2018-2019学年最新高中数学苏教版选修2-3教学案:1.4 计数应用题-含解析

[例 1] 3 个女生和 5 个男生排成一排. (1)如果女生必须全排在一起,有多少种不同的排法? (2)如果女生必须全分开,有多少种不同的排法? (3)如果两端都不能排女生,有多少种不同的排法? (4)如果两端不能都排女生,有多少种不同的排法? (5)如果甲必须排在乙的右面(可以不相邻),有多少种不同的排法? [思路点拨] 本题涉及限制条件,要优先考虑有条件限制的元素或位置,相邻问题可采 用捆绑法,不相邻问题可采用插空法. [精解详析] (1)(捆绑法)因为 3 个女生必须排在一起,所以可先把她们看成一个整体, 这样同 5 个男生合在一起共有 6 个元素,排成一排有 A6 6种不同排法.对于其中的每一种排 3 3 法,3 个女生之间又有 A3 种不同的排法,因此共有 A6 6·A3=4 320 种不同的排法. (2)(插空法)要保证女生全分开, 可先把 5 个男生排好, 每两个相邻的男生之间留出一个 空,这样共有 4 个空,加上两边两个男生外侧的两个位置,共有 6 个位置,再把 3 个女生 插入这 6 个位置中,只要保证每个位置至多插入一个女生,就能保证任意两个女生都不相 邻.由于 5 个男生排成一排有 A5 5种不同排法,对于其中任意一种排法,从上述 6 个位置中 5 3 选出 3 个来让 3 个女生插入有 A3 6种方法,因此共有 A5·A6=14 400 种不同的排法. (3)法一:(特殊位置优先法)因为两端不能排女生,所以两端只能挑选 5 个男生中的 2 6 个, 有 A2 对于其中的任意一种排法, 其余六位都有 A6 所以共有 A2 A6 5种不同排法, 6种排法, 5· =14 400 种不同的排法. 法二:(间接法)3 个女生和 5 个男生排成一排共有 A8 8种不同的排法,从中扣除女生排在 7 1 7 首位的 A1 3·A7种排法和女生排在末位的 A3·A7种排法,但这样两端都是女生的排法在扣除 女生排在首位时被扣去一次,在扣除女生排在末位时又被扣去一次,所以还需加一次,由 6 8 1 7 2 6 于两端都是女生有 A2 3·A6种不同的排法,所以共有 A8-2A3·A7+A3·A6=14 400 种不同 的排法. 法三:(特殊元素优先法)从中间 6 个位置中挑选出 3 个让 3 个女生排入,有 A3 6种不同 的排法, 对于其中的任意一种排法, 其余 5 个位置又都有 A5 所以共有 A3 A5 5种不同的排法, 6· 5 =14 400 种不同的排法. (4)法一:因为只要求两端不能都排女生,所以如果首位排了男生,则末位就不再受条 7 1 件限制了,这样可有 A1 5·A7种不同的排法;如果首位排女生,有 A3种排法,这时末位就只 1 6 能排男生,这样可有 A1 3·A5·A6种不同的排法. 1 1 1 6 因此共有 A5 ·A7 7+A3·A5·A6=36 000 种不同的排法. 2 法二: 3 个女生和 5 个男生排成一排有 A8 从中扣去两端都是女生的排法有 A3 · A6 8种排法, 6 2 6 种,就能得到两端不都是女生的排法种数.因此共有 A8 8-A3·A6=36 000 种不同的排法. 8 A8 (5)(顺序固定问题)因为 8 人排队,其中两人顺序固定,共有 2=20 160 种不同的排法. A2 [一点通] (1)排列问题的限制条件一般表现为:某些元素不能在某个位置,某个位置只能放某些 元素等.要先处理特殊元素或先处理特殊位置,再去排其他元素.当用直接法比较麻烦时, 可以用间接法,先不考虑限制条件,把所有的排列数算出,再从中减去全部不符合条件的排 列数,这种方法也称为“去杂法” ,但必须注意要不重复,不遗漏(去尽). (2)对于某些特殊问题,可采取相对固定的特殊方法,如相邻问题,可用“捆绑法”, 即将相邻元素看成一个整体与其他元素排列,再进行内部排列;不相邻问题,则用“插空 法”,即先排其他元素,再将不相邻元素排入形成的空位中. 1.(四川高考改编)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲, 则不同的排法共有________种. 解析:当最左端排甲时,不同的排法共有 A5 5种;当最左端排乙时,甲只能排在中间四 4 5 1 4 个位置之一,则不同的排法共有 C1 4A4种.故不同的排法共有 A5+C4A4=9×24=216 种. 答案:216 2.用 5,6,7,8,9 组成没有重复数字的五位数,其中有且仅有一个奇数夹在两个偶 数之间的五位数的个数为________种. 1 3 解析:符合题意的五位数有 A2 2C3A3=2×3×3×2=36. 答案:36 3.某天某班的课程表要排入数学、语文、英语、物理、化学、体育六门课程,如果第 一节不排体育,第六节不排数学,一共有多少种不同的排法? 解:法一:(位置分析法)依第一节课和第六节课的情况进行分类; 4 ①第一节课排数学,第六节课排体育,共有 A4 种排法; 4 ②第一节课排数学,第六节课不排体育,共有 A1 4A4种排法; 4 ③第一节课不排数学,第六节课排体育,共有 A1 4A4种排法; 2 4 ④第一节课不排数学,第六节课不排体育,共有 A4 A4种排法. 4 4 2 4 由分类加法计数原理,所求的不同排法共有 A4 +2A1 4A4+A4A4=504(种). 法二:(排除法)不考虑受限条件下的排法有 A6 6种,其中包括数学课在第六节的排法有 5 A5 5种,体育课在第一节的排法有 A5种,但上面两种排法中同时含有数学课在第六节,体育 6 5 4 课在第一节的情形有 A4 4种.故所求的不同排法有 A6-2A5+A4=504(种). [例 2] 某龙舟队有 9 名队员,其中 3 人只会划左舷,4 人只会划右舷,2 人既会划左舷又 会划右舷,现要选派划左舷的 3 人,划右舷的 3 人,共 6 人参加比赛,则不同的选派方法 有多少种? [思路点拨 ] 论. 既会划左

相关文档

2018-2019学年高中数学苏教版选修2-3教学案:1.4 计数应用题-含解析
【小初高学习】2018-2019学年高中数学苏教版选修2-3教学案:1.4 计数应用题-缺答案
2018-2019学年最新高中数学苏教版选修2-3教学案:1.1 两个基本计数原理-含解析
2018-2019学年最新高中数学苏教版选修2-3教学案:1.4 计数应用题-缺答案
2018-2019学年高中数学苏教版选修2-3教学案:1.1 两个基本计数原理-含解析
2018-2019学年最新高中数学苏教版选修2-3:课下能力提升(七)计数应用题-含解析
2018-2019年高中数学苏教版《选修二》《选修2-3》《第一章 计数原理》《1.4计数应用题》精
2018-2019年高中数学苏教版《选修二》《选修2-3》《第一章 计数原理》《1.4计数应用题》课
2018-2019年高中数学苏教版《选修二》《选修2-3》《第一章 计数原理》《1.4计数应用题》同
2018-2019学年高中数学苏教版选修2-3教学案:1.4 计数应用题-缺答案
电脑版