2019版高中全程复习方略数学(文)课时作业:选修4-4 坐标系与参数方程 59含答案

课时作业 59 坐标系 1 ? ?x′= x, x2 2 1.求椭圆 +y2=1,经过伸缩变换? 4 ? ?y′=y 后的曲线方程. 1 ? ?x′= x, 2 解析:由? ? ?y′=y ? ?x=2x′, 得到? ?y=y′. ? ① x2 4x′2 2 将①代入 +y =1,得 +y′2=1,即 x′2+y′2=1. 4 4 x2 因此椭圆 +y2=1 经伸缩变换后得到的曲线方程是 x2+y2=1. 4 2.(2018· 邯郸调研)在极坐标系中,已知直线 l 过点 A(1,0),且其向上的方 π 向与极轴的正方向所成的最小正角为 ,求: 3 (1)直线的极坐标方程; (2)极点到该直线的距离. 解析:(1)如图,由正弦定理得 ρ sin = 2π 3 1 . ?π ? sin?3-θ? ? ? 2π 3 ?π ? 即 ρsin?3-θ?=sin = , ? ? 3 2 3 ?π ? ∴所求直线的极坐标方程为 ρsin?3-θ?= . ? ? 2 (2)作 OH⊥l,垂足为 H, π π 在△OHA 中,OA=1,∠OHA= ,∠OAH= , 3 3 3 π 则 OH=OAsin = , 3 2 3 2 即极点到该直线的距离等于 . 3.(2018· 沈阳市教学质量检测(一))在直角坐标系 xOy 中,直线 l:y=x, ? ?x=-1+cosφ 圆 C:? ? ?y=-2+sinφ 立极坐标系. (1)求直线 l 与圆 C 的极坐标方程; (2)设直线 l 与圆 C 的交点为 M,N,求△CMN 的面积. 解析:(1)将 C 的参数方程化为普通方程,得(x+1)2+(y+2)2=1, π ∵x=ρcosθ,y=ρsinθ,∴直线 l 的极坐标方程为 θ= (ρ∈R), 4 圆 C 的极坐标方程为 ρ2+2ρcosθ+4ρsinθ+4=0. (φ 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建 π (2)将 θ= 代入 ρ2+2ρcosθ+4ρsinθ+4=0,得 ρ2+3 4 =-2 2,ρ2=- 2,|MN|=|ρ1-ρ2|= 2, 2ρ+4=0,解得 ρ1 1 ∵圆 C 的半径为 1,∴△CMN 的面积为 × 2 π 1 2×1×sin = . 4 2 4.(2018· 成都模拟)在直角坐标系 xOy 中,半圆 C 的直角坐标方程为(x- 1)2+y2=1(0≤y≤1).以 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (1)求 C 的极坐标方程; (2)直线 l 的极坐标方程是 ρ(sinθ+ 3cosθ)=5 π 3,射线 OM:θ= 与半圆 3 C 的交点为 O,P,与直线 l 的交点为 Q,求线段 PQ 的长. 解析:(1)由 x=ρcosθ,y=ρsinθ,所以半圆 C 的极坐标方程是 ρ=2cosθ, π? ? θ∈?0,2?. ? ? ρ =2cosθ1, ? ?1 π (2)设(ρ1,θ1)为点 P 的极坐标,则有? θ1= , ? ? 3 (ρ2,θ2)为点 Q 的极坐标, ρ =1, ? ?1 π 解得? θ1= , ? ? 3 设 ? ?ρ2?sinθ2+ 则有? π θ2= , ? ? 3 3cosθ2?=5 3, ρ =5, ? ?2 π 解得? θ2= , ? ? 3 由于 θ1=θ2,所以|PQ|=|ρ1-ρ2|=4,所以线段 PQ 的长为 4. π? ? 5.(2018· 广州五校联考)在极坐标系中,圆 C 是以点 C?2,-6?为圆心,2 ? ? 为半径的圆. (1)求圆 C 的极坐标方程; (2)求圆 C 被直线 l:θ=- (ρ∈R)所截得的弦长. 12 5π 解析:法一:(1)设所求圆上任意一点 M(ρ,θ),如图, π 在 Rt△OAM 中,∠OMA= , 2 π ∠AOM=2π-θ- ,|OA|=4. 6 |OM| 因为 cos∠AOM= , |OA| 所以|OM|=|OA|· cos∠AOM, π? π? ? ? 2 π - θ - θ + ? ? ? ? 即 ρ=4cos 6?=4cos? 6?, ? π? ? 验证可知,极点 O 与 A?4,-6?的极坐标也满足方程, ? ? π? ? θ + ? ?为所求. 故 ρ=4cos ? 6? (2)设 l:θ=- (ρ∈R)交圆 C 于点 P, 12 5π π 在 Rt△OAP 中,∠OPA= , 2 π 易得∠AOP= , 4 所以|OP|=|OA|cos∠AOP=2 2. π 法二:(1)圆 C 是将圆 ρ=4cosθ 绕极点按顺时针方向旋转 而得到的圆, 6 π? ? 所以圆 C 的极坐标方程是 ρ=4cos?θ+6?. ? ? π? ? θ + ? ?, (2)将 θ=- 代入圆 C 的极坐标方程 ρ=4cos ? 6? 12 得 ρ=2 2, (ρ∈R)所截得的弦长为 2 12 5π 2. 5π 所以圆 C 被直线 l:θ=- [能力挑战] 6.(2018· 成都市第二次诊断性检测)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数 ? ?x=2cosα 方程为? ? ?y=2+2sinα 3 ? x= 3- t ? 2 (α 为参数),直线 l 的参数方程为? 1 y=3+ t ? 2 ? (t 为参数).在以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,过极点 O 的射线与曲线 C 相交于不同于极点的点 A,且点 A 的极坐标为(2 ?π ? 中 θ∈?2,π?. ? ? (1)求 θ 的值; (2)若射线 OA 与直线 l 相交于点 B,求|AB|的值. 解析:(1)由题意知,曲线 C 的普通方程为 x2+(y-2)2=4, 3,θ),其 ∵x=ρcosθ, y=ρsinθ, ∴曲线 C 的极坐标方程为(ρcosθ)2+(ρsinθ-2)2=4, 即 ρ=4sinθ. 3 2 由 ρ=2

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