【全国百强校】四川省成都市第七中学2015届高三下学期数学(文)试题:训练材料(文科拔尖)

训练材料(1)
1、设函数f ( x)的定义域为 [?1, 0) ? (0, 1],其图像上任意一点 P( x,y )满足x 2 ? y 2 ? 1。 (1)函数y ? f ( x)一定是偶函数; (2)函数y ? f ( x)可能既不是奇函数也不 是偶函数; (3)若函数y ? f ( x)是偶函数,则其值域为 (?1, 0]或[0, 1); (4)若函数y ? f ( x)的值域为(?1, 1),则f ( x)一定是奇函数。其中正 确的命题是 (A) (1)(2) (B) (2)(4) (C) (3)(4) (D) (2)(3)

2、已知椭圆的中心在原点 O ,焦点在 x 轴上,点 A(?2 3 ,0) 是其左顶点,点 C 在 椭圆上且 AC ? CO ? 0,| AC |?| CO |.⑴求椭圆的方程;⑵若平行于 CO 的直线 l 和椭 圆交于 M , N 两个不同点,求 △CMN 面积的最大值,并求此时直线 l 的方程.
???? ??? ? ???? ??? ?

3.已知函数 f ( x) ? x ? a ln x ? 1, a ? R . (I)求函数 f ( x) 的单调区间; (II)若 f ( x) ? ln x 对任意 x ? [1, ??) 恒成立,求 a 的取值范围.

答案:1、B 2、解:⑴设椭圆的标准方程为
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a 2 b2

∵左顶点 A(?2 ∴ a 2 ? 12 , C (?

3 ,0), AC ? CO ,| AC |?| CO | . 3 , 3)

3 3 ? ? 1 , b2 ? 4 12 b2 2 2 ∴椭圆的标准方程为 x ? y ? 1 . 12 4

又∵ C 在椭圆上,∴

⑵ 设 M( x 1 , y 1 ) , N (x 2 y ? ? x ? m, 代入 x
2

,y ) CO 的 斜 率 为 ?1 , ∴ 设 直 线 l 的 方 程 为 2∵

12

?

y2 ? 1 ,得 4 x 2 ? 6mx ? 3m2 ? 12 ? 0 . 4

? ?? ? 36m2 ? 4 ? 4(3m2 ? 12) ? 0 ? 3m ? ? x1 ? x2 ? 2 ? ? 3m2 ? 12 ? x1 ? x2 ? ? 4

∴ | MN |?

2 ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? 2 12 ?
3 ? 3 ?m| 2

3m2 4
? |m| 2

又 C 到直线 l 的距离 d ? | ?
2



∴ △CMN 面积 S ? 1 ? | MN | ?d ? 当且仅当 m
2

3 3 m 2 ? 16 ? m 2 m 2 ? (16 ? m 2 ) ≤ ? ?2 3, 4 4 2

? 16 ? m2 时取等号,此时 m ? ?2 2 满足题中条件,

∴直线 l 的方程为 x ? y ? 2

2 ?0.

3.解: (I)由 f ( x) ? x ? a ln x ? 1, x ? 0 得 f ?( x) ? 1 ?

a x?a ? x x

当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0, f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增, 当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 得 x ? ?a 综上所述, 当 a ? 0 时, f ( x) 的增区间为 (0, ??) ; 当 a ? 0 时, f ( x) 的增区间为 (?a, ??) , 减区间为 (0, ?a) ( II ) 令 g ( x)?

f ( x? )

l nx ?

? x

(a ? 1 ) l? x n

x ? a ?1 g ?,( x ) ?) , ? x 1, ? [1 则? ,令 x

g ?( x )? 得 0 x ? 1 ? a ,当 a ? 0 即 1 ? a ? 1 时, g ?( x) ? 0 ,又 g ( x)min ? g (1) ? 0 ,因此,
当 a ? 0 时, g ( x) ? 0 ,即 f ( x) ? ln x 对任意 x ? [1, ??) 成立;

当 a ? 0 ,即 1 ? a ? 1 时,由 g ?( x) ? 0 解得 x ? 1 ? a ,由 g ?( x) ? 0 解得 1 ? x ? 1 ? a ,所以

l n? t 1( ? t ,1 ) g ( x)min ? g (1 ? a) ? ?a ? (a ?1)ln(1 ? a), 令 t ? 1 ? a , 则 h( t )? t? t h?(t ) ? ? ln t ? 0 所以 h(t ) ? h(1) ? 0 ,即 g (1 ? a) ? 0 ,所以 f ( x) ? ln x

训练材料(2)
?sin ? x, x ? ?0, 2? ? 1、对于函数 f ( x) ? ? 1 ,有下列 4 个结论: ? f ( x ? 2), x ? (2, ??) ?2
①任取 x1、x2 ??0, ??? ,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 恒成立; ② f ( x) ? 2kf ( x ? 2k ) (k ? N* ) ,对于一切 x ? ?0, ?? ? 恒成立; ③函数 y ? f ( x) ? ln( x ? 1) 有 3 个零点; ④对任意 x ? 0 ,不等式 f ( x ) ? 则其中所有正确结论的序号是▲. 2、已知 A,B,C 是长轴长为 4 的椭圆上的三点,点 A 是长轴的一个顶点,BC 过椭 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 圆的中心 O,且 AC ? BC ? 0 , | BC |? 2 | AC | , (1)求椭圆的方程; (2)如果椭圆 上的两点 P,Q 使 ?PCQ 的平分线垂直于 OA ,是否总存在实数 λ ,使得
??? ? ??? ? PQ ? λAB ?请说明理由。
2 恒成立. x

y O

C A Q x

B

P

1 1 3、已知函数f ( x) ? ln(x ? 1) ? x.(1)求f ( x)在(? ,f (? ))的切线方程; (2) x1 ? x 2 ? ?1,求证: 2 2 x ? x2 1 f( 1 ) ? ( f ( x1 ) ? f ( x 2 )), (3)k ? Z,xf ( x ? 1) ? x 2 ? k ( x ? 1) ? 0在x ? 1时恒成立,求k max . 2 2

答案:1、①③④ 2、解: (1)以 O 为原点,OA 所在直线为 x 轴建立 平面直角坐标系,则 A(2, 0) , 设椭圆方程为
x 2 y2 ? ? 1 ,不妨设 C 在 x 轴上方, 4 b2

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 由椭圆的对称性, | BC |? 2 | AC |? 2 | OC |?| AC |?| OC | ,

??? ? ??? ? 又 AC ? BC ? 0 ? AC ? OC ,即 ΔOCA 为等腰直角三角形,
由 A(2, 0) 得: C(1,1) ,代入椭圆方程得: b 2 ? 即,椭圆方程为
x 2 3y 2 ? ? 1; 4 4
4 , 3

??? ? ??? ? (2)假设总存在实数 λ ,使得 PQ ? λAB ,即 AB // PQ ,

由 C(1,1) 得 B(?1, ?1) ,则 k AB ?

0 ? (?1) 1 ? , 2 ? (?1) 3

若设 CP: y ? k(x ?1) ? 1 ,则 CQ: y ? ?k(x ? 1) ? 1 ,
? x 2 3y 2 ?1 ? ? 由? 4 ? (1 ? 3k 2 )x 2 ? 6k(k ? 1)x ? 3k 2 ? 6k ? 1 ? 0 , 4 ? y ? k(x ? 1) ? 1 ?

由 C(1,1) 得 x ? 1 是方程 (1 ? 3k 2 )x 2 ? 6k(k ?1)x ? 3k 2 ? 6k ?1 ? 0 的一个根, 由韦达定理得: x P ? x P ?1 ? 故 k PQ ?
3k 2 ? 6k ? 1 3k 2 ? 6k ? 1 x ? ,以 代 k 得 , ?k Q 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2

y P ? yQ xP ? xQ

?

k(x P ? x Q ) ? 2k xP ? xQ

1 ? ,故 AB // PQ , 3

??? ? ??? ? 即总存在实数 λ ,使得 PQ ? λAB .

3、解: (1) x ? y ? 1 ? ln 2 ? 0; (2)即证( x1 ? x2 ? 2) 2 ? 4( x1 ? 1)(x 2 ? 1),利用均值不等式即可 ; (3)即 x ln x ? x x ln x ? x ? k在(1, ? ?)上恒成立,设g ( x) ? , x ?1 x ?1 x ? 2 ? ln x 1 g ?( x) ? ,令h( x) ? x ? 2 ? ln x,h?( x) ? 1 ? ? 0, ? h( x)单增,h(3) ? 0,h(4) ? 0 2 x ( x ? 1) x0 ln x0 ? x0 x0 ( x0 ? 2) ? x0 ? ? x0 ? (3, 4), x0 ? 1 x0 ? 1

? ?x0 ? (3, 4)使得h( x0 ) ? x0 ? 2 ? ln x0 ? 0, ? g ( x)在(1,x0 )上减, ( x0, ? ?)增。 ? g ( x) min ? g ( x0 ) ?

? k ? x0 ? (3, 4)且k ? Z, ? k max ? 3.

训练材料(3)
1、设S是至少含有两个元素的 集合,在S上定义一个二元运算“ ?” (即对任意的a,b ? S, 对于有序元素对 (a,b),在S中有唯一确定的元素 a?b与之对应)。若对任意的 a,b ? S, 有a?(b?a) ? b成立,则对任意的 a,b ? S下列等式中不恒成立的 是( (A)b?(b?b) ? b (B)[a?(b?a)]?(a?b) ? a (C) (a?b) ?[b?(a?b)] ? b
2、已知椭圆 C :

) (D)(a?b)?a ? a

3 x2 y 2 ,以原点为圆心,椭圆的短半 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 2 a b

轴长为半径的圆与直线 x ? y ? 2 ? 0 相切. ⑴求椭圆 C 的方程; ⑵设 P (4 , 0) ,M 、
N 是椭圆 C 上关于 x 轴对称的任意两个不同的点,连结 PN 交椭圆 C 于另一点 E ,

求直线 PN 的斜率的取值范围; ⑶在⑵的条件下, 证明直线 ME 与 x 轴相交于定点.

3.已知函数 f ( x) ? a ? x ? x ln a(a ? 0, a ? 1) .
x 2

(I)求函数 f ( x) 的单调区间; (II) 若存在 x1 , x2 ?[?1,1] , 使得 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? e ?1( e 是自然对数的底数) , 求实数 a 的取值范围.

答案:1、D 2、解:⑴由题意知 e ? 又因为 b ?
2 1?1
c 3 c 2 a 2 ? b2 3 ? ,所以 e2 ? 2 ? ? ,即 a 2 ? 4b 2 , a 2 a a2 4

? 1 ,所以 a 2 ? 4, b2 ? 1,故椭圆 C 的方程为 C :

x2 ? y2 ? 1 . 4

⑵由题意知直线 PN 的斜率存在,设直线 PN 的方程为 y ? k ( x ? 4)
? y ? k ( x ? 4) ? 联立 ? x 2 消去 y 得: (4k 2 ? 1) x2 ? 32k 2 x ? 4(16k 2 ? 1) ? 0 , 2 ? y ? 1 ? ?4



由 ? ? (32k 2 )2 ? 4(4k 2 ? 1)(64k 2 ? 4) ? 0 得 12k 2 ? 1 ? 0 , 又 k ? 0 不 合 题 意 , 所 以 直 线 PN 的 斜 率 的 取 值 范 围 是 ?
0?k ? 3 . 6 3 ? k ?0 或 6

⑶设点 N ( x1 , y1 ), E( x2 , y2 ) ,则 M ( x1 , ? y1 ) , 直线 ME 的方程为 y ? y2 ?
y2 ? y1 y ( x ? x1 ) ( x ? x2 ) ,令 y ? 0 ,得 x ? x2 ? 2 2 , x2 ? x1 y2 ? y1 2 x1 x2 ? 4( x1 ? x2 ) . x1 ? x2 ? 8

将 y1 ? k ( x1 ? 4), y2 ? k ( x2 ? 4) 代入整理,得 x ? 由得① x1 ? x2 ?



32k 2 64k 2 ? 4 代入②整理,得 x ? 1 , , x x ? 1 2 4k 2 ? 1 4k 2 ? 1

所以直线 ME 与 x 轴相交于定点 (1, 0) .
x x 3. 解 :( I ) f ( x) 的 定 义 域 为 R , f ?( x) ? a ln a ? 2x ? ln a ? 2x ? (a ?1)ln a. 令

h( x) ? f ?( x) ? 2x ? (a x ?1)ln a, h?( x) ? 2 ? a x ln 2 a, 当 a ? 0, a ? 1 时, h?( x ) ? 0 ,所以
h( x) 在 R 是增函数,又 h(0) ? f ?(0) ? 0 ,所以 f ?( x) ? 0 得解集为 (0, ??)
综上所述, f ( x) 的增区间为 (0, ??) ,减区间为 (??,0). ( II ) 因 为 存 在 x1 , x2 ?[?1,1] , 使 得 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? e ?1 成 立 , 而 当 x ?[? 1,1]时 ,

| f ( x1 )? f ( x | f (x ma ) x ? f (x ) , f ( x)max ? f ( x)min ? e ?1 ,由( I )可知 2 )? mi n所以只需要
f ( x) 在 [?1, 0] 为 减 函 数 , 在 [0,1] 为 增 函 数 , 所 以 f ( x)min ? f (0) ? 1 ; 又

1 1 f (1) ? f (?1) ? (a ? 1 ? ln a) ? ( ? 1 ? ln a) ? a ? ? 2 ln a a a





g (a) ? a ? g( ? a)

1 1 2 1 ? 2 ln a(a ? 0), g ?(a) ? 1 ? 2 ? ? (1 ? ) 2 ? 0 则 a a a a 1 ?a ?2 l在 a(0, n ?? ? a ) 为增函数且 ( 0 g (1) ) ? ,0 , a







所以当 a ? 1 时, g (a ) ? 0 ,由 f (1) ? f (0) ? e ? 1得, a ? ln a ? e ? e ,而 y ? a ? ln a 在

a ? (1, ??) 上是增函数,解得 a ? e ;
当 0 ? a ? 1 时,由 f (?1) ? f (0) ? e ? 1,即 函数,所以解得 0 ? a ?

1 1 ? ln a ? e ? 1,且 y ? ? ln a 在 (0,1) 为减 a a

1 。 e

综上所述, a ? (0, ] ? [e, ??) 。

1 e

训练材料(4)
?e x , x ? 0 , 1.已 知 函 数 f ( x) ? ? 则 “ 实 数 t ? ?2 ” 是 “ 关 于 x 的 方 程 ?lg(? x), x ? 0,
f 2 ( x) ? f ( x) ? t ? 0 有三个不同实数根”的(
A.充分不必要条件 C.充要条件 B.不要不充分条件 D.既不充分也不要条件 )

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 a ? b ? 0 ,双曲线 ? ? 1的两条渐近线为l1 , l2,(1) ? ? a 2 b2 a 2 b2 过椭圆C的右焦点F 作直线l,使l ? l1 , 又l与l2交于点P,设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为 2、如图,已知椭圆C的方程为 A, B. ?1? 若l1与l2的夹角为60?,且双曲线的焦距为4,求椭圆C的方程; ? 2? 求 FA AP 的最大值.

3.已知函数 f ( x) ?

ax ? 1 ( x ? 0, x ? 1). ln x

(I)当 a ? 1 时,求证:当 x ? 1 时, f ( x) ? 1 ; (II)已知函数 y ? f ( x ) 的增区间为 (0,1) 和 (1, ??) ,求实数 a 的取值范围.

答案:1、C 2 ?1? x ? y 2 ? 1; ?2?? l ? l1 , 直线l的方程为:y ? a ?x ? c1 ?, 其中c1 ? a 2 ? b 2 2、解: 3 b 2 ? a ab ? b ? l 2的方程为:y ? x, 联立l和l 2的方程解得:P? ?c ,c ? ? a ? 1 1?



FA AP

? ? ? FA ? ? AP,? F ?c1 ,0?设点A? x0 , y 0 ?

2 ? a2 ? c1 ? ?a 2 ab ?ab 则有?x0 ? c1 , y 0 ? ? ? ? ? c ? x0 , c ? y 0 ? ? ? x0 ? c ?1 ? ? ? , y 0 ? c ?1 ? ? ? 1 1 1 ? 1 ?

c1 ? ?a 2 ? x2 y2 ?ab?2 点A?x0 , y 0 ?在椭圆 2 ? 2 ? 1上 ? 2 2 ? 2 2 ?1 2 2 a b a c1 ?1 ? ? ? b c1 ?1 ? ? ?
2

?

?

即: c1 ? ?a 2
2

等式两边同除以 a 4 得 : ?e 2 ? ? ? ? ?2 ? e 2 ?1 ? ? ? , e ? ?0,1?
2 2 2

?

?

2

? ?2 a 4 ? ?1 ? ? ? a 2 c1
2

2

e2 ? e4 2 ? 2 ? ?? ? ? ? ??2 ? e 2 ? ? ? 3 ? ?2 ?2 ? e 2 ? ? ?3 2 2 ? 2?e 2?e ? 2 ? e2 ? ? 3?2 2 ? 当2 ? e 2 ?

?

2 ?1

?

2

2 时, 即e ? 2 ? 2 ,? max ? 2 ? 1 2 ? e2
1 1? x ?1 ? ,令 g ?( x ) ? 0 解得 x x

证明: (I)当 a ? 1 时,令 g ( x) ? ln x ? x ? 1 ,则 g ?( x ) ?

0 ? x ? 1 ,所以 g ( x) 得增区间为 (0,1) 减区间为 (1, ??) ,
所以 g ( x) ? g (1) ? 0 ,即 ln x ? x ? 1 ? 0 , 所以当 x ? 1 时, 0 ? ln x ? x ? 1,

x ?1 ? 1 ,即 f ( x) ? 1 成立。 ln x

3.解: (II) 已知函数 f ( x) ?

ax ? 1 ( x ? 0, x ? 1). 故 f ?( x) ? ln x

a ln x ?

1 1 1 ? a ?a (ln ? 1) ? x x x ? 2 2 (ln x) (ln x)

由(I)知当 x ? 0 且 x ? 1 时,

1 1 1 1 1 ? 0 ,故 ln ? ? 1 ,即 ln ? 1 ? 。 x x x x x

1 1 1 ?a ? (1 ? a ) x x ? x ? 0, 当 0 ? a ? 1 时, f ?( x) ? (ln x ) 2 (ln x ) 2
所以当 0 ? a ? 1 时, f ( x) 的增区间为 (0,1), (1, ??).

1 1 ax ? 1 ? a, 则 h?( x) ? 2 ,令 h?( x) ? 0 解得 x ? a x x 1 1 所以 h( x) 得增区间为 ( , ??) ,减区间为 (0, ) a a 1 所以 h( x) min ? h( ) ? ?a ln a ? 0 a 1 1 又 h(e) ? a ln e ? ? a ? ? 0 e e 1 所以存在 x0 ? ( , e) ,使得 h( x0 ) ? 0 ,若 x0 ? 1 ,则由 h(1) ? 0 得 a ? 1 ,这与 a ? 1 矛盾。 a 1 所以 ? x0 ? 1 或 1 ? x0 ? e a 1 1 1 当 ? x0 ? 1 时,对 ?x ? ( , x0 ) ,由 h( x) 在 [ , ??) 上为增函数,得 h( x) ? h( x0 ) ? 0, a a a
当 a ? 1 时,令 h( x) ? a ln x ? 从而 f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 (1, x0 ) 为减函数,即 a ? 1 不符合题意。 当 a ? 0 且 x ? 0 时,令 h( x ) ? a ln x ? 所以函数 h( x) 在 (0, ??) 上为减函数 当x?e
a ?1 a

1 ax ? 1 ? a ,则 h?( x) ? 2 ? 0, x x

? e ? 1时,

1 a ?1 ? 1, ln x ? , x a

所以 h( x) ? a ln x ? 所以函数 f ( x) 在 (e 综上所述当 f ( x) ?

1 ? a ? a ln x ? a ? 1 ? 0,? f ?( x) ? 0 , x
a ?1 a

, ??) 为减函数,故 a ? 0 不符合题意。

ax ? 1 的减区间为 (0,1), (1, ??) 时,实数 a ? [0,1]. ln x

训练材料(5)
?4 x ? 4, x ? 1, 1、已知函数 f ( x) ? ? 2 g ( x) ? log 2 x, 则 y ? f ( x) ? g ( x) 的零点个数 ? x ? 4 x ? 3, x ? 1
为( A.1 ) B.2 C.3 D.4

x2 y2 2、已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 的短轴长等于焦距,椭圆 C 上的点到右焦点 F 的最短 a b

距离为 2 ? 1 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过点 E (2 , 0) 且斜率为 k (k ? 0) 的直 线 l 与 C 交于 M 、 N 两点, P 是点 M 关于 x 轴的对称点,证明: N、F、P 三点 共线.

3、已知f ( x) ? px ?

p p e 2 ? 2e ? ln x,g ( x) ? ln x ? (1 ? ). x x p2

(1)若f ( x)在(0, ? ?)上单调,求p的范围; (2)当p ? 1时,是否存在x 0 ? 0,使f ( x 0 ) ? g ( x 0 )成立?

答案:1、C
? ? 2b ? 2 c 2、解: (I)由题可知: ? 解得 a ? 2, c ? 1 ,? b ? 1 ? ?a ? c ? 2 ? 1

?椭圆 C 的方程为 C :

x2 ? y2 ? 1 2

(II)设直线 l : y ? k ( x ? 2) ,M ( x1, 0) , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,P( x1, ? y1 ) ,F (1,

? y ? k ( x ? 2), ? 由 ? x2 得 (2k 2 ? 1) x2 ? 8k 2 x ? 8k 2 ? 2 ? 0 2 ? ? y ? 1, ?2
所以 x1 ? x2 ?
8k 2 8k 2 ? 2 x x ? , . 1 2 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

FN ? ( x2 ? 1 ,y2 ) ? ( x2 ? 1 ,kx2 ? 2k ), FP ? ( x1 ? 1 ,y1 ) ? ( x1 ? 1 , ? kx1 ? 2k ),
Q ( x1 ? 1)(kx2 ? 2k ) ? ( x2 ? 1)(?kx1 ? 2k ) ? k[2 x1x2 ? 3( x1 ? x2 ) ? 4]

? 16k 2 ? 4 24k 2 ? ? k? ? 2 ? 4 ? ? 0 ∴ FN // FP ∴ N、F、P 三点共线 2 ? 2k ? 1 2k ? 1 ?

3、解: (1) p ? 0; e 2 ? 2e e 2 ? 2e 2lnx (2)由题意即px ? ? 2 ln x在(0, ? ?)上可成立,即p ? ? 在(0, ? ?)上可成立, px x px2 e 2 ? 2e 2lnx 2 ? p ? 1, 2 ? 0, ? ? 1, ? 这样的p不存在. x e px PS:e 2 ? 2e可以换成任意一个正数 .

训练材料(6)
1、对于函数f ( x),若对任意实数a、b、c,f (a )、f (b)、f (c)为某一三角形的三边长,则称f ( x) 为“可构造三角形函数”,已知函数f ( x) ? 1 A、 [ , 2] 2 B、, [0 1] C、, [1 2] ex ? t 是“可构造三角形函数”,则t的范围是 ex ? 1

D、 (0, ? ?)

2、已知椭圆的中心在坐标原点 O,焦点在 x 轴上,椭圆的短轴端点和焦点所组 成的四边形为正方形,两准线间的距离为 4.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)直线 l 过点 P(0,2)且与椭圆相交于 A、B 两点,当Δ AOB 面积取得最大值时,求直线 l 的方 程.

3.已知函数 f ( x) ? ln x ?

a?2 ,其中 a ? R . x ?1

(I)当 a ? 4 时,求 f ( x) 的极值点; (II)讨论并求出 f ( x) 在其定义域内的单调区间.

答案:1、A
?b ? c ?a 2 ? 2 ? 2 2 2 ? x y ? 2a ?4 ? ?b2 ? 1 2、解:设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? c)(Ⅰ)由已知得 ? a b ? c ?c 2 ? 1 2 2 2 ? ? a ? b ? c ?

∴所求椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1. 2

(Ⅱ) : 由题意知直线 l 的斜率存在, 设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2, A( x1, y1 ), B( x2 , y2 )
? y ? kx ? 2 ? 由 ? x2 ,消去 y 得关于 x 的方程: (1 ? 2k 2 ) x2 ? 8kx ? 6 ? 0 2 ? ? y ?1 ?2

由直线 l 与椭圆相交于 A、B 两点,?? ? 0 ? 64k 2 ? 24(1 ? 2k 2 ) ? 0 解得 k 2 ?
8k ? x ? x ? ? 1 2 ? ? 1 ? 2k 2 又由韦达定理得 ? ?x ? x ? 6 1 2 ? 1 ? 2k 2 ?

3 2

?| AB |? 1 ? k 2 | x1 ? x2 |? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ?

1? k 2 16k 2 ? 24 2 1 ? 2k
l


d? 2


1? k 2

O





线







? S?AOB

1 16k 2 ? 24 2 2 2k 2 ? 3 . ? | AB | ?d ? ? 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
则 2k 2 ? m 2 ? 3 ? S ?
2 2m 2 2 2 ? ? 2 m ?4 m? 4 2 m

令 m ? 2k 2 ? 3(m ? 0) ,

当且仅当 m ?

4 2 14 即 m ? 2 时, S max ? 此时 k ? ? .为 ? 14 ? 2 y ? 4 ? 0 m 2 2

3.解: (I) f ( x) 的定义域为 (0, ??) 当 a ? 4 时, f ( x ) ? ln x ?

6 x2 ? 4 x ? 1 , f ?( x) ? x ?1 x( x ? 1)2

由 f ?( x) ? 0 得 0 ? x ? 2 ? 3, x ? 2 ? 3

所以 f ( x) 得增区间为 (0, 2 ? 3),(2 ? 3, ??) ,减区间为 (2 ? 3, 2 ? 3) , 所以 f ( x) 的极大值点为 x ? 2 ? 3 ,极小值点为 x ? 2 ? 3 。 (II) f ?( x) ?

x 2 ? ax ? 1 ,令 g ( x) ? x2 ? ax ? 1 2 x( x ? 1)

因为 x ? 0 ,所以当 a ? 0 时, g ( x) ? 0, f ?( x) ? 0 在 x ? (0, ??) 上恒成立,

a 2 a2 a ? 0 . 当 时, g ( x) ? ( x ? ) ? 1 ? 2 4
若1 ?

a2 ? 0, 即 0 ? a ? 2 时, g ( x) ? 0, f ?( x) ? 0 在 x ? (0, ??) 恒成立, 4

若 a ? 2 时,方程 g ( x) ? 0 解得 x1 ?

a ? a2 ? 4 a ? a2 ? 4 ,且 0 ? x1 ? x2 , , x2 ? 2 2

所以由 g ( x) ? 0, f ?( x) ? 0 得 0 ? x ? x1 , x ? x2 综上所述,当 a ? 2 时, f ( x) 的增区间为 (0, ??) ,无减区间;当 a ? 2 时, f ( x) 的增区间 为 (0, x1 ),( x2 , ??) ,减区间为 ( x1 , x2 ) 。

训练材料(7)
1、知[ x)表示大于x的最小整数,下列说法正确的是 (1)函数f ( x) ? [ x) ? x的值域是(0,; 1] (2)若{an }是等差数列, {[an )}是等差数列; (3)若{an }是等比数列, {[an )}是等比数列; (4)若x ? (0, 2015),则方程[ x) ? x ? 2015个根。
x y 2、设椭圆 C : 2 + 2 = 1 (a > b > 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,上顶点为 A , a b
2 2

1 ? 0有 2

uuuu r uuu r 过点 A 与 AF2 垂直的直线交 x 轴负半轴于点 Q ,且 2FF = 0 ,若过 A ,Q , 1 2 + FQ 2
F2 三点的圆恰好与直线 l : x ? 3 y ? 3 ? 0 相切. 过定点 M (0, 2) 的直线 l1 与椭圆
C 交于 G , H 两点(点 G 在点 M , H 之间).

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 设直线 l1 的斜率 k > 0 , 在 x 轴上是否存在点 P(m, 0) , 使得以 PG ,PH 为邻边的平行四边形是菱形. 如果存在,求出 m 的取值范围,如果不存在,请说 明理由;
y A

???? ? ???? ? (Ⅲ)若实数 λ 满足 MG ? ? MH ,求 ? 的取值范围.

Q

· F1 O

· F2

3、a ? 0,f ( x) ? ln x ? ax,g ( x) ? ln x ?

2( x ? 1) .(1)证明x ? 1时,g ( x) ? 0恒成立; x ?1 (2)若y ? f ( x)无零点,求a的范围; (3)若f ( x)有两个不同的零点x1、x2 ( x1 ? x2 ),求证x1 x2 ? e 2 .

答案:1、(1)(4)

uuuu r uuu r 2、解: (Ⅰ)因为 2F1F2 + F2Q = 0 ,所以 F1 为 F2Q 中点.

设 Q 的坐标为 (?3c, 0) ,因为 AQ ? AF2 , 所以 b2 ? 3c ? c ? 3c 2 , a2 ? 4c ? c ? 4c2 ,且过 A, Q , F 2 三点的圆的圆心为

F1 (?c , 0),半径为 2c .

因为该圆与直线 l 相切,所以

| ?c ? 3 | ? 2c . 2

解得 c = 1 ,所以 a ? 2 , b = 故所求椭圆方程为

3.

x2 y2 ? ? 1. 4 3

ì y = kx + 2, ? ? ? ( Ⅱ ) 设 l1 的 方 程 为 y ? k ?x2 ( k ? 0 ), 由 í x 2 y 2 ? + =1 ? ? 3 ? ? 4



(3 ? 4k 2 ) x2 ?16kx ? 4 ? 0 .
设 G( x1 , y1 ) , H ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ?
16k . 2 3 ? 4k

uuu r uuu r 所以 PG + PH = ( x1 - m, y1 ) + ( x2 - m, y2 ) = ( x1 + x2 - 2m, y1 + y2 ) .
= ( x1 + x2 - 2m, k ( x1 + x2 ) + 4 )

???? GH ? ( x2 ? x1, y2 ? y1 ) ? ( x2 ? x1, k ( x2 ? x1 )) .
??? ? ???? ???? 由于菱形对角线互相垂直,则 ( PG ? PH ) ? GH ? 0 .
所以 ( x2 - x1 )[( x1 + x2 ) - 2m] + k ( x2 - x1 )[k ( x1 + x2 ) + 4] = 0 . 故 ( x2 - x1 )[( x1 + x2 ) - 2m + k 2 ( x1 + x2 ) + 4k ] = 0 . 因为 k ? 0 ,所以 x2 - x1 ? 0 . 所以 ( x1 + x2 ) - 2m + k 2 ( x1 + x2 ) + 4k = 0 即 (1+ k 2 )( x1 + x2 ) + 4k - 2m = 0 .
2 所以 (1 + k )(-

16k ) + 4k - 2m = 0 3 + 4k 2

解得 m ? ?

2k 3 2 ≤ m ? 0. . 即m ? ? .因为 k ? 0 ,所以 ? 2 3 6 3 ? 4k ? 4k k

故存在满足题意的点 P 且 m 的取值范围是 [? (Ⅲ)①当直线 l1 斜率存在时, 设直线 l1 方程为 y ? kx ? 2 ,代入椭圆方程

3 , 0) . 6

x2 y2 ? ?1 4 3
1 . 4

得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 16kx ? 4 ? 0 .由 ? ? 0 ,得 k 2 ? 设 G( x1 , y1 ) , H ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ?

16k 4 , x1 x2 ? . 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2

???? ? ???? ? 又 MG ? ? MH ,所以 ( x1 , y1 - 2) = λ( x2 , y2 - 2) . 所以 x1 = λx2 .
2 所以 x1 + x2 = (1 + λ) x2 , x1 x2 = λx2 .

所以 (

?16k 2 4 x1 + x2 2 xx ( ) 2 2 ) = x2 = 1 2 . 所以 3 ? 4k 2 ? 3 ? 4k . 1+ λ λ 2 (1 ? ? ) ?

64 ? 整理得 3 ? 4 k2

( ?1 ?

2

?

) .

因 为 k2 ?

1 64 , 所 以 4? ? 16 . 即 3 4 ? 4 k2

4?

(1 ? ? )2

?

? 16 . 所以 4 ? ? ?

1

?

? 2 ? 16 .解得 7 ? 4 3 ? ? ? 7 ? 4 3 . 又 0 ? ? ? 1 ,

所以 7 ? 4 3 ? ? ? 1. ②又当直线 l1 斜率不存在时,直线 l1 的方程为 x ? 0 , 此时 G(0,

???? ? 3) , H (0, ? 3) , MG ? (0,

???? ? 3 ? 2) , MH ? (0, ? 3 ? 2) ,

???? ? 2 ? 3 ???? ? MG ? MH ,所以 ? ? 7 ? 4 3 .所以 7 ? 4 3 ≤ ? ? 1,即所求 ? 的取值范围 2? 3
是 [7 ? 4 3, 1) .

1 3、解: (1)略; (2)a ? ; (3)即证 ln x1 ? ln x2 ? 2, ? ln x1 ? ax1, ln x2 ? ax2即证a( x1 ? x2 ) ? 2, e x2 ?1 ln x2 ? ln x1 ln x2 ? ln x1 x2 x1 x 且a ? ?即证( x2 ? x1 ) ? 2.设t ? ? 1,即证 ln 2 ? 2 x2 x2 ? x1 x2 ? x1 x1 ? 1 x1 x1 即 ln t ? 2(t ? 1) (t ? 1),由(1)可知已经成立. t ?1
1

PS:提问:求证x1 ? x2 ? 2e;f ( x) ? ax ? ln x的两个相异零点为x1、x2,求证:x1 x2 ? e 2 .

训练材料(8)
2 1、数列{an }满足an ?1 ? pan ? q,下列说法正确的是

(1)若a2 ? q,则a1 ? 0; (2)存在p,是的对于任意q ? R,数列既是等差数列又是等比数列; 1 3 (3)当p ? 1,q ? 0且a1 ? 10时, lg an ? 2n ?1; (4)若p ? ,q ? 且an ?1 ? an,a1 ? 0,则0 ? a1 ? 1, 4 4 或则a1 ? 3。
x2 a2 y2 b2

2 、椭圆

?

? 1( a ? b ? 0) 焦点分别为 F1 (?1, 0), F2 (1, 0) ,点 P 在椭圆上,满足

2 2 ? PF ? 2 PF , ? PF F ? 30 ,直线 y ? kx ? m 与圆 x ? y ? 1 2 1 2

6 5

相切,与椭圆相

交于 A, B 两点. (I)求椭圆方程; (II)证明 ?AOB 为定值( O 为原点) .

3.设函数 f ( x) ?

1? a 2 x ? ax ? ln x(a ? R). 2

(I)当 a ? 1 时,求 f ( x) 的极值; (II)当 a ? 1 时,讨论函数 f ( x) 的单调性.

答案:1、(3)(4)
? 2、解: (I)由题意, PF 1 ? 2 PF 2 , ?PF 1F 2 ? 30 , F 1F 2 ? 2,

解三角形得 PF1 ? 2 PF2 ?

4 3 ,由椭圆定义得 2a ? PF1 ? PF2 ? 2 3 , 3
x2 y 2 ? ?1 3 2

从而 a ? 3, 又 c ? 1 ,则 b ? 2 ,所以椭圆的方程为 (II)设交点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,

? y ? kx ? m ? 联立 ? x 2 y 2 消去 y 得 (2 ? 3k 2 ) x2 ? 6kmx ? 3m2 ? 6 ? 0 ? ?1 ? ?3 2
由韦达定理得 x1 ? x2 ?
?6km 3m2 ? 6 , x ? x ? 1 2 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2
6 5

又直线 y ? kx ? m 与圆 x 2 ? y 2 ? 相切, 则有
m 1? k
2

?

6 5

? 5m2 ? 6 ? 6k 2

从而 x1x2 ? y1 y2 ? x1x2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? (k 2 ?1) x1x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2
? (k 2 ? 1) 3m2 ? 6 ?6km m2 (5m2 ? 6k 2 ? 6) 2 ? km ? m ? ?0 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2

??? ? ??? ? OB ? 0 ,即 ?AOB ? 90? 为定值. 所以 OA?
3.解: (I)函数的定义域为 (0, ??) 。 当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? ln x, f ?( x) ? 1 ?

1 x ?1 ? , x x

由 f ?( x) ? 0 解得 x ? 1 ,所以 f ( x) 的增区间为 (1, ??) ,减区间为 (0,1) ,

? f ( x)极小值 =f (1) ? 1 ,无极大值。
1 (1 ? a) x 2 ? ax ? 1 (II) f ?( x) ? (1 ? a) x ? a ? ? ? x x


(1 ? a)( x ?

1 )( x ? 1) a ?1 x

1 (1 ? x) 2 ? 1, 即a =2时 , f ?( x) ? ? ? 0 恒成立, a ?1 x

1 1 ? 1, 即a ? 2时 ,由 f ?( x) ? 0 解得 ? x ?1, a ?1 a ?1 1 1 ? 1, 即1<a ? 2时 , f ?( x) ? 0 解得 1 ? x ? 当 , a ?1 a ?1
当 综上所述,当 a ? 2 时 f ( x) 的减区间为 (0, ??) ;当 a ? 2 时 f ( x) 的增区间为 ( 减 区 间 为 (0,

1 ,1) , a ?1

1 1 ) ,减区间为 ), (1, ??) ; 当 1 ? a ? 2 时 f ( x) 的 增 区 间 为 (1, a ?1 a ?1

(0,1), (

1 , ??) 。 a ?1

训练材料(9)
1、已知函数f ( x) ? 2?a ? a sin x(a ? 0),下列说法正确的是 ax ?1 2x x ? (1)若0 ? a ? 1,则?x1,x2 ? R,都有f ( 2 1 2 2 ) ? f (1); (2)若a ? 1,则?x1,x2 ? (0, ), x1 ? x2 2

1 则f ( x1 ) ? x1 ? f ( x2 ) ? x2 ? 1; (3)若1 ? a ? 2,则?x ? 0,都有f ( x ? ) ? f (?2); (4)若a ? 2, x 3? 则有f (5) ? f ( )。 2
1 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,以原点为圆心,椭圆的短半 2 2 a b

2、已知椭圆 C :

轴为半径的圆与直线 x ? y ? 6 ? 0 相切,过点 P(4,0)且不垂直于 x 轴直 线 l 与椭圆 C 相交于 A、B 两点。 (1)求椭圆 C 的方程; (2)求 OA ? OB 的取值范围; (3)若 B 点在于 x 轴的 对称点是 E,证明:直线 AE 与 x 轴相交于定点。

3、已知函数 f ( x) ? 2 ln x ? x 2 ? ax.
1 ? ?)上的单调性 ; (1)当 a ? 3 时,讨论函数 f ( x)在[ , 2

(2) 如果 x1,x2是函数f ( x)的两个零点,且 x1 ? x2 ? 4x1,f ?( x)是函数f ( x)的导数, 证明: f ?(
2 x1 ? x 2 ) ?0. 3

答案:1、(1)(2) 2、解(1):由题意知 e ? 又b ?
6 1?1

c 1 4 c 2 a 2 ? b2 1 ? ,∴ e2 ? 2 ? ? ,即 a 2 ? b2 2 a 2 3 4 a a
y2 x2 ? ?1 4 3

? 3 ,∴ a 2 ? 4, b2 ? 3 故椭圆的方程为

(2:由题意知直线 AB 的斜率存在,设直线 PB 的方程为 y ? k ( x ? 4) 由? ? x2
? y ? k ( x ? 4) 得: (4k 2 ? 3) x2 ? 32k 2 x ? 64k 2 ? 12 ? 0 y2 ? ? 1 ? 3 ? 4

由 ? ? (?32k 2 )2 ? 4(4k 2 ? 3)(64k 2 ? 12) ? 0 得: k 2 ?

1 4

设 A(x1 , y1) , B (x2 , y2) , 则 x1 ? x2 ?

32k 2 64k 2 ? 12 , x1 x2 ? 2 4k ? 3 4k 2 ? 3



∴ y1 y2 ? k ( x1 ? 4)k ( x2 ? 4) ? k 2 x1 x2 ? 4k 2 ( x1 ? x2 ) ? 16k 2 ∴
??? ? ???? 64 k 2 ? 12 32k 2 87 2 OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? (1 ? k 2 ) ? ? 4 k ? ? 16k 2 ? 25 ? 2 2 2 4k ? 3 4k ? 3 4k ? 3

∵ 0≤ k2 ?
??? ? ????

??? ? ???? 1 87 87 87 13 ,∴ ? ≤ ? 2 ,∴ OA ? OB ?[?4, ) ?? 4 3 4 4 4k ? 3
13 4

∴ OA ? OB 的取值范围是 [?4, ) . (3)证:∵B、E 两点关于 x 轴对称,∴E(x2,-y2) 直线 AE 的方程为 y ? y1 ?
y1 ? y2 y ( x ? x2 ) ( x ? x1 ) ,令 y = 0 得: x ? x1 ? 1 1 x1 ? x2 y1 ? y2 2 x1 x2 ? 4( x1 ? x2 ) x1 ? x2 ? 8



y1 ? k ( x1 ? 4),y2 ? k ( x2 ? 4) ,∴ x ?

由将①代入得:x = 1,∴直线 AE 与 x 轴交于定点(1,0). 3、解: (Ⅰ)
f ?( x) ?

1 1 2 1 ? ?)时, f ?( x) ? f ?( ) ? 3 ? a ? 2 x ? a在[ , ? ?)上单减, ? x ? [ , 2 2 x 2 1 1 ? a ? 3时, f ?( x) ? 0在[ , ? ?)上恒成立, ? f ( x)在[ , ? ?)上单减 . 2 2

(Ⅱ)∵ x1,x2是函数f ( x)的两个零点,
2 f ( x1 ) ? 2 ln x1 ? x12 ? ax1 ? 0 f ( x2 ) ? 2 ln x2 ? x2 ? ax2 ? 0

x2 x x1 2 ? 2 ln 2 ? ( x2 ? x12 ) ? a( x2 ? x1 ) ? 0 ? a ? ? ( x2 ? x1 ) x1 x2 ? x1 2 ln
? f ?( x) ? 2 ln 2 x ? x2 2 6 2 ? 2 x ? a, ? f ?( 1 )? ? (2 x1 ? x 2 ) ? a x 3 2 x1 ? x 2 3

x2 x1 6 2 ?? ? ( x 2 ? x1 ) ? ? (2 x1 ? x 2 ) x 2 ? x1 2 x1 ? x 2 3 x2 x1 6 1 ?? ? ? ( x1 ? x 2 ) x 2 ? x1 2 x1 ? x 2 3 2 ln

x2 x 3 2 ?3 x1 x x 1 6 2 ? ( x1 ? x2 ) ? 0,令Z ? ? ? ,则Z ? ? [ln 2 ? 1 ] x2 3 x2 ? x1 2 x1 ? x2 x2 ? x1 x1 2? x1 2 ln

令t ?

x2 3t ? 3 1 9 t 2 ? 5t ? 4 (t ? 1)(t ? 4) ? (1, 4),? (t ) ? ln t ? ,? ' (t ) ? ? ? ? ?0 x1 t?2 t (t ? 2) 2 t (t ? 2) 2 t (t ? 2) 2
2 1 ? 0 ? Z ? 0且 ( x1 ? x 2 ) ? 0 x 2 ? x1 3

且 ? ? (t )在(1,4)上单减, ? ? (t ) ? ? (1) ? 0且 ? ? f ?( 2 x1 ? x 2 )?0 3

训练材料(10)
1、函数u ( x) ? a ln x ? b,v( x) ? ln(ax ? b)的定义域分A、B,下列说法正确的是 (1)当a ? 0时,函数u ( x) ? v( x)在A ? B内是增函数; (2)当b ? 0时,存在实数a使得 u ( x)、v( x)为同一函数; (3)当A ? B ? (0, ? ?)时,b ? 0; (4)存在唯一实数对(a,b) 使得u ( x) ? v( x)对任意x ? 0恒成立。

2、已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率为

3 ,且经过点 M ? 4,1? , 2

直线 l : y ? x ? m 交椭圆于不同的两点 A,B.(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)求 m 的取值范围; (Ⅲ)若直线 l 不过点 M,试问 kMA ? kMB 是否为定值?并说明理 由。

3.已知函数 f ( x) ? 2ln x ? x ? ax(a ? R).
2

(I)当 a ? 2 时,求 f ( x) 的图像在 x ? 1 处的切线方程; (II)若函数 g ( x) ? f ( x) ? ax ? m 在 [ , e ] 上有两个零点,求实数 m 的取值范围.

1 e

答案:1、(1)(2)(3)(4)
c 3 b 1 2、解: (Ⅰ)? ? ,? ? , a 2 a 2

依题意设椭圆方程为:
x2 y 2 ? ? 1. 20 5

x2 y 2 ? ? 1, 把点 ? 4,1? 代入,得 b2 ? 5 ? 椭圆方程为 4b2 b2

(Ⅱ)把 y ? x ? m 代入椭圆方程得: 5x 2 ? 8mx ? 4m2 ? 20 ? 0 , 由△ ? 0, 可得 ?5 ? m ? 5. (Ⅲ)设 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,A,B 与 M 不重合,
x1 ? x2 ? ? 8m 4m2 ? 20 , x1 x2 ? 5 5

? kMA ? kMB ? ?

y1 ? 1 y2 ? 1 ? y1 ? 1? ? ? x2 ? 4? ? ? y2 ? 1? ? ? x1 ? 4 ? ? ? x1 ? 4 x2 ? 4 ? x1 ? 4? ? ? x2 ? 4?

? x1 ? m ?1? ? ? x2 ? 4? ? ? x2 ? m ?1? ? ? x1 ? 4? ? 2x1x2 ? ? m ? 5?? x1 ? x2 ? ? 8 ? m ?1? ? 0 , ? x1 ? 4? ? ? x2 ? 4? ? x1 ? 4? ? ? x2 ? 4?
2 ? 2x ? 2 , x

kMA ? kMB 为定值 0.
2 3.解: (I)当 a ? 2 时, f ( x) ? 2 ln x ? x ? 2 x. f ?( x) ?

切点坐标为 (1,1) ,切线斜率 k ? f ?(1) ? 2 , 所以切线方程为 y ? 1 ? 2( x ? 1)即2 x ? y ? 1 ? 0. (II) g ( x) ? 2 ln x ? x ? m, g ?( x) ?
2

2 ?2( x ? 1)( x ? 1) ? 2x ? , x x

1 ? x ? [ , e],? g ?( x) ? 0 时得 x ? 1 , e 1 1 由 g ?( x) ? 0 解得 ? x ? 1 ,所以 g ( x) 的增区间为 ( ,1) ,减区间为 (1, e) , e e 1 1 ? g ( x)极大值 ? g (1) ? m ?1,又 g ( ) ? m ? 2 ? 2 , g (e) ? m ? 2 ? e2 , e e 1 1 g (e) ? g ( ) ? 4 ? e 2 ? 2 ? 0 ,故 g ( x)min ? g (e) 。 e e

? g (1) ? m ? 1 ? 0 1 ? ? g ( x) 在 [ , e ] 上有两个零点的充要条件是 ? 1 , 1 e g( ) ? m ? 2 ? 2 ? 0 ? e ? e
解得 1 ? m ? 2 ?

1 e2
1 ]. e2

? 实数 m 的取值范围是 (1, 2 ?

训练材料(11)
??? ? ???? 1、已知?ABC (| AB |?| AC |)的面积是3 3, AB ? AC ? 6,BC ? 13,M 是BC的中点, ???? ? ??? ? 过M 作MH ? AB于H,则MH ? BC ? 27 27 27 27 A、 B、 C、 D、 8 16 8 16 3 2、已知,椭圆 C 过点 A (1, ) ,两个焦点为(-1,0) , (1,0) 。 2

(1)求椭圆 C 的方程; (2)E、F 是椭圆 C 上的两个动点,如 果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相 反数,证明直线 EF 的斜率为定值, 并求出这个定值。

3、已知函数
(I)若函数 f(x)的图象在 x=0 处的切线方程为 y=2x+b,求 a,b 的值; (II)若函数 f(x)在 R 上是增函数,求实数 a 的取值范围; ( III ) 如 果 函 数 恰好有两个不同的极值点 证明:

答案:1、A 2、 解: (Ⅰ) 由题意, c=1,可设椭圆方程为 (舍去) 所以椭圆方程为
x2 y 2 ? ? 1。 4 3
1 9 3 ? 2 ? 1, 解得 b2 ? 3 ,b 2 ? ? 2 4 1? b 4b

3 x2 y 2 ? 1得 (Ⅱ)设直线 AE 方程为: y ? k ( x ? 1) ? ,代入 ? 2 4 3

3 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 4k (3 ? 2k ) x ? 4( ? k ) 2 ? 12 ? 0 2 3 设 E (x E , y E ) , F (x F , y F ) ,因为点 A(1, ) 在椭圆上,所以 2 3 4( ? k )2 ? 12 3 yE ? kxE ? ? k xF ? 2 2 2 3 ? 4k

又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反数,在上式中以—K 代 K,可得

3 4( ? k )2 ? 12 xF ? 2 3 ? 4k 2
所以直线 EF 的斜率 K EF ?

yE ? ?kxE ?

3 ?k 2

yF ? yE ?k ( xF ? xE ) ? 2k 1 ? ? xF ? xE xF ? xE 2
1 。 2

即直线 EF 的斜率为定值,其值为

3、解: (I)∵ f ?( x) ? e x ? x ? a ,∴ f ?(0) ? 1 ? a .
于是由题知 1-a=2,解得 a=-1.∴ f ( x) ? e x ? ∴ f (0) ? 1 ,于是 1=2× 0+b,解得 b=1. (II)由题意 f ?( x) ? 0 即 e x ? x ? a ? 0 恒成立, ∴ a ? e x ? x 恒成立. 设 h( x) ? e x ? x ,则 h?( x) ? e x ? 1 . x
h?( x)

1 2 x ? x. 2

(-∞,0) 减函数

0 0 极小值

(0,+∞) + 增函数

h(x)

∴ h(x)min=h(0)=1,∴ a<1.

1 1 (III)由已知 g ( x) ? e x ? x2 ? ax ? ax2 ? x2 ? e x ? ax2 ? ax , 2 2
∴ g?( x) ? e x ? 2ax ? a . ∵ x1,x2 是函数 g(x)的两个不同极值点(不妨设 x1<x2) ,

∴ a>0(若 a≤0 时, g ?( x) ? 0 ,即 g(x)是 R 上的增函数,与已知矛盾) ,且 g ? ( x1 ) ? 0 ,
g ? ( x2 ) ? 0 .

∴ e x1 ? 2ax1 ? a ? 0 , e x2 ? 2ax2 ? a ? 0 . 两式相减得: 2a ?
e x1 ? e x2 x ?x ,于是要证明 1 2 ? ln 2a ,即证明 e x1 ? x2 2
x1 ? x 2 2
x1 ? x2 2

?

e x1 ? e x2 , x1 ? x2

两边同除以 e x2 ,即证 e 即证(x1-x2) e 立.
t 2

?

e x1 ? x2 ? 1 ,即证(x1-x2) e x1 ? x2

x1 ? x2 2

> e x1 ? x2 ? 1 ,
t

x1 ? x2 2

- e x1 ? x2 ? 1 >0,令 x1-x2=t,t<0.即证不等式 te 2 ? et ? 1 ? 0 当 t<0 时恒成
t t

设 φ(t ) ? te ? e ? 1 ,∴ ? ?(t ) ? e 2 ? t ? e 2 ?
t

1 t t t ? e ? ( ? 1)e 2 ? et ? ?e 2 [e 2 ? ( ? 1)] . 2 2 2

t

t

t

t

∵ 由(II)知 e 2 ?

t t ? 1 ,即 e 2 ? ( ? 1) ? 0 ,∴ ? (t)<0,∴ ? (t)在 t<0 时是减函数. 2 2

t

∴ ? (t)在 t=0 处取得极小值 ? (0)=0.∴ ? (t)>0,得证∴

x1 ? x2 ? ln 2a 2

训练材料(12)
1、对于函数f ( x),若在定义域内存在实数x,满足f (? x) ? ? f ( x),称f ( x)为局部奇函数, 若f ( x) ? 4 x ? m ? 2x ?1 ? m2 ? 3为局部奇函数,则m的范围是 A、 [1 ? 3, 1 ? 3] B、 [1 ? 3, 2 2] C、 [1 ? 3, 2 2] D、 [1 ? 3, ? ?)

x2 y2 x y 6 2、 已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 和直线 L: ? =1, 椭圆的离心率 e ? , a b 3 a b

坐标原点到直线 L 的距离为

3 。 (1)求椭圆的方程; (2)已知定点 E (?1,0) , 2

若直线 y ? kx ? 2 (k ? 0) 与椭圆 C 相交于 M、N 两点,试判断是否存在 k 值,使 以 MN 为直径的圆过定点 E?若存在求出这个 k 值,若不存在说明理由。 (3)

?ABC 的三个顶点都在椭圆上,设三条边的中点分别为 M , N , P .设 ?ABC 的三条
边所在直线的斜率分别为 k1 , k2 , k3 ,且 ki ? 0, i ? 1, 2,3 。若直线 OM , ON , OP 的斜 率之和为 0,求证:

1 1 1 ? ? 为定值. k1 k2 k3

3.已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? 2(a ? R) 在 x ? (I)求 a 的值;

1 时取得极值. 2

(II)若 F ( x) ? ? x ? 3x ? 2 ? f ( x)(? ? 0) 有唯一零点,求 ? 的值.
2

答案:1、C 2、解: (1)直线 L:bx ? ay ? ab ? 0 ,由题意,得: e ?

c 6 ab 3 ? , ? , a 3 2 a2 ? b2
2

x 又有: a 2 ? b 2 ? c 2 ,解得: a ? 3, b ? 1,? 椭圆的方程为: ? y2 ? 1。 3

(2)若存在,则 EM ? EN ,设 M ( x1, y1 ), N ( x2 , y2 ) ,则:

EM ? EN ? ( x1 ? 1, y1 ) ? ( x2 ? 1, y2 ) ? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? y1 y2 ? 0 ,
? y ? kx ? 2 ? 联立 ? x 2 得: (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 12kx ? 9 ? 0 (*) 2 ? ? y ?1 ?3

?? ? 144k 2 ? 36(1 ? 3k 2 ) ? 0 ? k 2 ? 1 ? ?? 12k 9 , x1 x2 ? ? x1 ? x2 ? ? 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2 ? 4 ? 3k 2 ? y1 y 2 ? (kx1 ? 2)(kx2 ? 2) ? k x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 ? 1 ? 3k 2 代入(*)式,得:
2

9 12k 4 ? 3k 2 7 ? ? 1 ? ? 0,即: 9 ? 12k ? 1 ? 3k 2 ? 4 ? 3k 2 ? 0,? k ? , 满 足 2 2 2 6 1 ? 3k 1 ? 3k 1 ? 3k
??0 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), C ( x3 , y3 ) , M ( s1 , t1 ), N ( s2 , t2 ), P( s3 , t3 ) ,

由: x12 ? 2 y12 ? 8 , x2 2 ? 2 y2 2 ? 8 ,两式相减,得到
( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? 2( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0

所以 k1 ?

y1 ? y2 1 x ?x 1s t 1 ? ? 1 2 ? ? 1 , 即 ? ?2 1 , x1 ? x2 2 y1 ? y2 2 t1 k1 s1

同理

t t t 1 1 1 t t 1 1 ? ?2 2 , ? ?2 3 所 以 ? ? ? ?2( 1 ? 2 ? 3 ) , 又 因 为 直 线 k1 k2 k3 s1 s2 s3 k2 s2 k3 s3

OM , ON , OP 的斜率之和为 0,所 以
3.解: (I)由题意得 f ?( x) ?

1 1 1 ? ? ?0 k1 k2 k3

1 1 ? a, f ?( ) ? 2 ? a ? 0 , x 2

解得 a ? ?2 ,经验证 a ? ?2 满足条件。
2 (II)由(I)知 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 2 ,则 F ( x) ? ? x ? ln x ? x ,

1 2? x 2 ? x ? 1 ? F ?( x) ? 2? x ? ? 1 ? , x x
令 t ( x) ? 2? x2 ? x ?1,? ? ? 0时, ? ? 1 ? 8? ? 0,

? 方程 2? x 2 ? x ? 1 ? 0 有两个相异实根,
设 x1 ? 0, x2 ? 0,? x ? 0,? x1 应舍去,则 F ( x) 的增区间为 ( x2 , ??) ,减区间为 (0, x2 ) ,

?当x ? 0时,( F x)? +?,当x ? +?时,F(x)? +?,

? x) ? 0, F ( x)min ? F ( x2 ) ?当x ? x2时,F (
? F ( x) 有唯一的零点,? F ( x2 ) ? 0 ,
2 ? ? F ( x2 ) ? ? x2 ? ln x2 ? x2 ? 0 则? , 2 ? ? F ?( x2 ) ? 2? x2 ? x2 ? 1 ? 0
2 ? ? x2 ? ln x2 ? x2 ?

x2 1 x 1 ? ? ln x2 ? x2 ? ? ln x2 ? 2 ? 0 , 2 2 2 2 1 x 1 1 令 p ( x) ? ? ln x ? , p?( x) ? ? ? ? 0( x ? 0), 2 2 x 2
所以 p ( x) 在 (0, ??) 上为减函数,注意到 p(1) ? 0,

? x2 ? 1, 得? ? 1.

训练材料(13)
sin ? cos ? 1、已知由直线: x? y ? 1(其中a、b为正常数,? 为参数,? ?(0, 2? ]) a b 构成的集合为S,下列说法正确的有 (1)当? = b 时,S中的直线的斜率为 ; (2) S中所有直线经过一个定点; 4 a (3)当a ? b时,存在某个定点,该定点到S中所有直线的距离均相等; (4)当a ? b时,S中两条平行直线间的距离的最小值为2b.
2、 已知椭圆 C 的中心在原点, 焦点在 x 轴上, 左右焦点分别为 F1 ,F2 , 且 | F1 F2 |? 2 ,
3? 点? ? 1 , ? 在椭圆 C 上. ? 2?

?

⑴求椭圆 C 的方程; ⑵过 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A 、 B 两点,且 ?AF2 B 的面积为 圆心且与直线 l 相切的圆的方程.
12 2 ,求以 F2 为 7

3.已知函数 f ( x ) ? a ln x ?

1 (其中 a ? R ). x

(I)设 h( x) ? f ( x) ? x ,讨论 h( x) 的单调区间; (II)若函数 f ( x) 有唯一零点,求 a 的取值范围.

答案:1、(3)(4) 2、解⑴设椭圆的方程为
3 2

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,由题意可得: a 2 b2 椭圆 C 两焦点坐标分别为 F1 ? ?1 , 0 ? , F2 ?1 , 0? .

∴ 2a ? (1 ? 1)2 ? ( )2 ? (1 ? 1) 2 ? ( ) 2 ? ? ? 4 . ∴ a ? 2 ,又 c ? 1 , b2 ? 4 ? 1 ? 3 , 故椭圆的方程为
x2 y 2 ? ?1. 4 3

3 2

5 2

3 2

3? 3? ? ⑵当直线 l ? x 轴,计算得到: A ? ? ?1 , ? ? , B ? ?1 , ? , 2 2

? ? ? ? 1 1 S?AF2 B ? ? | AB | ? | F1F2 |? ? 3 ? 2 ? 3 ,不符合题意. 2 2 当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为: y ? k ( x ? 1) ,

? y ? k ( x ? 1) ? 由 ? x2 y 2 ,消去 y 得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 . ?1 ? ? 3 ?4

显然 ? ? 0 成立,设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 则 x1 ? x2 ? ?
8k 2 4k 2 ? 12 , . x ? x ? 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
64k 4 4(4k 2 ? 12) ? (3 ? 4k 2 )2 3 ? 4k 2

又 | AB |? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 ? x2 ? 1 ? k 2 ?
12 k 2 ? 1 12(k 2 ? 1) ? , 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 | k ?1 ? 0 ? k | 2|k | ? 又圆 F2 的半径 r ? . 2 1? k 1? k2

即 | AB |? 1 ? k 2 ?

1 12(k 2 ? 1) 2 | k | 12 | k | 1 ? k 2 12 2 , ? ? ? 2 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 7 1? k2 化简,得 17k 4 ? k 2 ? 18 ? 0 ,即 (k 2 ? 1)(17k 2 ? 18) ? 0 ,解得 k ? ?1 . 2|k | ? 2. 所以, r ? 1? k2

所以 S?AF B ? | AB | r ? ?

1 2

故圆 F2 的方程为: ( x ? 1)2 ? y 2 ? 2 . ⑵另解:设直线 l 的方程为 x ? ty ? 1 ,
? x ? ty ? 1 ? 由 ? x2 y 2 ,消去 x 得 (4 ? 3t 2 ) y 2 ? 6ty ? 9 ? 0 , ? ? 0 恒成立, ? ? 1 ? 3 ?4 6t 9 设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则 y1 ? y2 ? , y1 ? y2 ? ? . 4 ? 3t 2 4 ? 3t 2

所以 | y1 ? y2 |? ( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 ? y2 ? 又圆 F2 的半径为 r ?
1 2
|1 ? t ? 0 ? 1| 1? t
2

12 t 2 ? 1 36t 2 36 ? . ? 4 ? 3t 2 (4 ? 3t 2 )2 4 ? 3t 2
2 1 ? t2

?


12 t 2 ? 1 12 2 ? ,解得 t 2 ? 1 , 2 7 4 ? 3t

所以 S?AF B ? ? | F1F2 | ? | y1 ? y2 | ?| y1 ? y2 | ?
2

所以 r ?

2 1? t2

? 2.

故圆 F2 的方程为: ( x ? 1)2 ? y 2 ? 2 . 1 3.解: (I) h( x) ? a ln x ? ? x, 定义域为(0, ??), x
h?( x) ? a 1 x 2 ? ax ? 1 ? 2 ?1 ? , x x x2
2

令 g ( x) ? x2 ? ax ? 1 ,则 ? ? a ? 4 , 当 ? ? 0即-2 ? a ? 2 时, g ( x) ? 0, h?( x) ? 0, 此时 h( x) 在 (0, ??) 为增函数;

当 ? ? 0即a<-2或a>2 时,由 g ( x) ? 0 解得, x1 ? 若 a ? 2 ,则 x1 ? 0, 又x1 x2 ? 1 ? 0, 所以x2 ? 0,

?a ? a 2 ? 4 ?a ? a 2 ? 4, , , x2 ? 2 2

即 h( x) 在 (0, ??) 为增函数; ? h?( x) ? 0在(0, ??)上恒成立, 若 a ? ?2 ,则 x2 ? 0, 又x1 x2 ? 1 ? 0, 所以x1 ? 0, 由 h?( x) ? 0 解得 0 ? x ? x1 , x ? x2 ,

?? ) 综 上 所 述 , a ? ?2 时 , h ( x ) 的 增 区 间 为 ( 0 , ; 当 a ? ?2 时 h ( x ) 的 增 区 间 为

(0, x1 ),( x2 , ??) ,减区间为 ( x1 , x2 ) 。
(II)问题等价于 a ln x ?

1 1 有唯一实根,显然 a ? 0 ,则关于 x 的方程 ? x ln x 有唯一实 x a

根,令函数 ? ( x) ? x ln x ,则 ? ?( x) ? 1 ? ln x , 由 ? ?( x) ? 0 得 x ?

?? ( x) min

1 1 1 ,所以 ? ( x) 得增区间为 ( , ??) 减区间为 (0, ) , e e e 1 1 1 1 1 ? ? ( ) ? ? ,作出简图可知,当 ? ? 或者 ? 0 时,直线 y ? a 与 y ? ? ( x) a e a e e

有唯一交点,所以 a 的取值范围是 {?e} ? {a | a ? 0}

训练材料(14)
? 1、在平面直角坐标系xOy中,?是一个平面点集,如果存在非零向量a, ???? ???? ? ? 对于任意P ? ?,均有Q ? ?,使得OQ ? OQ ? a,则称a为平面点集?的 一个向量周期.下列说法正确的有 ? ? (1)若平面点集?存在向量周期a,则k a (k ? Z,k ? 0)也是?的向量周期; (2)若平面点集?形成的平面图形的面积是一个非零常数,则?存在向量周期; ? (3)若平面点集?={( x,y| ) x,y ? 0},则b ? (1, 2)为?的一个向量周期; (4)若平面点集?={( x,y| ) [x] ? [ y ] ? 0}([m]表示不大于m的最大整数), ? 则c ? (11) ,为?的一个向量周期.

2、已知椭圆

6 x2 y 2 ,短轴的一个端点到右焦点的距离 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 3 a b

为 3 ,直线 l : y ? kx ? m 交椭圆于不同的两点 A , B . ⑴求椭圆的方程; ⑵若 m ? k ,且 OA ? OB ? 0 ,求 k 的值( O 点为坐标原点) ; ⑶若坐标原点 O 到直线 l 的距离为
3 ,求 △ AOB 面积的最大值. 2

??? ? ??? ?

3、已知函数 f ( x) ? ax2 ? ln x( x ? 0) .

(Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间;

(Ⅱ) 当 a ? 0 时 , 设 斜 率 为 k 的 直 线 与 曲 线 y ? f ( x) 交 于 A( x1 , y1 ) 、

B( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 ) 两点,求证: x1 ?

1 ? x2 . k

答案:1、(3)(4)
?c 6 ? ? 2、⑴设椭圆的半焦距为 c ,依题意 ? a 3 ,解得 c ? 2 . ?a? 3 ?

由 a 2 ? b2 ? c 2 ,得 b ? 1
x2 ? y2 ? 1 3 ⑵∵ m ? k ,∴ y ? kx ? k ? k ( x ? 1) .

∴所求椭圆方程为

? x2 2 ? ? y ?1 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,其坐标满足方程 ? 3 ,消去 y 并整理得 ? y ? k ( x ? 1) ?

(1 ? 3k 2 ) x2 ? 6k 2 x ? 3k 2 ? 3 ? 0 ,

则 ? ? ? 6k

2 2

?

? 4 ?1 ? 3k 2 ?? 3k 2 ? 3? ? 0 (?)

?6k 2 3k 2 ? 3 x ? x ? , x x ? 故 1 2 1 ? 3k 2 1 2 1 ? 3k 2 . ??? ? ??? ? ∵ OA ? OB ? 0 ,

∴ x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? k ( x1 ? 1) ? k ( x2 ? 1)
2 ? ( 1 ?k 2 ) x x) ? 2 k 1 x 2 ? k ( 1x ? 2

? (1 ? k 2 )

3k 2 ? 3 ?6k 2 k2 ? 3 ? k2 ? ? k2 ? 2 ?0 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k 3k ? 1

∴ k ? ? 3 ,经检验 k ? ? 3 满足(*) 式. ⑶由已知,
m 1? k
2

?

3 3 ,可得 m2 ? (k 2 ? 1) 2 4

2 2 2 将 y ? kx ? m 代入椭圆方程,整理得 (1 ? 3k ) x ? 6kmx ? 3m ? 3 ? 0

? ? (6km)2 ? 4(1 ? 3k 2 )(3m2 ? 3) ? 0 (?)

?6km 3m2 ? 3 . , x1 x2 ? 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2 ? 36k 2 m2 12(m2 ? 1) ? ? ∴ | AB |2 ? (1 ? k 2 )( x1 ? x2 )2 ? (1 ? k 2 ) ? 2 ? 2 3k 2 ? 1 ? ? (3k ? 1) 12(k 2 ? 1)(3k 2 ? 1 ? m 2 ) 3(k 2 ? 1)(9k 2 ? 1) ? ? (3k 2 ? 1)2 (3k 2 ? 1)2

∴ x1 ? x2 ?

12k 2 12 12 ? 3? ≤3 ? ? 4(k ? 0) 4 2 1 9k ? 6 k ? 1 2?3? 6 9k 2 ? 2 ? 6 k 3 1 2 当且仅当 9k ? k 2 ,即 k ? ? 3 时等号成立. 3 经检验, k ? ? 3 满足(*)式. ? 3?

当 k ? 0 时, | AB |? 3 综上可知, | AB |max ? 2

所以,当 | AB | 最大时, △ AOB 的面积取得最大值 Smax ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 3 、 解:(Ⅰ) f ' ( x) ? 2ax ?
1 2ax2 ? 1 ? ( x ? 0) , x x

1

3

3

当 a ? 0 时 , f '( x) ? 0 , f ( x) 在

1 ? 2a (取正根), 在区间 2a 1 1 (0,? ? 2a ) 内 , f ' ( x) ? 0, f ( x) 是 增 函 数 ; 在 区 间 (? ? 2a ,?? ) 2a 2a

(0,??) 上是增函数; 当 a ? 0 时,由 f ' ( x) ? 0 ,得 x ? ?

内, f ' ( x) ? 0, f ( x) 是减函数. 综上,当 a ? 0 时, f ( x) 的增区间为 (0,??) ,没有减区间; 当 a ? 0 时, f ( x) 的减区间是 ( ?

1 1 ? 2a ,?? ) ,增区间是 (0,? ? 2a ) 2a 2a

(Ⅱ) 当

a?0 时 ,

f ( x) ? ln x( x ? 0),

x2 ? x1 1 , ? k ln x2 ? ln x1

今 证 明

x1 ?

x2 ? x1 ? x2 , ln x2 ? ln x1

先 证 明

x1 (ln x2 ? ln x1 ) ? ( x2 ? x1 ) ? 0



h( x) ? x1 (ln x ? ln x1 ) ? ( x ? x1 ), ( x ? x1 ? 0)


h' ( x ) ?

x1 ? 1 , ∵ x ? x1 ? 0 ,∴ h' ( x) ? 0 , h( x) 在 [ x1 ,??) 上是减函数. x


∵ x 2 ? x1 ,∴ h( x2 ) ? h( x1 ) ? 0 , ∴ x1 ?

x1 (ln x2 ? ln x1 ) ? ( x2 ? x1 ) ? 0

x2 ? x1 , 同理可证 ln x2 ? ln x1 x2 ? x1 ? x2 ln x2 ? ln x1

x2 ? x1 ? x2 ln x2 ? ln x1

PS : 要证 x1 ?

即证 ln

x2 x2 x x 1 ? ? 1和1 ? ln 1 ? ln 2 ,即证ln ? t ? 1和1 ? ? ln t x1 x1 x2 x1 t

训练材料(15)
1、已知?ABC的面积为S,? 是三角形的某个内角,O是平面ABC内一点, ??? ? ??? ? ???? 且满足 2 OA ? sin ? OB ? cos ? OC ? o, 则下列判断正确的是: ? ? 1 A S?AOC 最小值为 S 2 B S?AOB 最小值为

1 C S?AOC +S?AOB 最大值为 S D S?BOC 2 2、已知抛物线 y 2 ? 4 x ,点 M (1, 0) 关于 y 轴的对称点为 N ,直线 l 过点 M 交抛物
线于 A , B 两点. ⑴证明:直线 NA , NB 的斜率互为相反数; ⑵求 ?ANB 面积的最小值; ⑶当点 M 的坐标为 (m , 0)(m ? 0 ,且 m ? 1) .根据⑴⑵推测并回答下列问题(不必 说明理由) : ①直线 NA , NB 的斜率是否互为相反数? ② △ ANB 面积的最小值是多少?

? 最大值为 ?

2 ?1 S

? 2 ? 1? S

3.设函数 f ( x ) ? ln x ?

m , m ? R. x

(I)当 m ? e ( e 为自然对数的底数)时,求 f ( x) 的极小值;

x 零点的个数; 3 f (b) ? f (a ) ? 1 恒成立,求 m 的取值范围. (III)若对任意 b ? a ? 0, b?a
(II)讨论函数 g ( x ) ? f ?( x ) ?

答案:1、C 由? ?

2、⑴设直线 l 的方程为 y ? k ? x ? 1? (k ? 0) .
2

? y ? k ? x ? 1? , ? ? y ? 4 x,

可得 k 2 x2 ? ? 2k 2 ? 4? x ? k 2 ? 0 .
2k 2 ? 4 , x1 x2 ? 1 . k2

设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则 x1 ? x2 ? ∴ y1 y2 ? ?4 ∴ N ? ?1, 0?
k NA ? k NB ?

?

2 2 ? 4? ? y1 ? y2 ? 4 ? ? y2 ? y1 ? 4 ? ?

y1 y 4y 4y ? 2 ? 2 1 ? 2 2 x1 ? 1 x2 ? 1 y1 ? 4 y2 ? 4
2 2

?y

2 1

? 4 ?? y ? 4 ?

?

4(?4 y2 ? 4 y1 ? 4 y1 ? 4 y2 )

?y

2 1

2 ? 4 ?? y2 ? 4?

? 0.

又当 l 垂直于 x 轴时,点 A, B 关于 x 轴,显然 kNA ? kNB ? 0, kNA ? ?kNB . 综上, kNA ? kNB ? 0, kNA ? ?kNB . ---------------- 5 分 ⑵ S?NAB ? y1 ? y2 ? ? y1 ? y2 ? ? 4 y1 y2 ? 4 ? x1 ? x2 ? ? 8 = 4 1 ?
2

1 ?4. k2

当 l 垂直于 x 轴时, S?NAB ? 4 . ∴ ?ANB 面积的最小值等于 4 . ⑶推测:① kNA ? ?kNB ; ② ?ANB 面积的最小值为 4m m . e x?e 3.解: (I)当 m ? e 时, f ( x) ? ln x ? ,则 f ?( x) ? 2 , x x
由 f ?( x) ? 0 解得 x ? e ,所以 f ( x ) 的增区间为 (e, ??) ,减区间为 (0, e) ,

? f ( x)极小值 ? f (e) ? 2
(II)由题知 g ( x) ? f ?( x) ?

x 1 m x ? ? ? ( x ? 0) ,令 g ( x) ? 0 得 3 x x2 3

x3 x3 m ? ? ? x( x ? 0) ,令 ? ( x) ? ? ? x( x ? 0) , 3 3
2 则 ??( x) ? ? x ? 1 ,由 ? ?( x) ? 0 得 0 ? x ? 1 ,

?? ( x) 的增区间为 (0,1) ,减区间为 (1, ??) ,
?? ( x) max ? ? (1) ?
当m ?

2 ,又 ? (0) ? 0 ,结合 y ? ? ( x) 的图像可知: 3

2 时,函数 g ( x) 无零点; 3 2 当 m ? 时,函数 g ( x) 有且只有一个零点; 3 2 当 0 ? m ? 时,函数 g ( x) 有两个零点; 3

当 m ? 0 时,函数 g ( x) 有且只有一个零点;

f (b) ? f (a ) ? 1 恒成立,等价于 f (b) ? b ? f (a) ? a 恒成立, b?a m 令 h( x) ? f ( x) ? x ? ln x ? ? x( x ? 0) ,则上式等价于 h( x) 在 (0, ??) 上为单调减函数, x 1 m 由 h?( x) ? ? 2 ? 1 ? 0 在 (0, ??) 上恒成立得, x x 1 1 1 m ? ? x 2 ? x ? ?( x ? ) 2 ? ( x ? 0) 恒成立,所以 m ? , 4 2 4 1 ?m 的取值范围为 [ , ??) 4
(III)对任意 b ? a ? 0,

训练材料(16)
1、已知点F 为抛物线x 2 ? 2 py ? p ? 0 ?的焦点,过点F的直线与该抛物线交于A、B两点, l1 , l2分别是该抛物线在A、B两点处的切线,l1、l2相交于点C,设 AF =a, BF =b,则 CF ? A、 a ? b
2、已知椭圆

B、

a?b 2

C、 a 2 ? b 2

D、 ab

6 x2 y 2 . ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 3 a b

⑴若原点到直线 x ? y ? b ? 0 的距离为 2 ,求椭圆的方程; ⑵设过椭圆的右焦点且倾斜角为 45? 的直线 l 和椭圆交于 A , B 两点. i)当 | AB |? 3 ,求 b 的值; ii)对于椭圆上任一点 M ,若 OM ? ?OA ? ?OB ,求实数 ? , ? 满足的关系式.
???? ? ??? ? ??? ?

3.已知函数 f ( x) ? x ln x. (I)求函数 f ( x) 的最小值; (II)若对一切 x ? (0, ??) ,都有 f ( x) ? x ? ax ? 2 恒成立,求 a 的取值范围;
2

(III)试判断函数 y ? ln x ? 理由.

1 2 ? 是否有零点?若有,求出零点的个数;若无,请说明 e x ex

答案:1、D
2 2

2、⑴∵ d ?
2

b 2

? 2 ,∴ b ? 2 .∵ e ?
2 3

c 6 c2 2 ? ,∴ 2 ? . a 3 a 3

∵ a ? b ? c ,∴ a ? 4 ? a2 ,解得 a2 ? 12, b2 ? 4 .
2

x2 y 2 ? ?1. 12 4 c 6 2 ⑵ i)∵ ? ,∴ a2 ? 3b2 , c2 ? a2 ? 2b2 ,椭圆的方程可化为 a 3 3 2 2 2 …………① x ? 3 y ? 3b

椭圆的方程为

易知右焦点 F ( 2b , 0) ,据题意有 AB : y ? x ? 2b 由①,②有: 4 x2 ? 6 2bx ? 3b2 ? 0 …………③ 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,
| AB |? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 ? (1 ? 12 )

………②

72b2 ? 48b2 24b2 ? 2 ? 2 ? 3b ? 3 2 4 4

∴b ?1 ??? ? ??? ? ii)显然 OA 与 OB 可作为平面向量的一组基底,由平面向量基本定理,对 ???? ? 于 这 一 平 面 内 的 向 量 OM , 有 且 只 有 一 对 实 数 ? , ? , 使 得 等 式
???? ? ??? ? ??? ? OM? ? OA ? ? O成立. B

设 M ( x , y ) ,∵ ( x , y) ? ? ( x1 , y1 ) ? ? ( x2 , y2 ) ,∴ x ? ? x1 ? ? x2 , y ? ? y1 ? ? y2 又点 M 在椭圆上,∴ (? x1 ? ? x2 )2 ? 3(? y1 ? ? y2 )2 ? 3b2 ……………④ 由③有: x1 ? x2 ?
3 2b 3b 2 , x1 x2 ? 2 4

x1 x2 ? 3 y1 y2 ? x1 x2 ? 3( x1 ? 2b)( x2 ? 2b) ? 4 x1 x2 ? 3 2b( x1 ? x2 ) ? 6b2 ? 3b2 ? 9b2 ? 6b2 ? 0
2 2 又 A , B 在椭圆上,故有 x12 ? 3 y12 ? 3b2 , x2 ? 3 y2 ? 3b2 将⑥,⑤代入④可得: ? 2 ? ? 2 ? 1 .

……………⑤ …………⑥

3.解: (I) f ( x) ? x ln x. 的定义域为 (0, ??) , f ?( x) ? ln x ? 1 , 由 f ?( x) ? 0 解得 x ?

? f ( x) min

1 1 1 ,所以 f ( x ) 得增区间为 ( , ??) ,减区间为 (0, ) , e e e 1 1 ? f( )?? 。 e e

(II)由 f ( x) ? x2 ? ax ? 2得x ln x ? x2 ? ax ? 2 ,

2 ? x ? 0,? a ? x ? ln x ? , x 2 ( x ? 2)( x ? 1) ( x ? 0) , 令 g ( x) ? x ? ln x ? ,则 g ?( x) ? x x2
由 g ?( x) ? 0 解得 x ? 2 ,所以 g ( x) 的增区间为 (2, ??) ,减区间为 (0, 2) ,

? g ( x)min ? g (2) ? 3 ? ln 2

? 对任意 x ? (0, ??) ,都有 a ? x ? ln x ?
? a ? (??,3 ? ln 2) 。

2 恒成立, x

1 2 x 2 x 2 ? ? 0 ,则 x ln x ? x ? ,即f ( x) ? x ? ( x ? 0) , x e ex e e e e 1 1 由(I)知当 x ? (0, ??)时,f ( x) min ? f ( ) ? ? , e e x 2 1? x 令 h( x) ? x ? ( x ? 0), 则h?( x) ? x , e e e
(III)令 ln x ? 由 h?( x) ? 0 解得 0 ? x ? 1 ,所以 h( x) 的增区间为 (0,1) ,减区间为 (1, ??) ,

1 ? h( x) max ? h(1) ? ? 。 e

? 对一切 x ? (0, ??) , f ( x) ? h( x), 即 ln x ?
?函数y ? ln x ? 1 2 ? 没有零点。 e x ex

1 2 ? ? 0, e x ex

训练材料(17)
1、过椭圆 x2 y 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ?的右焦点F ? c, 0 ? 作圆x 2 ? y 2 ? b 2的切线FQ (Q为切点), 2 a b 交椭圆于点P,若点Q恰好为FP的中点,则椭圆的离心率为 A 5 3 B 3 2 C 1 2 D 5 4

1 x2 y 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0? 短轴 的一个端点 D 0, 3 ,离心率 e ? .过 D 作 2 2 a b O l 直线 与椭圆交于另一点 M ,与 x 轴交于点 A (不同于原点 ) ,点 M 关于 x 轴的 对称点为 N ,直线 DN 交 x 轴于点 B . ??? ? ??? ? ⑴求椭圆的方程;⑵求 OA ? OB 的值.

2、已知椭圆

?

?

y D N B x O A M

3.已知函数 f ( x) ? e ( x ? mx ? 2x ? 2).
x 3 2

(I)假设 m ? ?2 ,求 f ( x ) 的极大值和极小值; (II)是否存在实数 m ,使得 f ( x ) 在 [?2, ?1] 上为单调递增?若存在,求 m 的取值范围; 若不存在,请说明理由。

答案:1、A

2、⑴由已知, a ? 2, b ? 3 .
x2 y 2 ? ?1. 4 3
? ? 3 ? ,0 ? ?. k ?
3

所以椭圆方程为

⑵设直线 l 方程为 y ? kx ? 3 .令 y ? 0 ,得 A ? ?? 由方程组
? ? y ? kx ? 3 ? 2 2 ? ?3x ? 4 y ? 12
2

可得

3x 2 ? 4 k x?
8 3k , 3 ? 4k 2

?

?

2

? 1,即 2

?3 ? 4k ? x
2

? 8 3kx ? 0 .所以 xM ? ?
8 3k 2 ? ?

所以 M ? ? ? 3 ? 4k 2 , ? 3 ? 4 k 2 ? 3 ? ?, N ? ? ? 3 ? 4k 2 , 3 ? 4 k 2 ? 3 ? ?. ? ? ? ?
8 3k 2 3 ? 4k 2 ? 3 .直线 DN 的方程为 y ? 3 x ? 3 . 所以 k DN ? 4k 4k 8 3k 2 3 ? 4k ??? ? ??? ? ? 4 3k ? 4 3k 3 令 y ? 0 ,得 B ? . 所以 =? ? ,0 ?? ?4 OA ? OB ? ? ? 3 3 k ? ? 2 3?

?

8 3k

8 3k

8 3k 2

?

3.解: (I)当 m ? ?2 时, f ( x) ? e x ( x3 ? 2 x2 ? 2 x ? 2). 其定义域为 R 。

? f ?( x) ? xex ( x2 ? x ? 6) ? xex ( x ? 3)( x ? 2) ,
由 f ?( x) ? 0 解 得 ?3 ? x ? 0,x ? 2, 所以 f ( x) 得 增 区间为 (?3,0),(2, ??) , 减 区间 为

(??, ?3),(0, 2)

? f ( x)极小值 =f (?3) ? ?37e?3 , f ( x)极小值 =f(2)=-2e2 , ( f x)极大值 =f (0) ? 2 。
(II) f ?( x) ? xe [ x ? (m ? 3) x ? 2m ? 2],
x 2

? f ( x) 在 [?2, ?1] 上单调递增,所以当 x ?[?2, ?1] 时, f ?( x) ? 0 恒成立,
又当 x ?[?2, ?1] 时, xe ? 0 ,
x

?当x ?[?2, ?1]时,x2 ? (m ? 3) x ? 2m ? 2 ? 0,
2 ? ?(?2) ? 2(m ? 3) ? 2m ? 2 ? 0 ?? 解得m ? 4, 2 ( ? 1) ? ( m ? 3) ? 2 m ? 2 ? 0 ? ?

所以 m ? (??, 4] 时, f ( x ) 在 [?2, ?1] 上为单调递增

训练材料(18)
1.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某多面体 的三视图,则该多面体的个条棱中,最长的棱的长度为

A.6 2

B .4 2

C .6

D .4
1 2

2、已知中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆 C 的离心率为 ,
3? 且经过点 ? ? ?1, ? ,过点 P ? 2, 1? 的直线 l 与椭圆 C 在第一象限相切于点 M . ? 2?

⑴求椭圆 C 的方程; ⑵求直线 l 的方程以及点 M 的坐标;

⑶是否存过点 P 的直线 l1 与椭圆 C 相交于不同的两点 A , B ,满足 PA ? PB ? PM ? 若存在,求出直线 l1 的方程;若不存在,请说明理由.

??? ? ??? ?

???? ?2

3.已知函数 f ( x) ? ?

? x 2 ? 3ax ? a 2 ? 3, x ? 0, ? a?R 。 x 2 2 e ? ( x ? a ) ? 3, x ? 0, ? ?

(I)若函数 y ? f ( x) 在 x ? 1 处取得极值,求 a 的值; (II)若函数 y ? f ( x) 的图像上存在两点关于原点对称,求 a 的取值范围。

答案:1、C
9 ?1 ? a 2 ? 4b 2 ? 1 ? c 1 x2 y 2 2、⑴设椭圆 C 的方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,由题意得 ? ? ? a 2 a b ? 2 ?a ? b 2 ? c 2 ? ? 2 2 x y 解得 a2 ? 4, b2 ? 3 ,故椭圆 C 的方程为 ? ? 1 . 4 3 ⑵因为过点 P ? 2, 1? 的直线 l 与椭圆在第一象限相切,所以 l 的斜率存在,

故可设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2) ? 1 .
? x2 y 2 ? 1, ? ? 由? 4 3 得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8k (2k ? 1) x ? 16k 2 ? 16k ? 8 ? 0 . ① ? y ? k ( x ? 2) ? 1 ?

因为直线 l 与椭圆 相切,所以 ? ? [?8k (2k ? 1)]2 ? 4(3 ? 4k 2 )(16k 2 ? 16k ? 8) ? 0 . 整理,得 32(6k ? 3) ? 0 .解得 k ? ? . 所以直线 l 的方程为 y ? ? ( x ? 2) ? 1 ? ? x ? 2 . 将 k ? ? 代入①式,可以解得 M 点横坐标为 1 ,故切点 M 坐标为 ?1, ? . 2
?

1 2

1 2

1 2

1 2

? ?

3?

⑶若存在直线 l1 满足条件的方程为 y ? k1 ( x ? 2) ? 1 ,代入椭圆 C 的方程得 (3 ? 4k12 ) x2 ? 8k1 (2k1 ? 1) x ? 16k12 ? 16k1 ? 8 ? 0 . 因为直线 l1 与椭圆 C 相交于不同的两点 A , B ,设 A , B 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) , 所以 ? ? [?8k (2k ? 1)]2 ? 4(3 ? 4k 2 )(16k 2 ? 16k ? 8) ? 32(6k1 ? 3) ? 0.
8k1 (2k1 ? 1) 16k12 ? 16k1 ? 8 1 , x1 x2 ? , 2 3 ? 4k1 3 ? 4k12 2 ??? ? ??? ? ???? ?2 5 因为 PA ? PB ? PM ,即 ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? ( y1 ? 1)( y2 ? 1) ? , 4 5 5 所以 ( x1 ? 2)( x2 ? 2)(1 ? k 2 ) ?| PM |2 ? .即 [ x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4](1 ? k12 ) ? . 4 4 2 2 16k ? 16k2 ? 8 8k (2k ? 1) 4 ? 4k1 5 1 ? 2 ? 1 1 2 ? 4](1 ? k12 ) ? ? ,解得 k1 ? ? . 所以 [ 1 2 2 3 ? 4k1 3 ? 4k1 3 ? 4k1 4 2 1 因为 A , B 为不同的两点,所以 k ? .于是存在直线 l1 满足条件,其方程 2 1 为 y? x. 2

所以 k ? ? .又 x1 ? x2 ?

x 2 x 3、解: (I)当 x ? 0 时, f ( x) ? 2e ? ( x ? a) ? 3, f ?( x) ? 2(e ? x ? a),

? 函数 y ? f ( x) 在 x ? 1 处取得极值,
? f ?(1) ? 2(e ? 1 ? a) ? 0, 解得 a ? 1 ? e 。

(II)函数 y ? f ( x) 的图像上存在两点关于原点对称, 即存在 y ? 2e x ? ( x ? a)2 ? 3 图像上一点 ( x0 , y0 )( x0 ? 0) ,使得 (? x0 , ? y0 ) 在 y ? x2 ? 3ax ? a2 ? 3 的图像上, 则有 ?
x 2 ? 2e x0 ? y0 ? 2e 0 ? ( x0 ? a) ? 3, 化简得 a? , x0 ? 0 , 2 2 x ? y ? x ? 3 ax ? a ? 3, ? 0 0 0 ? 0

2e x 2e x ( x ? 1) ? ( x ? 0), 则h ( x) ? , 令 h( x ) ? x x2
由 h?( x) ? 0 解得 x ? 1 ,所以 h( x) 的增区间为 (1, ??) ,减区间为 (0,1) ,

? h( x) ? h(1) ? 2e, 且x ? ??时,h( x) ? ??, x ? 0时,h( x) ? ??,即h( x)的值域为[2e, ??), ? a ? 2e时,y ? f ( x) 的图像上存在两点关于原点对称。

训练材料(19)
a 2 ? b2 ? c2 1、已知在?ABC中,角A、B、C的对边为a、b、c,?ABC的面积 ? , 4 则下列命题正确的有 (1)a 2 ? b 2 ? c 2; (2) sin B ? cos C; (3) 3? 4 ? A ? ?; (4) tan B ? tan C ? . 4 5

0) B(0, 1) 是它的两个顶点,直线 y ? kx(k ? 0) 与 AB 2、设椭圆中心在坐标原点, A(2,,
相交于点 D,与椭圆相交于 E、F 两点. (Ⅰ)若 ED ? 6DF ,求 k 的值; (Ⅱ)求四边形 AEBF 面积的最大值. O E

??? ?

????

y B D

F A x

3、已知函数 f ? x ? ? ln ? x ? a ? ? x2 ? x 在 x ? 0 处取得极值. (1)求实数 a 的值; (2) 若关于 x 的方程 f ? x ? ? ? 求实数 b 的取值范围;
3 4 n ?1 (3)证明:对任意的正整数 n ,不等式 2 ? ? ? ? ? 2 ? ln ? n ? 1? 都成立. 4 9 n 5 x ? b 在区间 ?0, 2? 上恰有两个不同的实数根 , 2

答案:1、(1)(2)(3) 2、 (Ⅰ)解:依题设得椭圆的方程为
x2 ? y 2 ? 1, 4

直线 AB,EF 的方程分别为 x ? 2 y ? 2 , y ? kx(k ? 0) . 如图,设 D( x0,kx0 ),E( x1,kx1 ),F ( x2,kx2 ) ,其中 x1 ? x2 , 且 x1,x2 满足方程 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 4 , 故 x2 ? ? x1 ?

2 1 ? 4k 2

.①

由 ED ? 6DF 知 x0 ? x1 ? 6( x2 ? x0 ) ,得 x0 ? 由 D 在 AB 上知 x0 ? 2kx0 ? 2 ,得 x0 ? 所以

??? ?

????

1 5 10 ; (6 x2 ? x1 ) ? x2 ? 7 7 7 1 ? 4k 2

2 . 1 ? 2k

2 3 2 10 2 ,化简得 24k ? 25k ? 6 ? 0 ,解得 k ? 或 k ? . ? 2 3 8 1 ? 2k 7 1 ? 4k

( Ⅱ ) 解 法 一 : 根 据 点 到 直 线 的 距 离 公 式 和 ① 式 知 , 点 E,F 到 AB 的 距 离 分 别 为

h1 ?

x1 ? 2kx1 ? 2 5 x2 ? 2kx2 ? 2 5

?

2(1 ? 2k ? 1 ? 4k 2 ) 5(1 ? 4k 2 )



h2 ?

?

2(1 ? 2k ? 1 ? 4k 2 ) 5(1 ? 4k 2 )



又 AB ?

22 ? 1 ? 5 ,所以四边形 AEBF 的面积为

S?

1 2(1 ? 2k ) 1 ? 4k 2 ? 4 k 1 4(1 ? 2k ) AB (h1 ? h2 ) ? ? 5 ? ≤2 2 , ? ?2 2 1 ? 4k 2 2 1 ? 4k 2 5(1 ? 4k 2 )

当 2k ? 1 ,即当 k ?

1 时,上式取等号.所以 S 的最大值为 2 2 . 2

解法二:由题设, BO ? 1 , AO ? 2 . 设 y1 ? kx1 , y2 ? kx2 ,由①得 x2 ? 0 , y2 ? ? y1 ? 0 , 故四边形 AEBF 的面积为
2 2 ? 4 y2 ? 4 x2 y2 S ? S△BEF ? S△AEF ? x2 ? 2 y2 ? ( x2 ? 2 y2 ) 2 ? x2

2 2 ≤ 2( x2 ? 4 y2 ) ?2 2,

当 x2 ? 2 y2 时,上式取等号.所以 S 的最大值为 2 2 .

3、解:(1) f ' ? x ? ?

1 ? 2 x ? 1, ? x ? 0 时, f ? x ? 取得极值, ? f ' ? 0? ? 0, x?a



1 ? 2 ? 0 ? 1 ? 0, 解得 a ? 1. 经检验 a ? 1 符合题意. 0?a

( 2 ) 由 a ? 1 知 f ? x ? ? ln ? x ? 1? ? x2 ? x,
ln ? x ? 1? ? x 2 ?

5 由 f ? x? ? ? x ? b , 得 2

3 x ? b ? 0, 2 3 5 令 ? ? x ? ? ln ? x ? 1? ? x 2 ? x ? b, 则 f ? x ? ? ? x ? b 在区间 ?0, 2? 上恰有两个不 2 2

同 的 实 数 根 等 价 于 ? ? x ? ? 0 在 区 间 ?0 , 2 ? 上恰有两个不同的实数根.

?' ? x? ?

1 3 ? ? 4 x ? 5?? x ? 1? ? 2x ? ? , x ?1 2 2 ? x ? 1?

当 x ??0,1? 时, ? ' ? x ? ? 0 ,于是 ? ? x ? 在 ?0,1? 上单调递增; 当 x ? ?1, 2? 时, ? ' ? x ? ? 0 ,于是 ? ? x ? 在 ?1, 2? 上单调递减.
?? ? 0 ? ? ?b ? 0 ? 3 ? 依题意有 ?? ?1? ? ln ?1 ? 1? ? 1 ? ? b ? 0 , 2 ? ? ?? ? 2 ? ? ln ?1 ? 2 ? ? 4 ? 3 ? b ? 0 1 解得, ln 3 ? 1 ? b ? ln 2 ? . 2

(3)

f ? x ? ? ln ? x ?1? ? x2 ? x 的 定 义 域 为

? x x ? ?1?

, 由 (1) 知

f ' ? x? ?

? x ? 2 x ? 3? 3 ,令 f ' ? x ? ? 0 得, x ? 0 或 x ? ? (舍去), 2 ? x ? 1?

? 当 ?1 ? x ? 0 时, f ' ? x ? ? 0 , f ? x ? 单调递增;

当 x ? 0 时 , f ' ? x ? ? 0 , f ? x ? 单调递减 . ? f ? 0 ? 为 f ? x ? 在 ? ?1, ?? ? 上的 最大值.? f ? x ? ? f ? 0? ,故 ln ? x ?1? ? x2 ? x ? 0 (当且仅当 x ? 0 时,等号成 立 ) 对 任 意 正 整 数 n , 取 x?
1 ?1 ? 1 1 ? 0 得 , ln ? ? 1? ? ? 2 , n ?n ? n n

? n ?1 ? n ?1 ? ln ? ?? 2 ? n ? n
3 4 n ?1 3 4 n ?1 ? ln ? n ? 1? . 故 2 ? ? ? ? ? 2 ? ln 2 ? ln ? ln ? ? ? ln 4 9 n 2 3 n

训练材料(20)
1、德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就突出,为了纪念这位伟大的 ?1,x ? Q 数学家,人们把函数f ( x) ? ? 称为狄利克雷函数,关于这个函数 ?0,x ? CR Q 的命题正确的有 (1) f ( f ( x)) ? 0; (2) f ( x)是偶函数; (3) f ( x)是周期函数,任意不为0的有理数T 都是周期; (4)在f ( x)的图像上存在三点ABC构成正三角形.

2、设点 P(?3, 0) ,点 A 在 y 轴上移动,点 B 在 x 轴正半轴(包括原点)上移动,

??? ? ???? ? ???? ? ???? ? 点 M 在 AB 连线上,且满足 PA ? AM ? 0 , 2 AM ? 3MB ? 0 .
(Ⅰ)求动点 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ) 设轨迹 C 的焦点为 F, 准线为 l, 自 M 引的垂线, 垂足为 N, 设点 A(0, a) 使四边形 PFMN 是菱形,试求实数 a; (Ⅲ)如果点 A 的坐标为 (0, an ) , n ? N * ,其中 an ? an (a > 0) ,相应线段 AM
y 项和为 Sn 。 的垂直平分线交 x 轴于 Qn ( xn , 0) .设数列 ? QnQn ?1 ? 的前 n

证明:当 n≥2 时, xn ? Sn?1 为定值.
P

A x M

O

B

3.已知函数 f ( x ) ?

x . ex

(I)求函数 f ( x ) 的单调区间和极值; (II)过点 P (0,

4 ) 作直线 l 与曲线 y ? f ( x) 相切,求证:这样的直线 l 至少有两条,且这 e2

些直线的斜率之和 m ? (

e2 ? 1 2e2 ? 1 , ). e2 e2

答案:1、(2)(3)(4) 2、解(Ⅰ)设点 A(0, a) , B(b,0) (b ≥0), M ( x, y) ,依题设得

??? ? ???? ? PA ? AM ? (3, a)? ( x, y ? a) ? 3x ? a( y ? a) ? 0 , ???? ? ???? ? 2 AM ? 3MB ? 2( x, y ? a) ? 3(b ? x, ? y) ? (3b ? x, ?2a ? y) ? 0 ,
? x ? 3b ? 即 ? y ? ?2 a ,化简得 y 2 ? 4x 为点 M 的轨迹方程. ?3 x ? a ( y ? a ) ? 0 ?

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得, F (1, 0) , l : x ? ?1 . 设 M ( x, y) ,则 N (?1, y ) .由 PFMN 是菱形及 抛物线的定义可得 PFMN 是平行四边形, ∴ MN ? PF ,即 x ? (?1) ? 1 ? (?3) ? x ? 3 ,
P

y A O F x

代入抛物线方程中得 y ? ?2 3 ,即 ?2a ? ?2 3 ,∴ a ? ? 3 . (Ⅲ)由(Ⅱ)可知 an ? ( 3)n .

N

M

2 2 又由(Ⅰ)可知 y ? ?2an ,代入抛物线方程中可得 x ? an ,∴ M (an , ?2an ) .

2 2 2 2 2 又由 Qn A ? Qn M ? xn , ? an ? ( xn ? an ) ? 4an
2 an ? 3 3n ? 3 3n ?1 ? 3 3n ? 3 ? ? ? 3n , ,∴ QnQn ?1 ? xn ?1 ? xn ? 2 2 2 2

化简得 xn ?

3 n 3n ? 3 3 n ?1 ? (3 ? 1) ? 3 为定值. 于是 Sn ? 3 ? 3 ? ? ? 3 ? (3 ? 1) ,从而 xn ? Sn?1 ? 2 2 2
2 n

3.解: (I)由题知 f ?( x) ?

1? x ( x ? R) ,由 f ?( x) ? 0 解得 x ? 1 , ex

? f ( x) 的增区间为 (??,1) ,减区间为 (1, ??) ,
1 ? f ( x)极大值 =f (1) ? , 无极小值。 e
(II)证明:设切点为 ( x0 , f ( x0 )) ,则所作切线方程为 y ? 注意到过点 P (0,

1? x 4 4 x ) 在切线 l 上,所以 2 ? x00 ? x0 0 (? x0 ), 2 e e e e

x0 1 ? x0 ? x0 ( x ? x0 ), e x0 e

整理得

2 x0 4 ? 2 ? 0 ,故此方程解得个数即为可作出的切线条数‘ x0 e e

令 g ( x) ?

x( x ? 2) x2 4 , ? 2 ,则 g ?( x) ? ? x ex e e

由 g ?( x) ? 0 解得 0 ? x ? 2 ,所以 g ( x) 的增区间为 (0, 2) ,减区间为 (??,0),(2, ??) , 注意到 g (0) ? ?

4 4 ? 0, g (2) ? 0, g (?1) ? e ? 2 ? 0, 2 e e

所以方程 g ( x) ? 0 的解为 x ? 2或x ? t (?1 ? t ? 0),

4 ) 恰好可作两条直线与曲线 y ? f ( x) 相切, e2 1 当 x ? 2 时,对应切线斜率 k1 ? f ?(2) ? ? 2 ; e 1? t 当 x ? t 时,对应切线斜率 k 2 ? t ; e 1? t t ?2 令 h(t ) ? t (?1 ? t ? 0), 则h?(t ) ? t ? 0, e e
即过点 P (0, 所以 h(t ) 在 (?1, 0) 上为减函数,即 1 ? h(0) ? h(t ) ? h(?1) ? 2e,1 ? k2 ? 2e,

e 2 ? 1 2e 2 ? 1 ). 所以 m ? k1 ? k2 ? ( 2 , e e2

训练材料(21)
1.在平面直角坐标系 xOy 中,已知向量 a , b , | a |?| b |? 1, a ? b ? 0 ,点 Q 满足

OQ ? 2 (a ? b) .曲线 C ? {P | OP ? a cos? ? b sin ? ,0 ? ? ? 2? },区域 ? ? {P | 0 ? r ?| QP |? R, r ? R}.若 C ? ? 为两段分离的曲线,则(
A. 1 ? r ? R ? 3 B. 1 ? r ? 3 ? R C. r ? 1 ? R ? 3 )

D. 1 ? r ? 3 ? R

2 2 2. 已知圆 C : ( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 16 .

(Ⅰ)由动点 P 引圆 C 的两条曲线 PA 、 PB ,若直线 PA 、 PB 的斜率分别为 k1 , k2 ,且满 足 k1 ? k2 ? k1k2 ? ?1,求动点 P 的轨迹方程; (Ⅱ)另作直线 l : kx ? y ? k ? 0 ,若直线 l 与圆 C 交于 Q , R 两点,且直线 l 与直线

,0) ,求证:| AM | ? | AN | 为 l1 : x ? 2 y ? 4 ? 0的交点为 M ,线段 QR 的中点为 N ,若 A(1
定值。

3 2 3.已知函数 f ( x) ? x ? 3ax ? (3 ? 6a) x ? 12a ? 4 (a ? R) .

(Ⅰ)证明:曲线 y ? f ( x) 在 x ? 0 处的切线横过定点,并求出该定点坐标; (Ⅱ)若 y ? f ( x) 在 x ? x0 处取得最小值, x0 ? (1,3) ,求 a 的取值范围.

参考答案: 1.答案:A,解析:设 a ? (1,0), b ? (0,1) 则 OP ? (cos? ,sin ? ) , OQ ? ( 2, 2) 所以曲线 C 是单位元,区域 ? 为圆环(如右图) ∵ | OQ |? 2 ,∴ 1 ? r ? R ? 3 .

?

?

??? ?

????

????

2. (Ⅰ)由 k1 ? k2 ? k1k2 ? ?1,得 (k1 ? 1)(k2 ? 2) ? 0 , 所以 k1 ? ?1,或 k2 ? ?1 . 设切线方程为 x ? y ? m ? 0 ,



| 3? 4? m| ? 4 , m ? ?7 ? 4 2 . 2

所以点 P 的轨迹方程为 x ? y ? 7 ? 4 2 ? 0 . (Ⅱ)由 ?

? y ? k ( x ? 1) 2k ? 4 ?5k , ). ,得 M ( 2k ? 1 2 k ? 1 ?x ? 2 y ? 4 ? 0

由?

y ? k ( x ? 1) ? ,消去 y 得到: 2 2 ?( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 16

(k 2 ? 1) x2 ? (2k 2 ? 8k ? 6) x ? k 2 ? 8k ? 9 ? 0 .
由韦达定理及中点坐标公式得: xN ?

k 2 ? 4k ? 3 . k 2 ?1

4k 2 ? 2k k 2 ? 4k ? 3 4k 2 ? 2k , 2 ). 由此可得到: y N ? ,即 N ( k 2 ?1 k 2 ?1 k ?1
又因为 A(1, 0) , 所以 | AM |? (

2k ? 4 ?5k 2 5 ? 1)2 ? ( ) ? 1? k 2 , 2k ? 1 2k ? 1 | 2k ? 1|

k 2 ? 4k ? 3 4k 2 ? 2k 2 16k 4 ? 16k 3 ? 20k 2 ? 16k ? 4 2 | AN |? ( ? 1) ? ( 2 ) ? k 2 ?1 k ?1 (k 2 ? 1)2

4(k 2 ? 1)(2k ? 1) 2 1 , ? 2 | 2k ? 1| 2 2 2 (k ? 1) k ?1
所以 | AM | ? | AN | =10.

3. (Ⅰ) f '( x) ? 3x2 ? 6ax ? 3 ? 6a . 由 f (0) ? 12a ? 4 , f ' (0) ? 3 ? 6a , 得曲线 y ? f ( x) 在 x ? 0 处的切线方程为: y ? (3 ? 6a) x ? 12a ? 4 , 由此曲线 y ? f ( x) 在 x ? 0 处的切线过点 (2, 2) . (Ⅱ)由 f '( x) ? 0 ,得 x ? 2ax ? 1 ? 2a ? 0 .
2

(1) 当 ? 2 ?1 ? a ? 2 ?1 时, f '( x) ? 0 , f ( x ) 没有最小值; (2) 当 a ? ? 2 ?1, a ? 2 ?1 时, 由 f '( x) ? 0 得:

x1 ? ?a ? a 2 ? 2a ? 1 , x2 ? ?a ? a 2 ? 2a ? 1 ,
当 x ? (??, x1 ) 时, f '( x) ? 0 , f ( x ) 单调递增; 当 x ? ( x1 , x2 ) 时, f '( x) ? 0 , f ( x ) 单调递减; 当 x ? ( x2 , ??) 时, f '( x) ? 0 , f ( x ) 单调递增. 所以 f ( x ) 的最小值为 f ( x2 ) ,即 x0 ? x2 . 由题设知 1 ? ?a ? a2 ? 2a ?1 ? 3 , 当 a ? ? 2 ? 1 时,不等式 1 ? ?a ? a2 ? 2a ?1 ? 3 无解;

5 2 ? 1时,解不等式 1 ? ?a ? a2 ? 2a ?1 ? 3 ,得 ? ? a ? ? 2 ? 1 . 2 5 综合(1)(2)得 a 的取值范围是 ( ? , ? 2 ? 1) . 2
当a ?


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