高中数学论文谈谈解直角三角形中的“五角”

解直角三角形中的“五角”
在解直角三角形问题中,经常遇到与仰角、俯角、方位角和坡角相关的问题。本文结合 08 年中考数学试 题,对这类问题作了如下归纳,供同学们学习时参考。

1、仰角与直角三角形

例 1、如图 1,山顶建有一座铁塔,塔高 CD ? 30m ,某人在点 A 处测得塔底 C 的仰角为 20 ,塔顶 D 的 仰角为 23 ,求此人距 CD 的水平距离 AB . (08 年南京市)

sin 20 ≈ 0.342 ,cos 20 ≈ 0.940 ,tan 20 ≈ 0.364 ,sin 23 ≈ 0.391,cos 23 ≈ 0.921, (参考数据: tan 23 ≈ 0.424 )
分析:正确理解仰角的意义是问题获得解答的关键。 所谓的仰角就是视线与水平线在同向上成的夹角,仰角是一个 锐角。 所以,点 A 处测得塔底 C 的仰角为 20 ,就是视线 AC 与水平 线 AB 成的夹角,即∠CAB=20°, 塔顶 D 的仰角为 23 ,就是视线 AD 与水平线 AB 成的夹角,即∠DAB=23°; 将已知的仰角对号入座到三角形中后,接下来就是选择合理的三角形和设合理的未知数, 通常是求什么设什么; 完成这些工作后,就是要再选择合理的三角函数,建立等式,完成问题的解答。 解:设此人距 CD 的水平距离 AB 为 xm, 在直角三角形 ABC 中, 因为,∠CAB=20°, 所以,

CB CB ? tan 20 ? ,即 ? tan 20? , AB x

所以,CB=xtan20°, 在直角三角形 ABD 中, 因为,∠DAB=23°, 所以,

DB DB ? tan 23 ? ,即 ? tan 23 ? , AB x

所以,DB=xtan23°, 因为,CD=BD-BC, 所以,30= xtan23°- xtan20°,

30 30 ? =500, tan 23? ? tan 20? 0.424 ? 0.364 因此,此人距 CD 的水平距离 AB 为 500 米。
所以,x=

2、俯角与直角三角形

例 2、汶川地震后,抢险队派一架直升飞机去 A、B 两个村庄抢险,飞机在距地面 450 米上空的 P 点,测得

A 村的俯角为 30 ? ,B 村的俯角为 60 ? ,如图 3.求 A、B 两个村庄间的距离. (结果精确到米,参考数据

2 ? 1.414, 3 ? 1.732 )(郴州市 08 年)

分析:正确理解俯角的意义是问题获得解答的关键。 所谓的俯角就是视线与水平线在同向上成的夹角,俯角是一个锐角。 所以,A 村的俯角为 30 ? ,就是视线 AP 与水平线 PQ 成的夹角,即∠QPA=30°, B 村的俯角为 60 ? ,就是视线 BP 与水平线 QP 成的夹角,即∠QPB=60°; 将已知飞机在距地面 450 米上空的 P 点的意义表示出来,它实际上就是表示点 P 到地面的垂直距离, 所以,只需过点 P 作水平线的垂线,垂线段的长就是 450 米; 将已知的俯角对号入座到相应的三角形中,接下来就是选择合理的三角形和设合理的未知数, 完成这些工作后,就是要再选择合理的三角函数,建立等式,完成问题的解答。 解法 1:如图 3 所示,过点 P 作水平线的垂线,垂足为 C,则 PC=450, 根据题意得:∠QPA=30°,∠QPB=60°, 所以,∠A=30°,∠PBC=60°, 所以,∠APB=60°-30°=30°, 所以,∠APB=∠A, 所以,AB=PB, 在 Rt?BCP 中, ?C ? 90? , ?PBC ? 60? ,PC=450, 所以 PB =

450 900 ? ? 300 3 sin 60? 3

所以 AB ? PB ? 300 3 ? 520 (米)。

3、方位角与直角三角形

例 4、海中有一个小岛 P,它的周围 18 海里内有暗礁,渔船跟踪鱼群由西向东航行,在点 A 测得小岛 P 在 北偏东 60°方向上,航行 12 海里到达 B 点,这时测得小岛 P 在北偏东 45°方向上.如果渔船不改变 航线继续向东航行,有没有触礁危险?请说明理由.(08 年十堰市)

西



分析:正确理解方位角的意义是问题获得解答的关键。 一般意义上的方位角:通常表达方式是:x 偏 am°,其中 x 是起始的方向,a 是终止的方向 起始方向所在的射线,与终结方向所在的射线之间的夹角的度数就是 m°,同学们要注意方位角通常是一 个锐角;如图 5 所示,北偏东 60°,也就是∠BOA 的度数是 60°;东偏北 30°,也就是∠COA 的度数是 30°; 特殊地方位角:当整个圆周角被 8 等分时,按照逆时针的方向分别被分成东北方向、西北方向、西南方向 和东南方向四个特殊的方向。

当方向与水平方向一致时,如果向右,就说是正东方向,如果向左,就说是向正西方向; 当方向与铅直的方向一致时,如果向上,就说是正北方向,如果向下,就说是向正南方向; 判断货船有无触礁危险的标准为: 1)计算出货船向正东方向航行时,小岛 P 距正东航向的垂直距离; 2)比较垂直距离与暗礁半径的大小: 当垂直距离>暗礁半径时,货船无触礁危险; 当垂直距离<暗礁半径时,货船有触礁危险; 当垂直距离=暗礁半径时,货船有触礁危险。 解:有触礁危险. 理由: 如图 6 所示, 过点 P 作 PD⊥AC 于 D. 设 PD 为 x, 在 Rt△PBD 中,∠PBD=90°-45°=45°. 所以,BD=PD=x. 在 Rt△PAD 中, 因为,∠PAD=90°-60°=30°, x 所以, AD ? ? 3 x. tan 30 ? 因为, AD ? AB ? BD, 所以, 3x ? 12 ? x. 所以, x ? 12 ? 6( 3 ? 1) .
3 ?1

因为, 6( 3 ? 1) <18, 所以,渔船不改变航线继续向东航行,有触礁危险. 例 5、某县社会主义新农村建设办公室,为了解决该县甲、乙两村和一所中学长期存在的饮水困难问题, 想在这三个地方的其中一处建一所供水站,由供水站直接铺设管道到另外两处。 如图 7,甲、乙两村坐落在夹角为 30°的两条公路的 AB 段和 CD 段(村子和公路的宽均不计) ,点 M 表示 这所中学。点 B 在点 M 的北偏西 30°的 3km 处,点 A 在点 M 的正西方向, 点 D 在点 M 的南偏西 60°的 2 3 km 处。 为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短,现有如下三种方案:

方案一:供水站建在点 M 处,请你求出铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小值; 方案二:供水站建在乙村(线段 CD 某处) ,甲村要求管道铺设到 A 处,请你在图 7 中,画出铺设到点 A 和 点 M 处的管道长度之和最小的线路图,并求其最小值; 方案三:供水站建在甲村(线段 AB 某处) ,请你在图 8 中,画出铺设到乙村某处和点 M 处的管道长度之和 最小的线路图,并求其最小值。 综上,你认为把供水站建在何处,所需铺设的管道最短?(08 年陕西省中考) 分析:在这里要两个环节是非常重要的。一个是准确确定出各个方位角的位置,这样才能把已知的角度准 确定位好; 二是会利用对称的思想求线段和的最小值。 当然,解直角三角形也是一个重要的知识点。 解:方案一:由题意可得:MB⊥OB, ∴点 M 到甲村的最短距离为 MB。 ∵点 M 到乙村的最短距离为 MD, ∴将供水站建在点 M 处时,管道沿 MD、MB 线路铺设的长度之和最小, 即最小值为 MB+MD=3+ 2 3 (km) 方案二:如图 7,作点 M 关于射线 OE 的对称点 M′,则 MM′=2ME, 连接 AM′交 OE 于点 P,PE∥AM,PE= ∵AM=2BM=6,∴PE=3 在 Rt△DME 中, ∵DE=DM·sin60°= 2 3 ×

1 AM 。 2

1 1 3 =3,ME= DM = × 2 3 = 3 , 2 2 2

∴PE=DE,∴ P 点与 E 点重合,即 AM′过 D 点。 在线段 CD 上任取一点 P′,连接 P′A,P′M,P′M′, 则 P′M=P′M′。 ∵A P′+P′M′>AM′, ∴把供水站建在乙村的 D 点处,管道沿 DA、DM 线路铺设的长度之和最小, 即最小值为 AD+DM=AM′=
2 (2 3) =4 3; AM 2 ? MM? 2 = 6 2 ?

方案三:作点 M 关于射线 OF 的对称点 M′,作 M′N⊥OE 于 N 点,交 OF 于点 G, 交 AM 于点 H,连接 GM,则 GM=GM′ ∴M′N 为点 M′到 OE 的最短距离,即 M′N=GM+GN 在 Rt△M′HM 中,∠MM′N=30°,MM′=6, ∴MH=3,∴NE=MH=3 ∵DE=3,∴N、D 两点重合,即 M′N 过 D 点。 在 Rt△M′DM 中,DM= 2 3 ,∴M′D= 4 3 在线段 AB 上任取一点 G′,过 G′作 G′N′⊥OE 于 N′点, 连接 G′M′,G′M, 显然 G′M+G′N′=G′M′+G′N′>M′D ∴把供水站建在甲村的 G 处,管道沿 GM、GD 线路铺设的长度之和最小,即最小值为 GM+GD=M′D= 4 3 。 综上,∵3+ 2 3 < 4 3 , ∴供水站建在 M 处,所需铺设的管道长度最短。 例 6 载着“点燃激情,传递梦想”的使用,6 月 2 日奥运圣火在古城荆州传递,途经 A、B、C、D 四地.如 图 9 所示,其中 A、B、C 三地在同一直线上,D 地在 A 地北偏东 45?方向,在 B 地正北方向,在 C 地 北偏西 60?方向.C 地在 A 地北偏东 75?方向.B、D 两地相距 2km.问奥运圣火从 A 地传到 D 地的路程

大约是多少?(最后结果 保留整数,参考数据: 2 ? 1.4, 3 ? 1.7 ) (08 年荆州市) ....

分析: 如图 10 所示, 首先,要准确定位已知条件中的每一个方位角,D 地在 A 地北偏东 45?方向,这就说明 ∠FAD=45°; D 地在 B 地正北方向,这就说明 D、B 是在一条直线上的; D 地在 C 地北偏西 60?方向.这就说明线段 DC 与过 C 点的正北方向的夹角是 60°即∠DCG=60°; C 地在 A 地北偏东 75?方向.这就说明∠FAC=75°; 根据正北的方向都是平行的,就会得到 BD∥AF,所以,∠FAD=∠BDA=45°; ∠FAC+∠DBA =180°,所以,∠DBA =180°-75?=105?并且,∠DAB=∠FAC-∠FAD =75°-45°=30°; 这样我们就解决第一个问题,把角对号入座了,接下来的问题就是把这些条件如何让放置到一个合理 的直角三角形中。 仔细观察图形,确实没有现成的直角三角形,为此,我们就需要通过作辅助线来构造直角三角形。 不妨过点 B 作 BE⊥AD,垂足为 E, 这样就构造出来了两个直角三角形 BDE 和直角三角形 ABE。问题解决的最终“根据地”就找到了。 解: 如图 10 所示, 因为,D 地在 A 地北偏东 45?方向,所以,∠FAD=45°; 因为,D 地在 B 地正北方向,所以,D、B 是在一条直线上的; 因为,C 地在 A 地北偏东 75?方向,所以,∠FAC=75°;

因为正北的方向都是平行的,所以,BD∥AF, 所以,∠FAD=∠BDA=45°,∠FAC+∠DBA =180°, 所以,∠DBA =180°-75?=105?, 所以,∠DAB=∠FAC-∠FAD =75°-45°=30°; 过点 B 作 BE⊥AD,垂足为 E, 在直角三角形 BDE 中, 因为,∠BDE=45°,BD=2, 所以,DE=BE=BD× sin 45 ? =2×

2 = 2, 2

在直角三角形 ABE 中, 因为,∠BAE=30°,BE= 2 ,

BE = 2? 3= 6, tan 30? AB=2BE=2 2 , 所以,AD=AE+DE= 6 + 2 ,
所以,AE= 因为,BD∥CG, 所以,∠BDC=∠DCG=60°; 所以,∠ADC=∠BDC +∠BDCE=60°+45°=105°; 所以,∠ADC=∠DBA, 因为,∠DAB=∠DAC, 所以,△ABD∽△ADC, 所以,

AB BD AD ? ? , AD CD AC

解得:AC= 2 2 ? 6 ,CD= 3 ? 1 , 奥运圣火从 A 地传到 D 地的路程大约是: 2 2 ? 6 + 3 ? 1 ≈8(km) 。

4 坡角与直角三角形

例 7、 某校教学楼后面紧邻一个土坡, 坡上面是一块平地, 如图 11 所示,BC // AD , 斜坡 AB 长 坡度 i ? 9 : 5 .为了防止山体滑坡,保障安全,学校 决定对该土坡进行改造,地质人员勘测,当坡角不超 过 45 时,可确保山体不滑坡. (1)求改造前坡 B 到地面的垂直距离 BE 的长; (2)为确保安全,学校计划改造时保持坡脚 A 不动,坡
?

5 106 m , 2

顶 B 沿 BC 削进到 F 处,问 BF 至少是多少米?(08 年怀化市)

分析: 正确理解坡度的意义是问题解决的关键。 在这里斜坡 AB 的坡度实际上就是铅直距离 BE 与水平距离 EA 的比值。 解: (1)因为,斜坡 AB 的坡度 i ? 9 : 5 , 所以, i ?

BE 9 ? , AE 5

设 BE=9k,AE=5k, 在直角三角形 ABE 中,根据勾股定理,得:

AE 2 ? BE 2 ? AB 2 ,
所以, (9k ) ? (5k ) ? (
2 2

5 106 2 ) , 2

解得:k=

5 , 2

5 5 =22.5(m) ,AE=5× =12.5(m) , 2 2 所以,改造前坡 B 到地面的垂直距离 BE 的长是 22.5(m) ;
所以,BE=9× (2) 如图 12 所示,当坡角等于 45 时,点 B 恰好滑行到 F 点, 过点 F 作 FH⊥AD 垂直,垂足为 H,根据(1)的结论,知道, FH=BE=22.5, 因为,∠FAH=45°, 所以,FH=HA=22.5, 所以,HE=HA-EA=22.5-12.5=10(m) , 但是,这时并不是安全范围, 所以,为确保安全,坡顶 B 沿 BC 削进到 F 处, BF 至少是 10 米。 当然,这一问还有其他的解法,同学们可以自己思考完成。
?

5、混合角与直角三角形
例 8、如图 13 所示,山脚下有一棵树 AB,小华从点 B 沿山坡向上走 50 米到达点 D,用 高为 1.5 米的测角 仪 CD 测得树顶的仰角为 10°,已知山坡的坡角为 15°,求树 AB 的高.(精确到 0.1 米) (已知 sin10°≈0.17, cos10°≈0.98, tan10°≈0.18, sin15°≈0.26, cos15°≈0.97, tan15°≈0.27.) (湖北省荆门市 2008 年)

分析:要想解决问题,同学们要过好两道关,一道是把这些角定好位,也就是理解好角的意义;其次,就 是把它们放置到合适的直角三角形中,解决这两个环节的问题。自然就会水到渠成了。

解:延长 CD 交 PB 于 F,则 DF⊥PB. ∴DF=BD·sin15°≈50×0.26=13.0. ∴CE=BF=BD·cos15°≈50×0.97=48.5. ∴AE=CE·tan10°≈48.5×0.18=8.73. ∴AB=AE+CD+DF=8.73+1.5+13 =23.2. 答:树高约为 23.2 米. 希望以上的归纳对同学们的学习有所帮助。


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