1994年全国高中数学联赛试题1


1994 年全国高中数学联赛试题
第 一 试

一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1、设 a,b,c 是实数,那么对任何实数 x, 不等式 a sin x ? b cos x ? c ? 0. 都成立的充 要条件是 (A)a,b 同时为 0,且 c>0 (B) a 2 ? b 2 ? c (C) a 2 ? b 2 ? c (D) a 2 ? b 2 ? c 2、给出下列两个命题:(1).设 a,b,c 都是复数,如果 a 2 ? b 2 ? c 2 ,则 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a ? b ? c ? 0 .(2).设 a,b,c 都是复数,如果 a ? b ? c ? 0 ,则 a ? b ? c . 那么下述说法正确的是 (A)命题(1)正确,命题(2)也正确 (B)命题(1)正确,命题(2)错误 (C)命题(1)错误,命题(2)也错误 (D)命题(1)错误,命题(2)正确 3、已知数列 {a n } 满足 3 a n ? 1 ? a n ? 4 ( n ? 1) ,且 a 1 ? 9 ,其前 n 项之和为 S n ,则满足 不等式 | S n ? n ? 6 | ? (A)5 (B)6
?
4

1 125

的最小整数 n 是 (D)8
b

(C)7

4、已知 0 ? b ? 1, 0 ? a ?
z ? (sin a )
log b cos a

,则下列三数: x ? (sin a ) log

sin a

, y ? (cos a ) log

b

cos a

,

的大小关系是 (A)x<z<y (B)y<z<x (C)z<x<y (D)x<y<z 5、在正 n 棱锥中,相邻两侧面所成的二面角的取值范围是 (A) (
n?2 n

? ,? )

(B) (

n?1 n

? ,? )
?

(C) ( 0 , )
2 | x ? y| 2b ? 1 (a,b

?

(D) (

n?2 n

?,

n?1 n

?)

6、在平面直角坐标系中,方程 表的曲线是 (A)三角形 (C)非正方形的长方形

| x ? y| 2a

是不相等的两个正数)所代

(B)正方形 (D)非正方形的菱形

二、填空题(每小题 9 分,共 54 分) 1.已知有向线段 PQ 的起点 P 和终点 Q 的坐标分别为(?1,1)和(2,2),若直线 l : x ? m y ? m ? 0 与 PQ 的延长线相交,则 m 的取值范围是______. 2.已知 x , y ? [ ?
? ?
, 4 4 ], a ? R

? x 3 ? s in x ? 2 a ? 0 且? 3 ? 4 y ? s in y cos y ? a ? 0
5 2

则 cos( x ? 2 y ) =_____.

3.已知点集 A ? { ( x , y )| ( x ? 3 ) 2 ? ( y ? 4 ) 2 ? ( ) 2 } ,

B ? { ( x , y )| ( x ? 4 ) ? ( y ? 5 )
2

2

5 2 ? ( ) } ,则点集 A ? B 2

中的整点(即横、纵坐标均

为整数的点)的个数为_____. 4.设 0 ? ? ? ? ,则 s in
?
2 ( 1 ? cos ? ) 的最大值是______.

5.已知一平面与一正方体的 12 条棱的夹角都等于 ? ,则 s in ? =___ 6.已知 95 个数 a 1 , a 2 , a 3 , ? , a 95 , 每个都只能取+1 或 ? 1 两个值之一,那么它们的 两两之积的和 a 1 a 2 ? a 1 a 3 ? ? ? a 94 a 95 的最小值是___. 第 二 试

一、(本题满分 25 分) x 的二次方程 x 2 ? z 1 x ? z 2 ? m ? 0 中, z 1 , z 2 , m 均是 复数, z 12 ? 4 z 2 ? 1 6 ? 2 0 i ,设这个方程的两个根 ? , ? 满足 | ? ? ? | ? 2 7 ,求 | m | 且 的最大值和最小值。 二、(本题满分 25 分) 将与 105 互素的所有正整数从小到大排成数列,试 求出这个数列的第 1000 项。 三、(本题满分 35 分) 如图,设三角形的外接圆 O 的半径为 R,内心为 I, ? B ? 60 ? , ? A ? ? C , ? A 的外角平分线交圆 O 于 E,证明: E A (1) IO=AE (2) 2 R ? IO ? IA ? IC ? (1 ? 3 ) R
O I B C

四、 (本题满分 35 分) 给定平面上的点集 P ? { P1 , P2 , ? , P1994 } , P 中任三 点均不共线,将 P 中的所有的点任意分成 83 组,使得每组至少有 3 个点,且每 点恰好属于一组, 然后将在同一组的任两点用一条线段相连,不在同一组的两点 不连线段,这样得到一个图案 G,不同的分组方式得到不同的图案,将图案 G 中所含的以 P 中的点为顶点的三角形个数记为 m(G). (1)求 m(G)的最小值 m 0 (2)设 G * 是使 m ( G *) ? m 0 的一个图案, G * 中的线段(指以 P 的点为端点 若 的线段)用 4 种颜色染色,每条线段恰好染一种颜色.证明存在一个染色方案,使 G * 染色后不含以 P 的点为顶点的三边颜色相同的三角形。


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