广西中山中学2017_2018年高二数学下学期期中试题文44

广西中山中学 2017-2018 学年高二数学下学期期中试题 文
一、选择题(本大题共 12 小题,共 60.0 分) 1. 复数 A. 为虚数单位等于 B. C. ,那么输出的 D.

2. 执行右面的程序框图,如果输入的

A. 1 3. 函数 B. C. D.

导函数

的图象如图所示,则下列说法正确的是

A. 函数 B. 函数 C. 函数 D. 函数



上单调递增

的递减区间为 在 在 处取得极大值 处取得极小值 ,则曲线的直角坐标方程为 C. D.

4. 曲线的极坐标方程为 A. B.

-1-

5. 已知 A. 2

为虚数单位,若 B. 1

为纯虚数,则 a 的值为 C. D.

6. 甲、乙、丙三人参加某公司的面试,最终只有一人能够被该公司录用,得到面试结果以 后,甲说:丙被录用了;乙说:甲被录用了;丙说:我没被录用若这三人中仅有一人说 法错误,则下列结论正确的是 A. 丙被录用了 C. 甲被录用了 B. 乙被录用了 D. 无法确定谁被录用了 ,则表格中 m

7. 根据表格中的数据用最小二乘法计算出变量 x、y 的线性回归方程为 的值是

x y
A. 4 8. 函数 A.

0

1 1 B. 在区间 B.

2 8

3

m
C. 5 D. 6

上单调递增,则实数 a 的取值范围为 C. ,若 ab 可被 5 整除,则 D. 中至少有一个能被 5 整除”

9. 用反证法证明命题:“已知 时,反设正确的是 A. C. 10. 若函数 A. 8 11. B. 6 表示的图形是 A. 一条直线 12. 已知函数 B. 一条射线 都不能被 5 整除 中有一个不能被 5 整除

B. D.

都能被 5 整除 中有一个能被 5 整除 ,则 ab 的值为 D. 2

的两个极值点为 C. 3

C. 一条线段

D. 圆

在 R 上有两个极值点,则 m 的取值范围为

A. C. 二、填空题(本大题共 4 小题,共 20.0 分)

B. D.

-2-

13. 函数

的单调递减区间是______. 化为直角坐标为______ .

14. 将点的极坐标

15. 已知 x 与 y 之间的一组数据:

x y

0

2 3

4 5

6 3a ,则 a 的值为______ . 参数 ,若以 O 为极点,

a

已求得关于 y 与 x 的线性回归方程

16. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l 的参数方程为

x 轴的正半轴为极轴,曲线 C 的极坐标方程为
为______. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 72.0 分) 17. 已知函数 求函数 求曲线 为自然对数的底. 的单调递增区间; 在点 处的切线方程.

,则直线 l 被曲线 C 所截得的弦长

18. 为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎放开”政策的热度,现在某市进行调查,随机 调查了 50 人,他们年龄大点频数分布及支持“生育二胎”人数如下表: 年龄 频数 5 10 5 15 12 10 8 5 2 5 1

支持“生育二胎” 4

由以上统计数据填下面 2 乘 2 列联表,并问是否有 “生育二胎放开”政策的支持度有差异:

的把握认为以 45 岁为分界点对

-3-

年龄不低于 45 岁的人 年龄低于 45 岁的人 合计 数 支持 不支持 合计 Ⅱ若对年龄在 的被调查人中随机选取两人进行调查, 恰好这两人都支持“生育二胎 数

放开”的概率是多少? 参考数据: .

19. 如表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 吨与相应的生产能 耗 吨标准煤的几组对照数据.

x y

3

4 3

5 4

6

请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 已知该厂技改前, 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤试根据



求出的线性回归方

程,预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低了多少吨标准煤?参考公式:

参考数值:

-4-

20. 已知函数 求 求 的值; 在 上的极值.





处与直线

相切.

21. 已知直线 l 的参数方程是

是参数,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,

且取相同的长度单位建立极坐标系,圆 C 的极坐标方程为 求直线 l 的普通方程与圆 C 的直角坐标方程; 设圆 C 与直线 l 交于 A、B 两点,若 P 点的直角坐标为 ,求 的值.

-5-

22. 已知函数 讨论 若 【答案】 1. A 8. D 13. 14. 15. 16. 17. 解: 令 因为 所以曲线 在点 ,即 18. 解:Ⅰ根据题意填写 ,即函数 分 2. C 9. A 3. D 10. A 的单调性; 有两个极值



,其中

,求

的最小值.

4. A 11. B

5. D 12. C

6. C

7. A

的单调递增区间是

; 分

处的切线方程为 分 列联表如下; 年龄低于 45 岁的人数 合计 32 18 40 50

年龄不低于 45 岁的人数 支持 不支持 合 分 根据表中数据,计算 所以没有 计 10





的把握认为以 45 岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异; 中支持“生育二胎”的 4 人分别为 分 ,

分Ⅱ年龄在

不支持“生育二胎”的人记为 则从年龄在

的被调查人中随机选取两人所有可能的结果有: , 共 10 种; 分
-6-

设“恰好这两人都支持“生育二胎””为事件 则事件 A 所有可能的结果有: 共 6 种, ; 所以对年龄在 分



的被调查人中随机选取两人进行调查时, 分 ,

恰好这两人都支持“生育二胎”的概率为 19. 解: 由题意知,





, 要求的线性回归方程是 利用回归方程,计算 , 预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低了 20. 解: 函数 在 . 处与直线 相切, 吨标准煤. 时 ; ,

,即

,解得





得: ,令

,定义域为 ,解得 ,令

. ,得 .

在 在

上单调递增,在 上的极大值为

上单调递减, 无极小值.

-7-

21. 解:

直线 l 的参数方程是 . , ,

是参数



即直线 l 的普通方程为

圆 C 的直角坐标方程为 将 代入 .

,即 得 ,



. 22. 解: 函数 的定义域是 , 令 当 时,令 , 在 当 当 当 当 综上,当 当 时, 单调递增, 时, 时,令 和 时, 恒成立, ,解得 时, ,此时函数 ,此时函数 为减函数, 在 单调递增, ,且 , ,则 ,解得 , , ,

为增函数,

的递增区间为

,无递减区间. 和 ,单调递减区间为

时,函数的递增区间为 , ,



两根分别为 从而有 , ,

,则有



-8-



, 在 在 上单调递减, , 的最小值为 上恒成立,

则 即 【解析】 1. 解: 故选 A

分子分母同乘 ,将分母实数化后,即可得到答案. 本题考查的知识点是复数代数形式的乘除运算,复数的除法的化简关键是将分母乘以其共轭 复数,将分母实数化,也可以利用公式: 2. 解:由程序框图知:输入 第一次循环 第二次循环 第三次循环 满足条件 故选:C. 根据框图的流程模拟运行程序,直到满足条件 ,跳出循环,计算输出 S 的值. ,跳出循环,输出 ; ; ; . 时,

本题考查了直到型循环结构的程序框图,根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常 用方法,属于基础题. 3. 解:由函数 当 当 所以 在 故选 D. 利用导数与函数单调性的关系以及函数在某点取得极值的条件即可判断.
-9-

导函数的图象可知: 时, 单调递减; 单调递增. ;单调增区间为 处取得极大值. ,

及 及

时,

的单调减区间为 取得极小值,在

本题考查函数的单调性及极值问题,本题以图象形式给出导函数,由此研究函数有关性质, 体现了数形结合思想. 4. 解: ,即 ,故选 A.

等式两边同乘 ,转化成直角坐标方程,再变成为圆的标准式方程. 在极坐标化直角坐标时,两边同乘 是常用技巧. 5. 解: ,解得: 故选:D. 直接由复数代数形式的乘法运算化简 ,再由已知条件列出方程组,求解即可得答案. . 为纯虚数,

本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题. 6. 解:假设甲说的是真话,即丙被录用,则乙说的是假话,丙说的是假话,不成立; 假设甲说的是假话,即丙没有被录用,则丙说的是真话, 若乙说的是真话,即甲被录用,成立,故甲被录用; 若乙被录用,则甲和乙的说法都错误,不成立. 故选:C. 利用反证法,即可得出结论. 本题考查进行简单的合情推理,考查学生分析解决问题的能力,比较基础. 7. 解: , 回归直线方程 , 解得 . 过样本中心点, ,

故选:A. 根据回归直线方程 过样本中心点,代入方程求出 m 的值即可.

本题主要考查了回归直线方程过样本中心点的应用问题,是基础题目. 8. 解:根据函数的导数与单调性的关系, 区间 上恒成立. 在区间 上单调递增,只需 在

- 10 -

由导数的运算法则, 由 故选 D

,移向得,

只需大于等于 的最大值即可,

根据函数的导数与单调性的关系, 上恒成立,考虑用分离参数法求解.

在区间

上单调递增,只需

在区间

本题考查函数的导数与单调性关系的应用,不等式恒成立问题,考查转化、计算、逻辑思维 能力. 9. 解:根据反证法的定义可知, 故选:A 根据反证法的定义即可得到结论. 本题主要考查反证法的理解和应用,比较基础. 10. 解: 且 是函数 是方程 , 解得 , , 的两个极值点, 的两个根, 中至少有一个能被 5 整除的反设为 都不能被 5 整除,

故选:A 先求出函数的导数,根据韦达定理,解出即可. 本题考查了函数的单调性问题,考查导数的应用,是一道基础题. 11. 解: 故选:B. 利用极坐标方差化为直角坐标方程即可得出. 本题考查了射线的极坐标方程,考查了推理能力与计算能力,属于基础题. 12. 解: 若 则 在 R 上有两个极值点, 有 2 个不相等的实数根, , 表示的图形是一条射线: .

- 11 -

, 解得: 故选:C. 求出函数的导数,问题转化为导函数 出 m 的范围即可. 本题考查了函数的极值问题,考查导数的应用以及二次函数的性质,是一道基础题. 13. 解: 的定义域为 ,令 ,可得 . . ,解得 . 有 2 个不相等的实数根,根据二次函数的性质求 或 ,

所以函数的单调递减区间为 故答案为: .

求出函数的定义域,求出导函数,令导函数小于 0,求出 x 的范围,写出区间即为单调递减区 间. 本题考查函数的单调区间的求法,导数的应用,解题中一定注意先求出函数的定义域,然后 令导函数大于 0 求出递增区间;令导函数小于 0 求出递减区间. 14. 解: 点的极坐标 , , 将点的极坐标 故答案为: . 化为直角坐标为

直接利用极坐标与直角坐标的互化求解即可. 本题考查点的直角坐标的求法,涉及到极坐标、直角坐标的互化等基础知识,考查推理论证 能力、运算求解能力,考查化归与转化思想,是基础题. 15. 解: 将 , 代入方程得: ,解得: 故答案为: . ,

首先求出这组数据的横坐标和纵坐标的平均数,写出这组数据的样本中心点,把样本中心点 代入线性回归方程求出 a 的值.

- 12 -

本题考查回归分析,考查样本中心点满足回归直线的方程,考查求一组数据的平均数,是一 个运算量比较小的题目,并且题目所用的原理不复杂,是一个好题. 16. 解:将曲线 C 的极坐标方程 即 ,它表示以 化为直角坐标方程为 ,

为圆心,2 为半径的圆, , , .

直线方程 l 的普通方程为 圆 C 的圆心到直线 l 的距离

故直线 l 被曲线 C 截得的线段长度为 故答案为: 将曲线 C: .

化为普通方程,将直线的参数方程化为普通方程,利用圆心距、弦长和半

径构成的直角三角形来求解. 解决直线与圆的问题:一:代数法,利用方程组求解;二,几何法,借助直角三角形属于基 础题. 17. 先确定函数的定义域然后求导数 的单调递增区间; 处的导数,从而求出切线的斜率,利用点斜式方程即可 ,在函数的定义域内解不等式 ,解得区间

就是函数

先求出切点的坐标,然后求出 求出切线方程.

本题主要考查了实际问题中导数的意义,以及利用导数研究函数的单调性等基础知识,考查 计算能力,属于基础题. 18.Ⅰ根据题意填写 列联表,由表中数据计算观测值,对照临界值即可得出结论;Ⅱ用列

举法求出基本事件数,计算所求的概率值. 本题考查了独立性检验与列举法求古典概型的概率问题,是基础题. 19. 由题意计算、,求出回归系数,写出线性回归方程; 时 y 的值,从而得出预测结果.

利用回归方程计算

本题考查了线性回归方程的求法与应用问题,是基础题. 20. 根据导数的几何意义列方程组解出; 的单调性,根据单调性得出极值.

判断

本题考查了导数的几何意义,导数与函数单调性,极值的关系,属于基础题. 21. 将参数方程两式相加消去参数 t 得到直线 l 的普通方程, 将极坐标方程展开两边同乘 ,

根据极坐标与直角坐标的对应关系得到直角坐标方程;
- 13 -

将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程,利用根与系数的关系和参数的几何意义 求出距离. 本题考查了参数方程,极坐标方程与普通方程的转化,参数的几何意义,属于基础题. 22. 求函数的定义域和导数,讨论 a 的取值范围,利用函数单调性和导数之间的关系进行

求解即可. 求出函数 的导数,利用函数极值,最值和导数之间的关系进行求解.

本题主要考查函数单调性,极值,最值和导数的关系,求函数的导数,利用构造法是解决本 题的关键综合性较强,有一定的难度.

- 14 -


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