=(1× a+1× b+1× c)2≤(12
1 +1 +1 )(a+b+c)=3.当且仅当 a=b=c= 时,等号成立. 3
2 2

人 教 A 版 数 学

∴( a+ b+ c)2≤3.故 a+ b+ c的最大值为 3. 故应选 C.
答案:C

选修4-5

不等式选讲

4.如图所示,矩形OPAQ中,a1<a2,b1<b2,则阴影部分 的 矩 形 的 面 积 之 和 __________ 空 白 部 分 的 矩 形 的 面 积 之 和.(填“≥”“≤”或“=”)

人 教 A 版 数 学

选修4-5

不等式选讲

解析:这可沿题图中线段MN向上翻折比较即知.当然由
题图我们可知,阴影面积= a1b1 + a2b2,而空白面积= a1b2 + a2b1;根据顺序和≥反序和可知答案为≥. 答案:≥
人 教 A 版 数 学

选修4-5

不等式选讲

15 5 .已知 5a + 3b = ,则 a2 + 2ab + b2 的最大值为 8
2 2

________. 52 32 5 2 2 解析:∵[( 5 ) +( 3 ) ][( 5a) + ( 3b) ] ≥( 5 × 5 a +

3 2 2 2 2 × 3 b ) = ( a + b ) = a + 2 ab + b . 3 5 15 9 25 2 2 当且仅当 5 b= 3 a,即 a =64,b =64时等号成立.
人 教 A 版 数 学

8 8 15 2 2 ∴a +2ab+b ≤15×(5a +3b )=15× 8 =1.
2 2

∴a2+2ab+b2 的最大值为 1.
答案:1

选修4-5

不等式选讲

2 2 2 2 柯西不等式的一般结构为 (a1 +a2 2 + ? + an )(b 1 + b 2 + ? 2 +b2 ) ≥ ( a b + a b + ? + a b ) 在利用柯西不等式证明不等 n 1 1 2 2 n n ,

人 教 A 版 数 学

式时关键是正确构造左边的两个数组,从而利用题目的条件 正确解题.

选修4-5

不等式选讲

(2012 金华模拟)已知 x,y,z 是正实数,求证: x+y+z x2 y2 z2 + + ≥ 2 . y+z x+z x+y

【思路点拨】注意到所证不等式的特点,可考虑构造向 量,使用柯西不等式的向量形式证明.

人 教 A 版 数 学

选修4-5

不等式选讲

【自主解答】证明:∵x,y,z 是正实数, x y z 令 a=( , , ), y+z x+z x+y b=( y+z, x+z, x+y), 又∵|a· b|2≤|a|2|b|2, x y ∴( · y+z + · x+z + y+z x+z
人 教 A 版 数 学

z · x+y )2 x+y

x2 y2 z2 ≤( + + )[(y+z)+(x+z)+(x+y)], y+z x+z x+y 当且仅当 x=y=z 时,等号成立.

选修4-5

不等式选讲

2 2 2 x y z 即(x+y+z)2≤2( + + )· (x+y+z), z+y x+z x+y

x+y+z x2 y2 z2 ∴ + + ≥ 2 . y+z x+z x+y

【活学活用】 1.已知实数 a,b,c,d 满足 a+b+c+d =3,a2+2b2+3c2+6d2=5,求证:1≤a≤2.

人 教 A 版 数 学

选修4-5

不等式选讲

1 1 1 证明:由柯西不等式得(2b +3c +6d )(2+3+6)
2 2 2

≥(b+c+d)2, 即 2b2+3c2+6d2≥(b+c+d)2. 由已知可得 2b2+3c2+6d 2=5-a2,b+c+d=3-a, ∴5-a2≥(3-a)2 ,即 1≤a≤2.
人 教 A 版 数 学

选修4-5

不等式选讲

2b 3c 6d 当且仅当 = = , 1 1 1 2 3 6 即 2b=3c=6d 时等号成立.

人 教 A 版 数 学

选修4-5

不等式选讲

利用柯西不等式求最值的一般结构为: 1 1 2 2 2 1 (a1+a2+?+an)(a2+a2+?+a2)≥(1+1+?+1)2=n2. 1 2 n 在使用柯西不等式时,要注意右边为常数,且应注意等号成 立的条件.
人 教 A 版 数 学

选修4-5

不等式选讲

等腰直角三角形 AOB 的直角边

长为1.如图,在此三角形中任取点 P,过
P 分别引三边的平行线,与各边围成以 P 为顶点的三个三角形(图中阴影部分),求 这三个三角形的面积和的最小值,以及 取到最小值时P的位置.
人 教 A 版 数 学

选修4-5

不等式选讲

【思路点拨】解答本题时用一个自变量无法表示三个三
角形面积之和,因此先设点P坐标为(xP,yP)并确定直线AB的 方程,然后结合图形用 xP , yP 表示出三个三角形面积之和, 最后用柯西不等式求最值.
人 教 A 版 数 学

选修4-5

不等式选讲

【自主解答】分别以 OA、OB 所在直线为 x 轴、y 轴建立 平面直角坐标系, 则 AB 的方程为 x+y=1. 记 P 点坐标为 P(xp,yp), 则以 P 为公共顶点的三个三角形的面积和 S 为
人 教 A 版 数 学

1 2 1 2 1 2 2 S=2xp+2yp+2(1-xp-yp)2,2S=x2 p+yp+(1-xp-yp) .

选修4-5

不等式选讲

由柯西不等式,得
2 2 2 2 2 [x2 p+yp+(1-xp-yp) ](1 +1 +1 )

≥[xp+yp+(1-xp-yp)]2, 1 即 2S×3=6S≥1,所以 S≥ . 6 xp yp 1-xp-yp 当且仅当 = = 时,等号成立, 1 1 1 1 1 即 xp=yp=3时,面积 S 最小,且最小值为 Smin=6. 1 故三个三角形面积和的最小值为6,
1 1 此时点 P 坐标为( , ). 3 3

人 教 A 版 数 学

选修4-5

不等式选讲

【特别提醒】本题易忽视等号成立的条件使解题思路受 阻.

【活学活用】 2.设 2x+3y+5z=29,求函数 u= 2x+1 + 3y+4+ 5z+6的最大值.

人 教 A 版 数 学

选修4-5

不等式选讲

解: 根据柯西不等式 120=3[(2x+1)+(3y+4)+(5z+6)] ≥(1× 2x+1+1× 3y+4+1× 5z+6)2, ∴ 2x+1+ 3y+4+ 5z+6≤2 30, 当且仅当 2x+1=3y+4=5z+6, 37 28 22 即 x= ,y= ,z= 时等号成立. 6 9 15
人 教 A 版 数 学

此时 umax=2 30.

选修4-5

不等式选讲

1.利用排序不等式证明不等式,关键是构造出不等式中 所需要的带大小顺序的两个不等式. 2.在没有给定字母大小的情况下,要使用排序不等式, 必须限定字母的大小顺序,而只有对称性的字母才可以直接 限定字母的大小顺序,否则要根据具体情况分类讨论.
人 教 A 版 数 学

选修4-5

不等式选讲


(12 分)已知 a,b,c∈R .求证: a2+b2 b2+c2 c2+a2 a3 b3 c3 a+b+c≤ 2c + 2a + 2b ≤bc+ca+ab.
【思路点拨】 1 1 1 假设 a≥b≥c,推出 a ≥b ≥c , ≥ ≥ c b a
2 2 2

→ 参照不等式结构利用排序不等式证明 → 利用不等式基本性质证明所证不等式左端成立
人 教 A 版 数 学

1 1 1 →同理利用 a ≥b ≥c ,bc≥ac≥ab,证明不等式右端成立
3 3 3

选修4-5

不等式选讲

【规范解答】不妨设 a≥b≥c, 1 1 1 则 a ≥b ≥c , ≥ ≥ . c b a
2 2 2

2分

故由排序不等式,得 1 2 1 2 1 a ·c +b · c+c ·b
2

人 教 A 版 数 学

1 2 1 2 1 ≥a ·a+b ·b+c ·c ;
2



选修4-5

不等式选讲

1 2 1 2 1 a · +b · +c · b c a
2

1 2 1 2 1 ≥a ·a+b ·b+c ·c .
2



4分

(①+②)÷ 2 可得 a2+b2 b2+c2 c2+a2 + + ≥a+b+c. 2c 2a 2b
人 教 A 版 数 学

选修4-5
3 3 3

不等式选讲

1 1 1 又∵a ≥b ≥c 且 ≥ ≥ , bc ac ab 由排序不等式,得 1 1 1 3 3 a ·bc+b ·ca+c ·ab≥
3

1 1 1 3 3 a ·ac+b ·ab+c ·bc;
3

③6 分

1 1 1 3 3 a · +b · +c · ≥ bc ca ab
3

人 教 A 版 数 学

1 1 1 3 3 a ·ab+b ·bc+c ·ab.
3

④8 分

选修4-5

不等式选讲

(③+④)÷ 2 可得
2 2 2 2 2 2 a3 b3 c3 a +b b +c c +a bc+ca+ab≥ 2c + 2a + 2b .

10 分

综上可知: a2+b2 b2+c2 c2+a2 a3 b3 c3 a+b+c≤ 2c + 2a + 2b ≤bc+ca+ab. 12 分
【活学活用】 3.(2012 无锡调研)设 a1,a2,?,an 是互
人 教 A 版 数 学

不相等的正数,其中 an∈[1,+∞),且 n∈{1,2,3,?, n},n≥2.

选修4-5

不等式选讲

a2 a2 2 1 求证:(1) + >a1+a2; a1 a2
2 2 a a2 a a2 n-1 1 2 n (2)a +a +?+ a +a >n. 2 3 n 1

证明:(1)∵a1>0,a2>0,且 a1≠a2,
2 2 2 a ( a - a )- a a2 a 1 1 2 2(a1-a2) 2 1 ∴ + -a1-a2= a1 a2 a1a2

人 教 A 版 数 学

(a1+a2)(a1-a2)2 = >0, aa
1 2 2 a2 a 2 1 ∴ + >a1+a2. a1 a2

选修4-5

不等式选讲

(2)不妨设 1≤a1<a2<?<an,
2 2 则 a2 < a < ? < a 1 2 n.

1 1 1 ∴a >a >?>a . 1 2 n 由排序不等式知,乱序和不小于反序和,又等号均不成 立,
2 2 2 a a2 a a 1 1 1 - n 1 1 2 n 2 2 2 ∴ + +?+ + >a · +a · +?+an· . a2 a3 an a1 1 a1 2 a2 an

人 教 A 版 数 学

2 2 2 a a2 a a - n 1 1 2 n 即a +a +?+ a +a >a1+a2+?+an 2 3 n 1

>1+1+1+?+1=n.

选修4-5

不等式选讲

贝努利不等式可把二项式的乘方(1+x)n缩小为1+nx的形
式,这在数值估算和放缩法证明不等式中可发挥较大的作 用.

人 教 A 版 数 学

选修4-5

不等式选讲

(2012 自贡检测)用贝努利不等式证明不等式: 1 1 1 (1+1)(1+3)(1+5)?(1+ )> 2n+1(n∈N*). 2n-1

【思路点拨】不等式左边是积的形式,各因式有内在联 1 系,即其可表示为(1+ )的形式,而不等式右边为二次 2k-1 方根,可考虑贝努利不等式中 n=2 的特例.
人 教 A 版 数 学

选修4-5

不等式选讲

证明:由贝努利不等式(1+x)n>1+nx(n∈N*,n≥2,x 1 2 1 >-1,x≠0),得(1+ ) >1+2× , 2k-1 2k-1 1 其中 n=2,x= (k∈N*), 2k-1 1 即 1+ > 2k-1
人 教 A 版 数 学

2k+1 , 2k-1 5 1 1+5> 3, 7 1 ?, 1+ 5, 2n-1

1 则 1+1> 3, 1+3> > 2n+1 . 2n-1

选修4-5

不等式选讲

将上述各式两边分别相乘得: 1 1 1 (1+1)(1+ )(1+ )?(1+ ) 3 5 2n-1 > 3× 5 × 3 7 ×?× 5 2n+1 = 2n+1, 2n-1

1 1 1 ∴(1+1)(1+ )(1+ )?(1+ ) 3 5 2n-1
人 教 A 版 数 学

> 2n+1(n∈N*).

选修4-5

不等式选讲

错源:重要不等式使用不当致误
1 2 3 已知 a,b, c∈(0,+∞),且 + + =2,求 a+2b+ a b c 3c 的最小值及取得最小值时 a,b,c 的值. 【纠错】使用不等式的形式错误、忽视等号成立的条件
人 教 A 版 数 学

等.本题可以使用均值不等式和柯西不等式进行求解,使用 均值不等式时可能两次使用忽视了等号是否同时成立,使用 柯西不等式时对柯西不等式的形式使用错误.

选修4-5

不等式选讲

【正解】解法一:(使用均值不等式) 11 2 3 a+2b+3c= ( + + )· (a+2b+3c) 2a b c 1 2b 2a 3c 3a 6c 6b = (14+ + + + + + ) 2 a b a c b c 1 ≥2(14+4+6+12)=18.
人 教 A 版 数 学

选修4-5

不等式选讲

等号当且仅当 a=b=c 时取得, 即 a=b=c=3 时取得. 解法二:(使用何西不等式) 1 2 3 (a+b+c )(a+2b+3c) =[(
人 教 A 版 数 学

12 a ) +(

22 b) +(

32 2 2 ) ][( a ) + ( 2 b ) c

+( 3c)2]

选修4-5

不等式选讲

≥(

1 a × a+

2 b× 2b+

3 2 × 3 c ) =36, c

1 2 3 又 + + =2, a b c 则 a+2b+3c≥18, 当且仅当 a=b=c=3 时等号成立. 当 a=b=c=3 时,a+2b+3c 取得最小值 18.
人 教 A 版 数 学

选修4-5

不等式选讲

a1+a2+?+an n 【心得】 均值不等式的一般形式: ≥ a1a2?an n (a1>0,a2>0,?,an>0),当且仅当 a1=a2=?=an 时等号成
2 2 2 立; 柯西不等式: (a1b1+a2b2+?+anbn)2≤(a2 1+a2+?+an)(b1 2 +b2 +?+ b 2 n)(ai,bi∈R,i=1,2,?,n),当且仅当 a1=a2

=?=an=0 或 bi=kai 时(k 为常数,i=1,2,?,n)等号成 立.这两个不等式是证明其他不等式和求多元函数最值的有
人 教 A 版 数 学

力工具,使用时要注意等号成立的条件.使用柯西不等式的 重要技巧就是通过常数构造使用柯西不等式成立的条件.

选修4-5

不等式选讲

人 教 A 版 数 学


相关文档

物理粤教版选修3-5学案:第4章第三节放射性同位素 含解析 精品
2017-2018学年高中物理选修3-5 学业分层测评:第5章 第3节 实物粒子的波粒二象性 第4节
新版选修5课件第4章第3节蛋白质和核酸
高中化学人教版选修五课件 第4章-第3节-蛋白质和核酸
物理选修3-5课后训练:第十九章第3节探测射线的方法第4节放射性的应用与防护 含解析 精品
新版高中数学人教A版选修4-5创新应用教学案:第二讲第3节反证法与放缩法
高二选修5第4章第3节蛋白质和核酸课件
选修4-5 第三节 柯西不等式与算术—几何平均不等式2
高中物理第四章波粒二象性第3节光的波粒二象性课件教科选修3_5
高中化学 第1章 第3节 烃(第4课时)导学案 鲁科版选修5
电脑版