高中数学必修5不等式复习+提高+同步练习+检测


不等式复习
3.1 不等关系和不等式
一、实数运算性质和大小顺序之间的关系 1、对于任意两个实数之间我们可以得出如下关系:
a ? b ? a ?b ? 0 a ? b ? a ?b ? 0 a ? b ? a ?b ? 0

注意:上述式子左右两边具有“充要性” 2、比较两数大小常用的方法——作差法 基于上述的关系,如果我们要比较实数 a 和 b 的大小,可以先求两数的差, 将两数的差值与 0 比较大小,可知实数 a、b 的大小关系。 ·································· ·································· 例题 1:已知 ? 1 ?
2 a ? 0 ,试将下列各数按大小顺序排列

A ?1? a

2

、B

? 1? a

2

、C

?

1 1? a

、D

?

1 1? a

利用作差法求解,形式相似的先进行比较。

·································· ·································· 二、不等式的性质 对称性: a 传递性:
? b ? b ? a

a ? b b ? c

? a ?c

1/ 14

加法性质:

a ? b c? R

? a?c ? b?c

推论:

a ? b c ? d

? a?c ? b?d

乘法性质:

a ? b c ? 0

? ac ? bc

推论 1:

a ? b ? 0 c ? d ? 0

? ac ? bd

推论 2:

a ? b ? 0 n? N
?

? a

n

? b

n

开方性质:

a ? b ? 0 n? N
?

?

n

a ?

n

b

常用结论:

a ? b ab ? 0

?

1 a

?

1 a ? b b c ? d b c

? a?c ? b?d

a ? b ? 0 c ? d ? 0

?

a d

?

·································· ·································· 例题 2:对于实数 a、b、c,有下列命题: ①若 a ③若 a ⑤若 a ⑥a ⑦a ⑧a ⑨
? b

,则 a c

? bc
2

;②若 a c 2
2

? bc

2

,则 a

? b

; ,则
a c? a ? b c?b

? b ? 0 ,则 a ? b

? ab ? b

;④若 c ;

? a ? b ? 0





1 a

?

1 b

,则 a
?x

? 0, b ? 0

? b ? 2

?x

?a ? 2

?b

; ; ;

? b, c ? d ? a ? c ? b ? d
? b, c ? d , cd ? 0 ?
n

a c

?

b d

a ?b ? 0? a

?b

n

?n ?

N , n ? 1? ;

其中正确命题的序号是。 ★注意:每个不等式的成立条件

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三、作差法比较数式大小的步骤 三步走:①作差;②变形;③定号 ·································· ·································· 例题 3:a、b 为正实数,试比较 变形时,多留意式子的形式
a b ? b a



a ?

b

的大小。

四、不等式与函数的综合问题 例题 4:设函数 f ? x ? ?
lg x

,若 0

? a ? b

,且 f ? a ? ?

f ? b ? ,证明: a b ? 1 。

利用对数的运算性质,可以将已知条件转化。

例题 5: (中难)若, 0 A、 a
? b

?? ? ? ?

?
4

, s in ? ? c o s ? ? a , s in ? ? c o s ? ? b



B、 a

? b

C、 a b

? 1 D、 a b ? 2

直接作差难以比较,可先把式子进行变形。

3/ 14

3.2 一元二次不等式及其解法
一、一元二次不等式的解法

注意:图中是 a>0 的情况,当 a<0 的时候可以运用不等式的性质把式子转化 2、一元二次不等式的解题步骤: ①化为一般式;②计算△;③当△>0 时,解对应方程两根;④写出解集 ·································· ·································· 例题 1:解下列不等式: 运用图像解题更方便 (1) x 2
? 3x ? 4 ? 0

(2) 9 x 2

? 6x ?1 ? 0

(3) ? 2 x 2

? x ? 1? 0

(4) x 2

? 2x ? 8 ? 0

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二、系数含有参数的不等式——进行分类讨论

·································· ·································· 例题 2:解关于 x 的不等式 x 2
? 2ax ? 8a ? 0
2

注意:一般讨论参数的取值,我们会将参数与 0 比较大小

变式:系数含有参数:已知关于 x 的不等式 ? k 2 集为 R,求实数 k 的取值范围。

? 4 k ? 5 ? x ? 4 ?1 ? k ? x ? 3 ? 0
2

的解

三、一元二次不等式解法的逆向运用 当我们知道有关一元二次不等式的解集时, 可知解集的边界值即为其对应一元二 次方程的解。 ·································· ·································· 例题 3:已知不等式 a x 2
? bx ? 2 ? 0

的解是 ?

1 2

? x ?

1 3

,求 2 x 2

? bx ? a ? 0

的解

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变式 1: (中难)已知不等式 a x 2 等式 c x 2
? bx ? a ? 0

? bx ? c ? 0

的解集为 ? x ?

? x ? ??

,其中,求不

的解集。

四、分式不等式的解法 基本思想——将分式不等式转化为整式不等式
f

?x? ?x?

g ?x? f

? 0 ? f

?x??g ?x?

? 0

g ?x?

? 0 ? f

?x??g ?x? ?

0

★注意: 这样的转化只在解分式不等式的时候才能使用,在解分式方程的时候不 能使用。 ·································· ·································· 例题 4:解下列不等式 (1)
x ?1 x?3 ? 0

(2)

2x ?1 x?3

?1

变式 1: (中难)解关于 x 的不等式

x? a x? a
2

? 0?a ? R ?

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五、一元高次不等式的解法 基本思想——高次化低次。将式子化成几个低次因式相乘的形式。 ·································· ·································· 例题 5:解下列不等式 ★转化后,运用积的符号法则,用根轴法可解不等式 (1) ? x ? 2 ? ? x
2

? x ? 12 ? ? 0

(2)

x ? 3x ? 10
2

x ?1
2

? 0

(3)

2x ? 3x ? 5
2

3x ? 13x ? 4
2

?1

变式 1:解不等式:

2x x ?1

?

1 x

★分类讨论在分式不等式中常出现!

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3.3 二元一次不等式组与简单的线性规划
一、确定二元一次不等式所表示的区域 一般地,确定二元一次不等式所表示的区域,用代特殊点法。 步骤: ①不等式变形; ②画出其对应一次函数的直线; ③代入特殊点,从结果判断区域; ·································· ·································· 例题 1:画出下列不等式表示的平面区域 ★注意:当题目不等式为严格不等式的时候,直线要画成虚线。 (1) 2 x ?
y ? 10 ? 0

(2) y

? ?2 x ? 3

变式 1: 在△ABC 中, ? 3, ? 1 ? 、 ? ? 1,1 ? 、 ? 1, 3 ? , A B C 写出△ABC 区域所表示的二元一次不等式组。

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x ? 3

变式 2:画出不等式组

x? y ? 0 x? y?5 ? 0

表示的平面区域图形,并计算它表示的平面

区域的面积

·································· ·································· 二、线性规划的有关概念 线性约束条件 线性目标函数 可行解 可行域 最优解 关于 x,y 的一次不等式组成的不等式组 为 x,y 的一次解析式 满足的解 所有可行解组成的集合 使线性目标函数取得最大值或最小值的可行解

·································· ··································
2x ? y ? 7

例题 2:已知 x、y 满足条件

5 x ? 3 y ? 1 ,求 z ? x ? 3 y x ?5y ? 9

的最大值

解线性规划问题的一般步骤: ①画出所有线性约束条件所对应一次函数的直线; ②根据特殊值法标出可行域; ③作出线性目标函数的直线,并平移寻找最优解。
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y ? 0

变式 1:已知 x,y 满足不等式组

x ? 3 y ? 7? 2x ? y ? 2 4 ? 3 x ? y ? 6?

0

,试求 z
0

? x? y

的最大值和最小

0

值及其相应的 x,y 的值

·································· ·································· 三、关于点的同、异侧问题 一般地,已知一条直线 A x ? 若两点位于直线的同侧,则 A x 1 ? 于直线的异侧,则 A x 1 ?
By ? C ? 0

和平面内两点 P ? x1 , y1 ? 和 Q ? x 2 , y 2 ? , 与 A x2
? By2 ? C ? 0

B y1 ? C ? 0

同号,若两点位

B y1 ? C ? 0

与 A x2

? By2 ? C ? 0

异号。

·································· ··································
10/ 14

例题 3:如何确定 m 的范围使点 ? 1, 2 ? 和 ? 1,1 ? 在 y 注意:同号、异号的不等式表示方法

? 3x ? m

的异侧。

·································· ·································· 四、线性规划实际问题 例题 4:某公司仓库 A 存有 12 吨,仓库 B 存有货物 8 吨,现按 7 吨、8 吨和 5 吨把货物分别调运给甲乙丙三个商店,从仓库 A 运货物到商店甲乙丙,每吨货 物的运费分别为 8 元、6 元、9 元;从仓库 B 运货物到商店甲乙丙,每吨货物的 运费分别为 3 元、4 元、5 元。问应该如何安排调运方案,才能使得从两个仓库 运货物到三个商店的总运费最少?

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3.4 基本不等式
一、基本不等式 1、两个不等式: 基本不等式:
ab ? a ?b 2

(常考)

重要不等式: a 2 2、等号成立的条件:★当且仅当 a
?b

?b

2

? 2ab

的时候等号成立。

注意:并不是任何时候不等式的等号都能成立,例如
x ? 2?
2

1 x ?1
2

? 2

?x

2

? 2??

1 x ?1
2

? 2

中,等号不能取!

·································· ·································· 例题 1:若 0 A、 a 2
? a ? 1, 0 ? b ? 1 ,且 a ? b
2

,则 a

? b, 2

ab , 2ab, a

2

?b

2

中最大的一个是

?b

B、 2

ab

C、 2 a b D、 a ? b

变式 1:已知 a , b , c ?

R

?

,且 a ? b ? c

? 1 ,求证:

1 a

?

1 b

?

1 c

? 9



★注意:式子的变形变成能用不等式的形式

变式 2: (中难)已知 a (1) ?
? 1

? 0, b ? 0, c ? 0

,且 a ? b ? c
?b ? c
2 2

? 1 ,求证:

?? 1 ?? 1 ? ? 1? ? ? 1? ? ? 1? ? 8 ? a ?? b ?? c ?

(2) a 2

?

1 3

12/ 14

变式 3: (中难) a 若

? 0, b ? 0

, A 设

?

a ?b
2

2

,B ?

a ?b 2

,C ?

a b ,D ?

2 1 a ? 1 b



2

的大小顺序为。

·································· ·································· 二、极值定理 ①若 x ? ②若 x y
y ? s

(和为定值) ,则当 x

?

y 时,积 x y 取得最大值

s

2

; ;

4

? p

(积为定值) ,则当 x

? y

时,和 x ?

y

取得最小值 2

p

·································· ·································· 例题 2:求函数 y
? 1 x?3 ? x ? x ? 3 ? 的最小值;

当两数的和或积不是常数时,可进行适当的变形

变式 1: (中难)已知 a,b 都是正数,且 a 2

?

b

2

? 1 ,求 y ? a 1 ? b

2

的最大值。

2

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三、均值不等式的误区 运用均值不等式的时候必须注意的三个条件: “一正、二定、三相等” 。 ·································· ·································· 例题 3:过点 P ? 2 ,1 ? 的直线 l 分别交 x 轴、y 轴的正半轴于 A、B 两点,求△AOB 的面积 S 的最小值

变式 1:求 y

?

x ?5
2

的最小值。

x ? 4
2

★注意:等号是否能成立。

四、基本不等式的综合问题 例题 4:若 a
? b ?1,P ?
lg a ? lg b

,Q

?

1 2

? lg a

? lg b ?

,R

? a ? b ? ? lg ? ? ? 2 ?

,则 R、

P、Q 的大小关系是。 灵活运用对数的运算关系。

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