北京市2016届高三数学一轮专题突破训练《复数、推理与证明》(理)及答案


北京市 2016 届高三数学理一轮复习专题突破训练 复数、推理与证明
一、复数 1、(2015 年北京高考)复数 i (2 ? i ) ? A. 1 ? 2i C. ? 1 ? 2i B. 1 ? 2i D. ? 1 ? 2i
2

? 1? i ? 2、(2014 年北京高考)复数 ? ? ? _______ ? 1? i ?
3、(2013 年北京高考)在复平面内,复数(2-i) 对应的点位于( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4、(朝阳区2015届高三一模)i 为虚数单位,计算
2

).

=_______。

5、(房山区 2015 届高三一模)已知复数 z 满足 (1 ? i) z ? 1 ? i ,则复数 z ? ____ 6、(丰台区 2015 届高三一模)在复平面内,复数 (A) (1, ?1) (B) (?1,1)

7?i 对应的点的坐标为 3 ? 4i 17 17 (C) ( , ?1) (D) ( , ?1) 25 5

7、(石景山区 2015 届高三一模) z ? 1 ? i , z 为复数 z 的共轭复数,则 z ? z ? z ?1 ? _______ 8、(西城区2015届高三一模)复数z 满足z ? i = 3 ? i,则在复平面内,复数z 对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 9、(海淀区 2015 届高三上学期期末)如图所示,在复平面内,点 A 对应的复数为 z ,则复数 z ?
2




y A -2 1 O x

(A) ?3 ? 4i

(B) 5 ? 4i

(C) 5 ? 4i

(D) 3 ? 4i

1 ? 2i 的虚部为_________ 2?i 1? i 11、 (朝阳区 2015 届高三上学期期末)设 i 为虚数单位,则复数 z ? 在复平面内对应的点所在的 i
10、(东城区示范校 2015 届高三上学期综合能力测试)复数

象限是 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

12、(大兴区 2015 届高三上学期期末)如图,在复平面内,复数 z1 和 z 2 对应的点分别是 A 和 B , 则

z2 等于 z1

(A) 1 ? 2i

(B) 2 ? i

(C) ?1 ? 2i

(D) ?2 ? i

二、推理与证明 1、(2014 年北京高考)有语文、数学两学科,成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若 A 同学每科成绩不低于 B 同学,且至少有一科成绩比 B 高,则称“ A 同学比 B 同学成绩好.”现有若 干同学, 他们之间没有一个人比另一个成绩好,且没有任意两个人语文成绩一样,数学成绩也一样 的.问满足条件的最多有多少学生( ) (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 2、(朝阳区2015届高三一模)将体积为1 的四面体第一次挖去以各棱中点为顶点构成的多面体,第 二次再将剩余的每个四面体均挖去以各棱中点为顶点构成的多面体,如此下去,共进行了n(n∈N* ) 次,则第一次挖去的几何 体的体积是______;这n 次共挖去的所有几何体的体积和是_____。 3、(东城区 2015 届高三二模)为提高信息在传输中的抗干扰能力,通常在原信息中按一定规则加 入相关数据组成传输信息.设定原信息为 a0 a1a2 ,其中 ai ?{0,1} ( i ? 0,1, 2 ),传输信息为

h0 a0 a1a2h1 , h0 ? a0 ? a1 , h1 ? h0 ? a2 , ? 运算规则为: 0 ? 0 ? 0 , 0 ? 1 ? 1 ,1 ? 0 ? 1 ,
1 ? 1 ? 0 .例如原信息为 111 ,则传输信息为 01111 .传播信息在传输过程中受到干扰可能导
致接收信息出错,则下列信息一定有误的是 (A) 11010 (C) 10111 (B) 01100 (D) 00011

4、(昌平区 2015 届高三上学期期末)某珠宝店丢了一件珍贵珠宝,以下四人中只有一人说真话, 只有一人偷了珠宝. 甲:我没有偷;乙:丙是小偷;丙:丁是小偷;丁:我没有偷. 根据以上条件, 可以判断偷珠宝的人是

A.甲

B. 乙

C.丙

D.丁

5、(朝阳区 2015 届高三上学期期末)有一口大钟每到整点就自动以响铃的方式报时,1 点响 1 声, 2 点响 2 声,3 点响 3 声,??,12 点响 12 声(12 时制),且每次报时时相邻两次响铃之间的 间隔均为 1 秒.在一次大钟报时时,某人从第一声铃响开始计时,如果此次是 12 点的报时,则 此人至少需等待 才能确定时间. 秒才能确定时间;如果此次是 11 点的报时,则此人至少需等待 秒

,x1,x2, ?,xn } , 其 中 6 、 ( 石 景 山 区 2015 届 高 三 上 学 期 末 ) 对 于 数 集 X ? {?1 0 ? x1 ? x2 ? ? ? xn , n ? 2 ,定义向量集 Y ? {a | a ? (s, t ), s ? X , t ? X },若对任意 a1 ? Y ,存
在 a2 ? Y ,使得 a1 ? a2 ? 0 ,则称 X 具有性质 P . (Ⅰ)判断 {?1, 1 , 2} 是否具有性质 P ; (Ⅱ)若 x ? 2 ,且 {?1,1, 2 , x} 具有性质 P ,求 x 的值; (Ⅲ)若 X 具有性质 P ,求证: 1 ? X ,且当 xn ? 1 时, x1 ? 1.

参考答案 一、复数 1、A 解析: i(2 ? i) ? 2i ? 1 2、 ?1 复数
1? i (1 ? i) 2 2i ? ? ?i 1 ? i (1 ? i)(1 ? i) 2

1? i 2 2 故( ) ? i ? ?1 1? i

3、答案:D 2 解析:∵(2-i) =3-4i,∴该复数对应的点位于第四象限,故选 D. 4、答案:

5、 ? i 8、答案:C

6、A

7、 1+ 2

解析: 限. 9、D 10、-1 11、D 12、C

,所以对应点为(-1,-3),所以位于第三象

二、推理与证明 1、B 用 ABC 分别表示优秀、及格和不及格。 显然语文成绩得 A 的学生最多只有 1 个,语文成绩得 B 的也最多只有 1 个,得 C 的也最多只有 1 个,因此学生最多只有 3 个。 显然,(AC)(BB)(CA)满足条件,故学生最多 3 个 2、答案:

3、C 4、A 5、11;11 6、(Ⅰ) {?1, 1 , 2} 具有性质 P . (Ⅱ)选取 a1 ??2 分

??

?? ? ( x,2) ,Y 中与 a1 垂直的元素必有形式 ? ?1, b? .
??5 分

所以 x =2 b ,从而 x =4 (III)证明:取 a1 ? ( x1, x1 ) ?Y .设 a2

??

?? ?

?? ?? ? ? (s, t ) ?Y 满足 a1 ? a2 ? 0 .

由 ? s+t ? x1 ? 0 得 s +t ? 0 ,所以 s 、 t 异号. 因为 ? 1 是 X 中唯一的负数,所以 s 、 t 中之一为 ? 1 ,另一为 1 , 故1? X . 假设 xk ? 1 ,其中 1 ? k ? n ,则 0 ? x1 ? 1 ? xn . 选取 b1 ? ( x1, xn ) ?Y ,并设 b2 即 px1 ? qxn ? 0 ,则 ??8 分

??

?? ?

?? ?? ? ? ( p, q) ?Y 满足 b1 ? b2 ? 0 ,

p , q 异号,从而 p , q 之中恰有一个为 ?1 . ??10 分

若 p ? ?1 ,则 x1 ? qxn ,显然矛盾;

若 q ? ?1 ,则 xn ? px1 ? p ? xn ,矛盾. 所以 x1 =1 . ??13 分


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