2018-2019学年最新高中数学苏教版选修2-2教学案:第3章 3.2 第二课时 复数的乘方与除法运算

第二课时 复数的乘方与除法运算 c c 问题 1:在实数中,若 a· b=c(a≠0),则 b= .反之,若 b= ,则 a· b=c.那么在复数集 a a z3 中,若 z1· z2=z3,有 z1= (z2≠0)成立吗? z2 提示:成立. z1 问题 2:若复数 z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R,c+di≠0),则 如何运算? z2 提示:通常先把(a+bi)÷ (c+di)写成 a+bi 的形式,再把分子与分母都乘分母的共轭复数 c+di c-di,化简后可得结果,即 a+bi ?a+bi??c-di? ?ac+bd?+?bc-ad?i = = c+di ?c+di??c-di? c2+d2 = ac+bd bc-ad + i(c+di≠0). c2+d2 c2+d2 对任意复数 z,z1,z2 和 m,n∈N*,有 (z)m· (z)n=(z)m n; + (zm)n=zmn; n n (z1· z2)n=z1 · z2 . 2.虚数单位 in(n∈N*)的周期性 i4n=1,i4n 1=i,i4n 2=-1,i4n 3=-i. + + + 3.复数的除法运算及法则 把满足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)的复数 x+yi(x, y∈R)叫做复数 a+bi 除以复数 c +di 的商.且 x+yi= a+bi ?a+bi??c-di? ac+bd bc-ad = = + i. c+di ?c+di??c-di? c2+d2 c2+d2 由 a+bi ?a+bi??c-di? ?ac+bd?+?bc-ad?i ac+bd bc-ad = = = 2 + i, 可以看出复数除法的 c+di ?c+di??c-di? c2+d2 c +d2 c2+d2 运算实质是将分母化为实数的过程即分母实数化. [对应学生用书P41] 虚数单位 i 的幂的周期性 [例 1] 求 1+i+i2+…+i2 014 的值. [思路点拨] 利用 in 的性质计算,i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,还可以利 用等比数列求和来解. [精解详析] 法一:1+i+i2+…+i2 014 = 1-i2 015 1-i2 014· i 1+ i = = =i. 1-i 1-i 1- i + + + 法二:∵in+in 1+in 2+in 3=0(n∈N*), ∴1+i+i2+…+i2 014 =1+(i+i2+i3+i4)+(i5+i6+i7+i8)+…+(i2 009+i2 010+i2 011+i2 012)+i2 013+i2 014 =1+i-1=i. [一点通] 等差、等比数列的求和公式在复数集 C 中仍适用,i 的周期性要记熟,即 in +in+1+in+2+in+3=0(n∈N*). 1.若 z=- 1-i ,则 z2 014+z102=________. 2 ? 1-i?2 解析:∵z2=?- ? =-i, 2? ? ∴z2 014+z102=(-i)1 007+(-i)51 =(-i)1 004· (-i)3+(-i)48· (-i)3 =i+i=2i. 答案:2i 2.设 z1=i4+i5+i6+…+i12,z2=i4· i5· i6 · … · i12,则 z1 与 z2 的关系为 z1________z2(用 “=”或“≠”填). i4?1-i9? i4?1-i? 解析:∵z1= = =1, 1-i 1-i z2=i4+5+6+ ∴z1=z2. 答案

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