指数与指数幂的运算


指数与指数幂的运算

导入新课 同学们,我们在初中学习了平方根、立方根,那么有没有四次方根、五次方 根… n 次方根呢? 提出问题 (1)什么是平方根?什么是立方根?一个数的平方根有几个,立方根呢? (2)如 x 4 ? a , x5 ? a , x6 ? a 根据上面的结论我们又能得到什么呢? (3)根据上面的结论我们能得到一般性的结论吗? (4)可否用一个式子表达呢? 讨论结果:

n 次方根的意义:
一般地,如果 x n ? a ,那么 x 叫 a 的 n 次方根(n-throot),其中 n ? 1且n ? N * . 可以看出数的平方根、立方根的概念是 n 次方根的概念的特例. 提出问题 (1)你能根据 n 次方根的意义求出下列数的 n 次方根吗? ①4 的平方根; ④32 的 5 次方根; ②±8 的立方根; ③16 的 4 次方根;

⑤-32 的 5 次方根; ⑥0 的 7 次方根;⑦ a 6 的立方根.

(2)平方根,立方根,4 次方根,5 次方根,7 次方根,分别对应的方根的指数是什么 数,有什么特点?4,±8,16,-32,32,0, a 6 分别对应什么性质的数,有什么特点?

(3)问题(2)中,既然方根有奇次的也有偶次的,数 a 有正有负,还有零,结论有一 个的,也有两个的,你能否总结一般规律呢?

(4)任何一个数 a 的偶次方根是否存在呢?

n 次方根的性质:
①当 n 为偶数时, a 的 n 次方根有两个,是互为相反数,正的 n 次方根用 n a 表示, 如果是负数,负的 n 次方根用 ? n a 表示,正的 n 次方根与负的 n 次方根合并写成 ± n a ( a >0). ② n 为奇数时,正数的 n 次方根是一个正数,负数的 n 次方根是一个负数, 这时 a 的 n 次方根用符号 n a 表示. ③负数没有偶次方根;0 的任何次方根都是零. 上面的文字语言可用下面的式子表示:
n ? ?n为奇数, a的n次方根有一个为 a , a 为正数: ? n ? ?n为偶数, a的n次方根有两个为? a .
n ? a, ?n为奇数, a的n次方根只有一个为 a 为负数: ? ? . ?n为偶数, a的n次方根不存在

零的 n 次方根为零,记为 n 0 =0.

练习:找出下列各数: ①64 的立方根; ④-27 的 4 次方根不存在; ②16 的四次方根; ⑤- a6 的立方根; ③-27 的 5 次方根; ⑥0 的 3 次方根.

它类似于 n a 的形式,现在我们给式子 n a 一个名称——根式. 根式的概念: 式子 n a 叫根式,其中 a 叫被开方数, n 叫根指数. 如 3 ? 27 中,3 叫根指数,-27 叫被开方数. 思考:
n

a n 表示 a n 的 n 次方根,等式 n a n = a 一定成立吗?如果不一定成立,那么 n a n 等

于什么? 〔如 3 (?3) 3 = 3 ? 27 =-3, 4 (?8) 4 =|-8|=8〕.

n 为奇数, n a n = a .
a ? 0, ?a, n 为偶数, n a n = a = ? ?? a, a ? 0.
因此我们得到 n 次方根的运算性质: ① ( n a )n = a .先开方,再乘方(同次),结果为被开方数. ② n 为奇数, n a n = a .先奇次乘方,再开方(同次),结果为被开方数.

a ? 0, ?a, 先偶次乘方,再开方(同次),结果为被开 n 为偶数, n a n = a = a a, ? ? a , a ? 0 . ?
方数的绝对值. 应用示例 例 1 求下列各式的值: (1) 3 (?8) 3 ;(2) ( ?10 ) 2 ;(3) 4 (3 ? ? ) 4 ;(4) (a ? b) 2
( a ? b) .

变式训练 求出下列各式的值: (1) 7 (?2) 7 ; (2) 3 (3a ? 3) 3 (3) 4 (3a ? 3) 4 .
a ?1;

例 2 下列各式中正确的是( (A) 4 a4 ? a (C) a0 ? 1 ;

)

(B) 6 (?2) 2 = 3 ? 2 ; (D) 10 ( 2 ? 1) 5 = ( 2 ? 1) .

例 3 3 ? 2 2 + 3 ? 2 2 =_________

点评:不难看出 3 ? 2 2 与 3 ? 2 2 形式上有些特点,即是对称根式,是

A ? 2 B 形式的式子,我们总能找到办法把其化成一个完全平方式.
课堂练习 1.以下说法正确的是( )

A.正数的 n 次方根是一个正数 B.负数的 n 次方根是一个负数 C.0 的任何次方根都是零 D. a 的 n 次方根用 n a 表示( n ? 1且n ? N * ). 2.化简下列各式:

(1) 6 64 ;(2) 4 (?3) 2 ;(3) 4 x 8 ;(4) 6 x 6 y 3 ;(5) (x - y) 2 .

3.计算 7 ? 40 ? 7 ? 40 =__________.

提出问题 (1) 整数指数幂的运算性质是什么?

(2)观察以下式子,并总结出规律: a ? 0 ,
10

① 5 a10 = 5 ( a 2 ) 5 = a 2 = a 5 ; ② a = (a ) = a = a ;
12

8

4 2

4

8 2

③ a = ( a 3 ) 4 = a3 = a 4 ;
4 12
4

10

④ 2 a10 = 2 ( a 5 ) 2 = a5 = a 2 . (3)利用(2)的规律,你能表示下列式子吗?
4

53 , 3 75 , 5 a 7 , n x m ( x ? 0, m, n ? N * , 且n ? 1 ).

(4)你能用方根的意义来解释(3)的式子吗?

(5)你能推广到一般的情形吗?

n

规定:正数的正分数指数幂的意义是 a m = n a m( a ? 0, m, n ? N * , n ? 1 ).

提出问题 ①负整数指数幂的意义是怎样规定的?

②你能得出负分数指数幂的意义吗?

③你认为应怎样规定零的分数指数幂的意义?

④综合上述,如何规定分数指数幂的意义?

⑤分数指数幂的意义中,为什么规定 a ? 0 ,去掉这个规定会产生什么样的后果?

负数开奇次方时,应把负号移到根式的外边( 3 ?27 ? ? 3 27 ? ?3 ) ,然后再按规定 化成分数指数幂. ⑥既然指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性 质是否也适用于有理数指数幂呢?

有理数指数幂的运算性质:对任意的有理数 r , s, 均有下面的运算性质:

(1) ar ? as ? ar ?s (a ? 0, r, s ? Q) , (2) (ar )s ? ars (a ? 0, r, s ? Q) , (3) (a? b)r ? ar br (a ? 0, b ? 0, r ? Q)
2 1 ? 1 16 ? 例 1 求值:① 8 3 ;② 25 2 ;③ ( ) ?6 ;④( ) 4 . 81 2

3

点评:本例主要考查幂值运算,要按规定来解.在进行幂值运算时,要首先考虑转 化为指数运算,而不是首先转化为熟悉的根式运算,如 8 = 3 82 = 3 64 =4. 例 2 用分数指数幂的形式表示下列各式 (a ? 0) .
a3 ? a ; a2 ? 3 a2 ; a3 a
2 3

点评: 顺序是先把根式化为分数指数幂,再由幂的运算性质来运算.结果不能既有 分数指数又有根式,也不能既有分母又有负指数. 例 3 计算下列各式(式中字母都是正数): (1) (2a b )(?6a b ) ? (?3a b ) (2) (m n )
1 4 3 8 8 2 3 1 2 1 2 1 3 1 6 5 6

点评: 分数指数幂不表示相同因式的积,而是根式的另一种写法.有了分数指数幂, 就可把根式转化成分数指数幂的形式,用分数指数幂的运算法则进行运算了. 变式训练 求值: (1) 3 3 · 3 3 · 6 3 ;

27m 3 4 (2) ( ) . 125n 6
6

例 4 计算下列各式: (1)( 3 25 ? 125 )÷ 4 25 (2)

a2 a ? 3 a2

(a ? 0)

例 5 比较 5 , 3 11 , 6 123 的大小.

点评:把根指数统一是比较几个根式大小的常用方法. 课堂练习 1.下列运算中,正确的是(
A.a 2 ? a 3 ? a 6 C.( a ? 1)0 ? 0

)
B.(?a 2 )3 ? (?a 3 ) 2 D.(?a 2 )3 ? ?a 6

2.下列各式① 4 ( ?4) 2 n ,② 4 (?4) 2 n ?1 ③ 5 a 4 ,④ 4 a5 (各式的 n ? N , a ? R )中, 有意义的是( A.①② 3. ( A.a
3 4

) B.①③ ) C.a3 ) D.a4 C.①②③④ D.①③④

a 6 )2 ?( 4 3 a 6 )2 等于(

B.a2

4.把根式 ?2 3 (a ? b) ?2 改写成分数指数幂的形式为(

A. ? 2(a ? b) C. ? 2(a
? 2 5

?

2 5 ? 2 5

B. ? 2(a ? b) D. ? 2(a
? 2 5

?

5 2 5 2

-

?b )

?b )

?

1 3 ? 1 5.计算:(1)0.027 0.027 3 ? (? )?2 ? 256 4 ? 3?1 ? (2 ? 1)0 0=________. 7

课后作业 1.化简下列各式: (1) 6 81 ;(2) 15 ? 32 ;(3) 4 x 8 ;(4) 6 a 2 b 4 .

2.若 5< a <8,则式子 (a ? 5) 2 ? (a ? 8) 2 的值为__________. 3. 5 ? 2 6 ? 5 ? 2 6 =__________.
2 1 1 1 1 1 5 4.化简 (a 3 b 2 )(?3a 2 b 3 ) ? ( a 6 b 6 ) 的结果是( 3

) D. 9a

A. 6a

B. ?a

C. ?9a

5.设 5x ? 4,5 y ? 2, 则 52 x ? y ? ________.


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