东台市安丰中学2012-2013学年高一上学期期中考试数学(1)

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东台市安丰中学 2012-2013 学年度第一学期

高一数学期中试卷
分值 160 分 时间 120 分钟
▲ 一.填空题(本大题 有 14 小题,每题 5 分共 70 分。请把答案填写在答题纸相应的位置上.) ......... 1.设集合 A ? { ,2,3,4} , B ? {2,4,6} ,则 A ? B 等于 1 2.函数 f ( x) ? .

2 ? x ? ln(x ? 1) 的定义域为



. ▲ . ▲ .(用“<”连接) .

3.函数 f ( x) ? a x?1 ? 1 ( a ? 0 且 a ? 1 )的图象恒过点 4.若幂函数 f ( x ) 的图象经过 ?4,2? ,则 f (9) ?
2 0.3



5.设 a ? 0.3 , b ? 2 , c ? log 2 0.3 ,则 a , b, c 三者的大小关系是

6 . 已 知 集 合 A ? x | ax ? 4 x ? 2 ? 0 有 且 只 有 一 个 元 素 , 则 实 数 a 的 取 值 集 合 为
2

?

?



.

7.已知函数 f ( x) ? 1 ? 8.已知函数 f ( x) ? ?

m 是奇函数,则实数 m 的值 为 5 ?1
x



.

?log3 x x ? 2
x

x?0 x?0

,则 f ( f ( )) ?

1 9



.

9.已知函数 f ( x) ? 2 ? x ? 8 的零点为 x0 ,且 x0 ? ?k , k ? 1? ,则整数 k =



.

10 . 若 f ( x) 为 偶 函数 , 在 ? ?? , 0? 上是 减 函数 , 又 f (?2) ? 0 , 则 xf ( x) ? 0 的 解集 是 ▲ .

11. 设函数 f (x) 是定义在R上的奇函数, x ? 0 时,f ( x) ? x(1 ? x) , 当 则当 x ? 0 时,f (x) ? ▲ . ▲ .

12. 已知 y ? log a (3 ? 2ax) 在 [0,1] 上为 x 的减函数,则 a 的取值范围为

13.定义:区间 ?x1 , x2 ?( x1 ? x2 ) 的长度为 x2 ? x1 .已知函数 y ? log0.5 x 的定义域为 ?a, b? ,值 域为 ?0,2? ,则区间 ?a, b? 长度的最大值为 ▲ .

14.已知函数 y ? f ( x)和y ? g ( x)在[?2,2] 的图象如下所示:
y y
2

2 1 ?2 ?1 1 ?2 2

1 ?1

O
?1 ?2
y ? f ( x)

x

O

2

x

?2 y ? g ( x)

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给出下列四个命题:

[来源:21 世纪教育网]

①方程 g[ g ( x)] ? 0 有且仅有 3 个根 ③方程 f [ f ( x)] ? 0 有且仅有 5 个根 其中正确的命题的序号是 ▲ .

②方程 g[ f ( x)] ? 0 有且仅有 4 个根 ④方程 f [ g ( x)] ? 0 有且 仅有 6 个根

二.解答题(本大题有 6 小题,共 90 分.请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文字 说明、证明或演算步骤.) 15. (本小题 14 分) 设全集 U ? R , 已知集合 A ? x x ? a ? 1 ,B ? x (4 ? x)(x ? 1) ? 0 . (1)若 a ? 4 ,求 A ? B ; (2)若 A ? B ? A ,求实数 a 的取值范围.
[来源:21 世纪教育网]

?

?

?

?

21 世纪教育网

16.(本小题 14 分)计算下列各题: (1) (lg 5) 2 ? lg 2 ? lg 50 ;
1

(2)已知 a 2 ? a

?

1 2

? 1 ,求 a 2 ? a ?2 的值.

17.(本小题 15 分)已知函数 f ( x) ? (log2 x) 2 ? 4 log2 x ? 1 . (1)求 f (8) 的值; (2)当 2 ? x ? 16 时,求 f (x) 的最大值和最小值.

18.(本小题 15 分)已知二次函数 f ( x ) 的最小值为 1,且 f (0) ? f (2) ? 3 . (1)求 f ( x ) 的解析式; (2)若 f ( x ) 在区间 [3a, a ? 1] 上不单调,求实数 a 的取值范围; ... (3)在区间 [?1,1] 上, y ? f ( x) 的图象恒在 y ? 2 x ? 2m ? 1 的图象上方,试确定实数 m 的 取值范围.

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19.(本小题 16 分)已知函数 f ( x ) ? (1)求函数 f ? x ? 的值域;

2x ? 1 ( x ? R ). 2x ? 1

(2)①判断并证明函数 f ? x ? 的奇偶性; ②判断并证明函数 f ? x ? 的单调性; (3)解不等式 f (1 ? m) ? f (1 ? m2 ) ? 0 .

20.(本小题 16 分)已知函数 f ( x ) 定义域为 R 且同时满足: ① f ( x ) 图像左移 1 个单位后 所得函数为偶函数;②对于任意大于 1 的不等实数 a , b ,总有

f ( a ) ? f (b) ? 0 成立. a ?b

(1) f ( x ) 的图像是否有对称轴?如果有, 写出对称轴方程.并说明在区间 (??,1) 上 f ( x ) 的 单调性; (2)设 g ( x) ?

1 1 ? ,如果 f (0) ? 1 ,判断 g ( x) ? 0 是否有负实根并说明理由; f ( x) 2 ? x

(3)如果 x1 ? 0, x2 ? 0 且 x1 ? x2 ? 2 ? 0 ,比较 f (? x1 ) 与 f (? x2 ) 的大小并简述理由.

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高一数学期中试卷答案
一.填空题(本大题有 1 4 小题,每题 5 分共 70 分。请把答案填写在答题纸相应的位置上.) .........

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1.{2,4} 6 . {0,2}

2. ?1,2? 7.

3. ?1,2?

4. 3 8.

5. c ? a ? b 9. 2

?

1 2

1 4

10. (?? , ? 2) ? (0 , 2) 11. x(1 ? x) 12. ?1, ?

? 3? ? 2?

13.

15 4

14.②③④

二.解答题(本大题有 6 小题,共 90 分.请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文字 说明、证明或演算步骤.) 15. 【解析】 (1)当 a ? 4 , A ? x x ? 4 ? 1 = x 3 ? x ? 5

?

??

?

B ? ?x (4 ? x)(x ? 1) ? 0?= ?x x ? 4或x ? 1?,
A ? B = x x ? 1或x ? 3

?

?

………………………………………………7 分

(2) A ? x x ? a ? 1 = x a ? 1 ? x ? a ? 1 ,

?

??

?

B ? ?x (4 ? x)(x ? 1) ? 0?= ?x x ? 4或x ? 1?,
若 A ? B ? A ,则 A ? B

? a ? 1 ? 1 或 a ? 1 ? 4 ? a ? 0 或 a ? 5 ……… ………… …………14 分
16.【解析】(1)原式= (lg 5) ? lg 2 ? (1 ? lg 5) ? (lg 5) ? lg 2 ? lg 5 ? lg 2
2 2

? lg 5 ? (lg5 ? lg 2) ? lg 2 ? lg 5 ? lg 2 ? 1 ……………………7 分
(2) 由 a ? a
1 2 ? 1 2

? 1 ,得 (a ? a ) ? a ? a ?1 ? 2 ? 1 ,

1 2

?

1 2 2

? a ? a ?1 ? 3 ……………………………………………………10 分

?(a ? a ?1 )2 ? a 2 ? a ?2 ? 2 ? 9
? a 2 ? a ?2 ? 7
…………………………………………………14 分
2

17.【解析】(1) f (8) ? (log2 8) ? 4 log2 8 ? 1 ? ?2 ……………………………………6 分 (2)令 t ? log2 x ,? 2 ? x ? 16 ,?1 ? t ? 4 ………………………………………8 分 原函数即为 y ? t ? 4t ? 1 ? (t ? 2) ? 3(1 ? t ? 4) …………………………………10 分
2 2

当 t ? 2 ,即 x ? 4 时, f ( x) min ? ?3 ;……………………………………………12 分 当 t ? 4 ,即 x ? 16 时, f ( x) max ? 1 ;………………………………………………15 分

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18.【解析】(1)由已知,设 f ( x) ? a( x ?1)2 ? 1 ,由 f (0) ? 3 ,得 a ? 2 , 故 f ( x) ? 2 x2 ? 4 x ? 3 .………………………………………………5 分 (2)要使函数不单调,则 3a ? 1 ? a ? 1 ,解得 0 ? a ?
2

1 3

………………10 分

(3)由已知,即 2 x ? 4 x ? 3 ? 2 x ? 2m ? 1 在 [?1,1] 上恒成立,

? m ? x 2 ? 3x ? 1 在 [?1,1] 上恒成立,
设 g ( x) ? x2 ? 3x ? 1(?1 ? x ? 1) , 则 g ( x) min ? ?1

? m ? ?1 . …………………………………………………………15 分
19.【解析】(1)∵ 2 x ?

1? y ,………………………… 2 分 1? y

又 2 x ? 0 ,∴ ?1 ? y ? 1

∴函数 f ? x ? 的值域为 ? ?1,1? …………4 分

(2)证明:①函数定义域为 R 2? x ? 1 1 ? 2 x ? f (? x) ? ? x ? ? ? f ( x) , ………………………6 分 2 ? 1 1 ? 2x ∴函数 f ? x ? 为奇 函数 ② f ( x) ? ………………………7 分

2 2x ? 1 =1? x x 2 ?1 2 ?1
…………………………8 分

在定义域 R 内任取两个实数 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 , 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

?2

2 ? 2 x1 ? 2 x2 ?
x1

? 1?? 2 x2 ? 1?

…………………………10 分

? x1 ? x2 , ?0 ? 2x1 ? 2x2 ,从而 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0
∴函数 f ? x ? 在 R 上为单调增函数

……………… …………11 分 …………………………12 分

(3)由(2)得函数 f ? x ? 为奇函数,在 R 上为单调增函数 ∴ f ?1 ? m? ? f 1 ? m2 ? 0 即 f ?1 ? m? ? ? f 1 ? m2 , ∴ f ?1 ? m? ? f m2 ? 1 , 1 ? m ? m 2 ? 1 ∴原不等式的解集为 ? ??, ?2? ? ?1, ???

?

?

?

?

?

?

…………………………14 分 …………………………16 分

20.【解析】(1)由条件①得 f (x) 的图像关于直线 x ? 1 对称…………………2 分

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由条件②得 a ? b ? 1 时, f (a) ? f (b) 恒成立,

b ? a ? 1 时, f (b) ? f (a) 恒成立,

? f (x) 在 (1,??) 上单调递增………………………………………………4 分
又? f (x) 的图像关于直线 x ? 1 对称,

? f (x) 在 (??,1) 上单调递减………………………………………………5 分
(2)若 g ( x) ? 0 有负根 x0 ,则 g ( x0 ) ?

1 1 ? ? 0, f ( x0 ) 2 ? x0

? f ( x0 ) ? x0 ? 2 ? f (0) ? 1 , f (x) 在 (??,1) 上单调递减, ? f ( x0 ) ? 1 ? x0 ? 2 ? 1 ,? x0 ? 3 与 x0 ? 0 矛盾,
故 g ( x) ? 0 无负实 根………………………………………………………………10 分 (3)点 (? x1 , f (? x1 )) 与点 (2 ? x1 , f (2 ? x1 )) 为 f (x) 上关于直线 x ? 1 对称的两点,

? x1 ? x2 ? 2 ? 0 ,? 2 ? x1 ? 2 ? ? x2 ,又? f (x) 在 (1,??) 上单调递增,
? f (? x2 ) ? f (2 ? x1 ) ? f (? x1 ) .
即 f (? x2 ) ? f (? x1 ) ……………………………………………………………16 分

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高一数学期中答卷
一、填空题(本题每小题 5 分,满分 70 分) 1. 3. 5. 7. 9. 11. 13. ; ; ; ; 2. 4. 6. 8. ; ; ; ; ; ; .
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; 10. ; 12. ; 14.

二.解答题:解答题应写出必要的文字说明,证明过程或演算 步骤 15.(本题满分 14 分)

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16. (本题满分 14 分)

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17. (本题满分 15 分)

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18. (本题满分 15 分)

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19. (本题满分 16 分)

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20. (本题满分 16 分)

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