高二数学寒假讲义

第一讲
题型一:面积问题

圆锥曲线专题(一)

1. 设 F 是抛 物线 G : x2 ? 4 y 的焦 点,设 A、B 为 抛物 线 G 上 异于原 点的 两点, 且满 足

??? ? ??? ? FA· FB ? 0 ,延长 AF、BF 分别交抛物线 G 于点 C、D ,求四边形 ABCD 面积的最小值.

2. P 、 Q 、 M 、 N 四点都在椭圆 x ?
2

??? ? y2 ? 1 上, F 为椭圆在 y 轴正半轴上的焦点.已知 PF 2

???? ? ???? ??? ? ??? ? ???? ? 与 FQ 共线, MF 与 FN 共线,且 PF ? MF ? 0 .求四边形 PMQN 的面积的最值.

y

M F P O

Q

N

x

1

题型二:直线过定点问题 3. A 、 B 是抛物线 y 2 ? 4 x 上的两点,且满足 OA ? OB ( O 为坐标原点) ,求证:直线 AB 经 过一个定点.

4.已知离心率为

5 的双曲线 C 的中心在坐标原点,左、右焦点 F1、F2 在 x 轴上,双曲线 C 的 2

右支上一点 A 使 AF 1 AF 2 的面积为 1. 1 ? AF 2 ? 0 且 ?F (1)求双曲线 C 的标准方程; (2)若直线 l : y ? kx ? m 与双曲线 C 相交于 E、F 两点( E、F 不是左右顶点) ,且以 EF 为 直径的圆过双曲线 C 的右顶点 D ,求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标.

2

5.已知点 B ? ?1,0? , C ?1,0? , P 是平面上一动点,且满足 | PC | ? | BC |? PB ? CB. (1)求点 P 的轨迹 C 对应的方程; (2) 已知点 A(m, 2) 在曲线 C 上, 过点 A 作曲线 C 的两条弦 AD 和 AE , 且 AD ?AE , 判断: 直线 DE 是否过定点?试证明你的结论.

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

题型三:直线斜率为定值问题 6.如图,过抛物线 y ? 4 x 上一定点 P ?1, 2 ? ,作两条直线分别交抛物线于 A ? x1 , y1 ? ,
2

B ? x2 , y2 ? ,当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时,证明直线 AB 的斜率为定值.
y P O x

A B

3

7.已知椭圆 C 过点 A ?1, ? ,两个焦点为 ? ?1,0? , ?1,0? . (1)求椭圆 C 的方程; (2) E、F 是椭圆 C 上的两个动点,如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数,证明直线

? 3? ? 2?

EF 的斜率为定值,并求出这个定值.

4

第三讲
【知识要点】
熟练向量共线问题与坐标的转化

圆锥曲线专题(二)

【经典例题】
1.已知抛物线 C : y 2 ? 8x , F 为 C 的焦点,过焦点 F 斜率为 k ? k ? 0? 的直线与抛物线交于

A、B 两点,若 | FA |? 2 | FB | ,则 k ?

.

2 2. 给 定 抛 物 线 C : y ? 4x , 过 定 点 M ? 2,0? 的 直 线 l 与 抛 物 线 交 于 A、B 两 点 , 若

AM ? 2 BM ,求直线 l 的方程.

5

3.已知椭圆 C :

x2 ? y2 ? 1, 若过点 D ? 2,0? 的直线椭圆 C 交于不同的两点 E 、F (点 E 在 D 、 2

F 之间) ,试求 ?ODE 与 ?ODF 面积之比的取值范围( O 为坐标原点).

4.已知两定点 A?1,0? , B ? ?1,0? ,动点 P 在 y 轴的射影为 Q ,若 PA ? PB ? PQ ? 0 . (1)求动点 P 的轨迹 E 的方程; (2)直线 l 交 y 轴于点 C (0, m) ,交轨迹 E 于 M 、N 两点,且满足 MC ? 3CN ,求实数 m 的 取值范围.

??? ? ??? ? ??? ?2

???? ?

??? ?

6

5.如图, 已知点 F (1, 0) , 直线 l : x ? ?1, p 为平面上的动点, 过 p 作直线 l 的垂线, 垂足为点 Q , 且有 QP ? QF ? FP ? FQ . (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)过点 F 的直线交轨迹 C 于 A、B 两点,交直线 l 于点 M ,已知 MA ? ?1 AF , MB ? ?2 BF 求

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

????

??? ? ????

??? ?

?1 ? ?2 的值.

7

6.双曲线 C 与椭圆

x2 y 2 ? ? 1 有相同的焦点,直线 y ? 3x 为 C 的一条渐近线. 8 4

(1)求双曲线 C 的方程; (2)过点 P ? 0,4? 的直线 l ,交双曲线 C 于 A、B 两点,交 x 轴于 Q 点( Q 点与 C 的顶点不重 合),当 PQ ? ?1QA ? ?2 QB ,且 ?1 ? ?2 ? ?

??? ?

??? ?

??? ?

8 时,求 Q 点的坐标. 3

8

7.已知椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,通径长为 1,且焦点与短轴两端点构成等边三角形. a2 b2

(1)求椭圆的方程; (2)过点 Q ? ?1,0 ? 的直线 l 交椭圆于 A、B 两点,交直线 x ? ?4 于点 E ,点 Q 分 AB 所成比 为 ? ,点 E 分 AB 所成比为 ? ,求证 ? ? ? 为定值,并计算出该定值.

??? ?

??? ?

9

第四讲
1.设 F1 、 F2 分别是椭圆

圆锥曲线专题(三)

x2 ? y 2 ? 1 的左、右焦点. 4

(1)若 P 是该椭圆上的一个动点,求 PF 1 · PF 2 的最大值和最小值; (2)设过定点 M (0,2) 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A 、 B ,且∠ AOB 为锐角(其中 O 为 坐标原点) ,求直线 l 的斜率 k 的取值范围.

B 分别为椭圆 2.设 A 、
为它的右准线. (1)求椭圆的方程;

x2 y2 ? ? 1? a, b ? 0 ? 的左、 右顶点, 椭圆长半轴的长等于焦距, 且x ? 4 a 2 b2

(2)设 P 为右准线上不同于点(4,0)的任意一点,若直线 AP 、 BP 分别与椭圆相交于异于

A 、 B 的点 M 、 N ,证明点 B 在以 MN 为直径的圆内.

y M A O N B

P

x

10

3. 已知定点 A(-1,0),F(2,0),定直线 l:x= ,不在 x 轴上的动点 P 与点 F 的距离是它 到直线 l 的距离的 2 倍.设点 P 的轨迹为 E,过点 F 的直线交 E 于 B、C 两点,直线 AB、AC 分别 交 l 于点 M、N (1)求 E 的方程; (2)试判断以线段 MN 为直径的圆是否过点 F,并说明理由.

1 2

4. 已知椭圆 E 的中心在原点,焦点在 x 轴上,椭圆上的点到焦点的距离的最小值为 2 ? 1 ,离 心率为 e ?
2 ﹒ 2

(1)求椭圆 E 的方程;

???? ???? ? (2)过点 ?1 , 0 ? 作直线 L 交 E 于 P 、 Q 两点,试问:在 x 轴上是否存在一个定点 M , MP ? MQ
为定值?若存在,求出这个定点 M 的坐标;若不存在,请说明理由﹒

11

5.已知椭圆 C 的离心率为

3 ,长轴的左右端点分别为 A1 (?2,0), A2 (2,0) . 2

(1)求椭圆 C 的标准方程;

S .试问:当 m 变化 (2)设直线 x ? my ? 1 与椭圆 C 交于 P, Q 两点,直线 A 1P 与 A2Q 交于点
时,点 S 是否恒在一条定直线上?若是,请写出这条直线方程,并证明你的结论;若不是,请 说明理由.

12

6. 已知椭圆的焦点在 x 轴上,它的一个顶点恰好是抛物线 x2 ? 4 y 的焦点,离心率 e ? 过椭圆的右焦点 F 作与坐标轴不垂直的直线 l ,交椭圆于 A 、 B 两点. (1)求椭圆的标准方程;

2 , 5

(2)设点 M (m, 0) 是线段 OF 上的一个动点,且 (MA ? MB) ? AB ,求 m 的取值范围; (3)设点 C 是点 A 关于 x 轴的对称点,在 x 轴上是否存在一个定点 N ,使得 C 、 B 、 N 三点共线?若存在,求出定点 N 的坐标,若不存在,请说明理由.

???? ????

??? ?

13

第五讲
【知识要点】
⒈导数的概念及其几何意义; ⒉你熟悉常用的导数公式吗? ⒊导数的运算法则: ⑴.两个函数四则运算的导数;

导数的概念与切线问题

⑵.复合函数的导数: y' x ? y'u · u' x . 4.你会利用导数求曲线在某点处的切线方程吗?

【经典例题】
例 1.导数的概念题:
2 1.一质点的运动方程为 S ? 5 ? 3t ,则在一段时间 ?1,1 ? ?t ? 内相应的平均速度为(



A. 3?t ? 6

B. ?3?t ? 6

C. 3?t ? 6

D. ?3?t ? 6 .

2.已知 f ? ? 2? ? 3 ,则 lim
x ?0

f ? 2 ? 2x? ? f ? 2 ? x ? ? x

3.求导公式的应用 (1) f ( x) ? x3 ? x ? ln x ? 3 ,则 f ?( x ) = (2) f ( x) ? x ? 2 x ? x ? 5 ,若 f ?( x0 ) ? 0 ,则 x0 =
3 2

. . , f ?(?1) = . . .

(3) f ( x) ? (3x ? x ? 1)(2x ? 3) ,则 f ?( x ) =
2

(4) f ( x) ? (2 x ? 3) ,则 f ?( x ) =
10

3 2 4.已知 f ? x ? ? f ? ?1? x ? x ?4x ,则 f ? x ? =

14

例 2.切线问题: 1.曲线 y ? 4x ? x2 上两点 A(4,0), B(2, 4) ,若曲线上一点 P 处的切线恰好平行于弦 AB ,则点

P 的坐标为(
A. (1,3)

) B. (3,3) C. (6, ?12) D. (2, 4) .

2.曲线 y ? x3 ? 2 x2 ? 4 x ? 2 在点 (1 , ? 3) 处的切线方程是

3.曲线 y ? x3 在点 ?1,1? 处的切线与 x 轴、直线 x ? 2 所围成的三角形的面积为____ _. 4.曲线 y ? x3 ? 3x2 ? 6x ? 4 的所有切线中, 斜率最小的切线的方程是 .

例 3.曲线 C :y ? ax3 ? bx 2 ? cx ? d 在 (0,1) 点处的切线为 l1 : y ? x ? 1 在 (3, 4) 点处的切线为

l2 : y ? ?2 x ? 10 ,求曲线 C 的方程.

例 4.已知两曲线 y ? x 3 ? ax 和 y ? x 2 ? bx ? c 都经过点 P ?1, 2 ? ,且在点 P 处有公切线,试 求 a、b、c 的值.

15

例 5.切线问题的综合应用:
2 1. ( 江 西 卷 理 ) 设 函 数 f ( x) ? g ( x) , 曲 线 y ? g ( x) 在 点 (1,g (1)) 处的切线方程为 ? x

y ? 2 x ? 1 ,则曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处切线的方程为

.

2. (安徽卷理) 已知函数 f ( x ) 在 R 上满足 f ( x) ? 2 f (2 ? x) ? x2 ? 8x ? 8 , 则曲线 y ? f ( x) 在 点 (1, f (1)) 处的切线方程是 ( A. y ? 2 x ? 1 B. y ? x ) C. y ? 3x ? 2 D. y ? ?2 x ? 3 )

3.(全国卷Ⅰ理)已知直线 y ? x ? 1 与曲线 y ? ln ? x ? a ? 相切,则 a 的值为 ( A.1 B.2 C.-1 D.-2

4.若曲线 f ( x) ? ax3 ? ln x 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围是________.

5.曲线 y ? ln x 上的点到直线 y ? x ? 3 的最短距离为

.

3 *6.向高为 8m,底面边长为 8m 的倒置正四棱锥形的容器内注水,其速度为每分钟 m ,则当

8 3

水深为 5m 时,水面上升的速度为

.

16

【经典练习】
1.设曲线 y ? ax2 在点 ?1, a ? 处的切线与直线 2 x ? y ? 6 ? 0 平行,则 a ? ( A.1 2.已知曲线 y ? A.1 B. )

1 2

C. ?

1 2

D. ?1

x2 1 的一条切线的斜率为 ,则切点的横坐标为( 2 4
B.2 C.3 D.4



3.若曲线 y ? x2 ? ax ? b 在点 (0, b) 处的切线方程是 x ? y ? 1 ? 0 ,则( A. a ? 1, b ? 1 C. a ? 1, b ? ?1 4.曲线 y ? B. a ? ?1, b ? 1 D. a ? ?1, b ? ?1



1 3 ? 4? x ? x 在点 ?1, ? 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( 3 ? 3?
B.



A.

1 9

2 9

C.

1 3

D.

2 3


5.若 f ( x) ? ax4 ? bx2 ? c 满足 f ?(1) ? 2 ,则 f ?(?1) ? ( A. ?4 B. ?2 C.2 D.4

6. 已 知 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 在 点 M (1 ,f (1)) 处 的 切 线 方 程 是 y ?

1 x?2 , 则 2

f ( 1? ) f ? (? 1)
7.曲线 y ?

. . .

1 和 y ? x2 在它们交点处的两条切线与 x 轴所围成的三角形面积是 x

8.过点 P(?1,2) 且与曲线 y ? 3x2 ? 4x ? 2 在点 M (1,1) 处的切线平行的直线方程是 9.已知 f ? 2? ? 3 , f ? ? 2? ? 4 ,则 lim
x ?0

f ? 2 ? 2x? ? f ? 2 ? 4x? ? 6 ? x
3

. .

10.已知直线 y ? 2 x ? 2 为曲线 f ? x ? ? x ? ax 的一条切线,则 a =

17

第六讲
【知识要点】
导数的应用 (1)求曲线的切线方程; (2)求单调区间; (3)求函数的极值(或函数最值).

导数的应用(一)

【经典例题】
1.已知曲线 S : y ? 2 x ? x .
3

(1)求曲线 S 在点 A(1,1) 处的切线方程; (2)求过点 B(2, 0) 并与曲线 S 相切的直线方程.

2.(2009 北京文)设函数 f ( x) ? x ? 3ax ? b(a ? 0) .
3

(1)若曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处与直线 y ? 8 相切,求 a , b 的值; (2)求函数 f ( x ) 的单调区间与极值.

18

3.已知 f ? x ? ? ln x, g ? x ? ? 点 ?1,0 ? .

1 3 1 2 x ? x ? mx ? n ,直线 l 与函数 f ? x ? , g ? x ? 的图象都相切于 3 2

(1)求直线 l 的方程及 g ( x) 的解析式; (2)若 h ? x ? ? f ? x ? ? g ' ? x ? (其中 g ' ? x ? 是 g ? x ? 的导函数) ,求函数 h ? x ? 的值域.

4.设函数 f ( x) ? ln(2 x ? 3) ? x 2 . (1)讨论 f ( x ) 的单调性; (2)求 f ( x ) 在区间 ? ? , ? 的最大值和最小值. 4 4

? 3 1? ? ?

19

5.设函数 f ( x) ? 2 x3 ? 3ax2 ? 3bx ? 8c 在 x ? 1 及 x ? 2 时取得极值. (1)求 a、 b 的值; (2)若对于任意的 x ? [0, 3] ,都有 f ( x) ? c2 成立,求 c 的取值范围.

*6.(2009 安徽卷文)已知函数 f ? x ? ? x ? (1)讨论 f ? x ? 的单调性;

2 ? 1 ? a ln x, a ? 0 . x

2 (2)设 a ? 3 ,求 f ? x ? 在区间 ? ?1, e ? ? 上的值域.

20

【经典练习】
1.如果函数 y=f(x)的图象如右图,那么导函数 y ? f ? ? x ? 的图象可能是( )

2.在下列结论中,正确的结论有(



①单调增函数的导函数也是单调增函数; ②单调减函数的导函数也是单调减函数; ③单调函数的导函数也是单调函数; A.0 个 B.2 个 ④导函数是单调的,则原函数也是单调的. C.3 个 D.4 个 ) D.10 )

3.函数 y ? x4 ? 8x2 ? 2 在[-1,3]上的最大值为 ( A.11
x

B.2
2

C.12

4.曲线 y ? e 在点 (2,e ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(

9 2 A. e 4

B. 2e

2

C. e

2

e2 D. 2

5.(全国卷Ⅰ)函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? 3x ? 9 ,已知 f ( x) 在 x ? ?3 时取得极值, 则 a =( A.2 ) B.3 C.4
x

D.5 )

6.(2009 年广东卷文)函数 f ( x) ? ( x ? 3)e 的单调递增区间是( A. (??,2) B.(0,3) C.(1,4) D. (2,??)

7.函数 f ( x) ? x ln x( x ? 0) 的单调递增区间是 8.曲线 f ( x) ? x ? x ? 1 过点 P (1,1) 的切线方程为
3

. .

21

【经典作业】
1.曲线 y ? x3 ? 2x ? 4 在点 (1 , 3) 处的切线的倾斜角为( A.30° B.45° C.60° )

D.120° )

2.如果质点 A 按规律 S ? 2t 3 运动,则在 t ? 2 秒时的瞬时速度为( A.6 B.8 C.16 D.24

3.经过原点且与曲线 y ? ln x 相切的直线的方程是___________________. 4.已知函数 f ( x) ? x3 ?12 x ? 8 在区间 [?3,3] 上的最大值与最小值分别为 M 、m ,则

M ?m ?

. .

5.函数 f ( x) ? x 3 ? 3ax ? b(a ? 0) 的极大值为 6,极小值为 2,则 f ( x) 的减区间是

() f ?x () f() 'x? 6.已知函数 f ( x) ? ax3 ? x2 ? bx (其中常数 a、b ? R ) , gx
(1)求 f ( x) 的表达式; (2)讨论 g ( x) 的单调性,并求 g ( x) 在区间 ?1,2? 上的最大值与最小值.

是奇函数.

22

第七讲
【知识要点】
(1)单调性问题 (2)极值的存在性问题

导数的应用(二)

【经典例题】 题型一:单调性问题
1.(2009 安徽卷理)已知函数 f ( x) ? x ?

2 ? a(2 ? ln x), (a ? 0) ,讨论 f ( x) 的单调性. x

2.(全国一 19)已知函数 f ( x) ? x ? ax ? x ? 1 , a ? R .
3 2

(1)讨论函数 f ( x ) 的单调区间; (2)设函数 f ( x ) 在区间 ? ? , ? ? 内是减函数,求 a 的取值范围.

? 2 ? 3

1? 3?

23

3.(2009 北京理)设函数 f ( x) ? xekx (k ? 0) . (1)求曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程; (2)求函数 f ( x ) 的单调区间; (3)若函数 f ( x ) 在区间 (?1,1) 内单调递增,求 k 的取值范围.

2 *4.已知函数 f ( x) ? ax ?

x ? ln x . e

(1)任取两个不等的正数 x1、x2 ,

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0 恒成立,求 a 的取值范围; x1 ? x2

(2)当 a ? 0 时,求证: f ( x) ? 0 没有实数解.

24

题型二:极值的存在性问题
x 2 5.已知 a ? R ,讨论函数 f ( x) ? e x ? ax ? a ? 1 的极值点的个数.

?

?

*6.(海南理 21)设函数 f ( x) ? ln( x ? a) ? x .
2

(1)若当 x ? ?1 时, f ( x ) 取得极值,求 a 的值,并讨论 f ( x ) 的单调性; (2)若 f ( x ) 存在极值,求 a 的取值范围,并证明所有极值之和大于 ln

e . 2

25

【经典练习】
1.(辽宁卷 6)设 P 为曲线 C : y ? x2 ? 2x ? 3 上的点,且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值 范围为 ?0, ? ,则点 P 横坐标的取值范围为( A. ? ?1 , ? ? 2

? ?? ? 4?



? ?

1? ?

B. ? ?1 , 0?

C. ?0, 1?

D. ? , 1?

?1 ? ?2 ?

2. ( 2009 福建卷理)下列函数 f ( x ) 中,满足对任意 x1、x2 ? ? 0, ? ?? ,当 x1 ? x2 时,都有

f ? x1 ? ? f ? x2 ? 的是(
A. f ( x ) =

) B. f ( x ) = ( x ? 1)2 C. f ( x ) = e x D. f ( x) ? ln( x ? 1) )

1 x

3.若函数 y ? ? A. b ? 0

4 3 x ? bx 有三个单调区间,则 b 的取值范围是( 3
B. b ? 0 C. b ? 0 D. b ? 0 )

4.设函数 f ( x) ? 3x 4 ? 4x3 则下列结论中,正确的是( A. f ( x) 有一个极大值点和一个极小值点 C. f ( x) 只有一个极小值点

B. f ( x) 只有一个极大值点 D. f ( x) 有二个极小值点

5.函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? 1,当 x ? 1 时,有极值 1 ,则函数 g ( x) ? x ? ax ? bx 的单调减
3 2 3 2

区间为



6.已知曲线 y ? 程是

1 3 8 x 上一点 P(2, ) ,则点 P 处的切线方程是 3 3


;过点 P 的切线方

7.已知 f ? x ? ?

x 2 ? 1 ? ax 在 ?1, ?? ? 上为减函数,则 a 的取值范围为



26

【经典作业】
1.设 t ? 0 , 点 P(t , 0) 是函数 f ( x) ? x3 ? ax 与g ( x) ? bx2 ? c 的图象的一个公共点, 两函数 的图象在点 P 处有相同的切线. (1) 用 t 表示 a、b、c . (2) 若函数 y ? f ( x) ? g ( x) 在 (?1, 3) 上单调递减,求 t 的取值范围.

2.(北京卷文 18)设定函数 f ( x) ? 根分别为 1,4.

a 3 x ? bx 2 ? cx ? d (a ? 0) ,且方程 f ' ( x) ? 9 x ? 0 的两个 3

(1)当 a ? 3 且曲线 y ? f ( x) 过原点时,求 f ( x ) 的解析式; (2)若 f ( x ) 在 (??, ??) 无极值点,求 a 的取值范围.

27

第八讲
【知识要点】
(1)不等式证明问题 (2)恒成立问题求范围

导数的应用(三)

【经典例题】 题型一:不等式证明问题
1.证明不等式
x (1) e ? x ? 1 ;

(2) 2 x ? x ln x ? e .

2.已知定义在正实数集上的函数 f ( x ) ?

1 2 x ? 2ax , g ( x) ? 3a2 ln x ? b ,其中 a ? 0 .设两 2

曲线 y ? f ( x) , y ? g ( x) 有公共点,且在该点处的切线相同. (1)用 a 表示 b ,并求 b 的最大值; (2)求证: f ( x) ? g ( x) ( x ? 0 ) .

28

题型二:恒成立问题
3.已知函数 f ( x) ? ax4 ln x ? bx4 ? c ? x ? 0? 在 x ? 1 处取得极值 ? 3 ? c , 其中 a、b、c 为常数. (1)试确定 a、 b 的值; (2)讨论函数 f ? x ? 的单调区间; (3)若对任意 x ? 0 ,不等式 f ( x) ? ?2c 2 恒成立,求 c 的取值范围.

4.设函数 f ( x) ? tx2 ? 2t 2 x ? t ?1( x ? R,t ? 0) . (1)求 f ( x ) 的最小值 h(t ) ; (2)若 h(t ) ? ?2t ? m 对 t ? (0, 2) 恒成立,求实数 m 的取值范围.

29

5.(安徽卷 20)设函数 f ( x) ?

1 ( x ? 0且x ? 1) . x ln x

(1)求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)已知 2 x ? x 对任意 x ? (0,1) 成立,求实数 a 的取值范围.
a 1

*6.设函数 f ( x) ? ax ? 3x ? 1 ,若对于任意的 x ? ?? 1,1? 都有 f ( x) ? 0 成立,求实数 a .
3

30

【经典练习】
1.已知对任意实数 x , 有 f (? x) ?? f ( x) g, (x ? ) ? gx () 则 x ? 0 时( ) B. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0 D. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0 ) , 且 x ? 0 时, f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0 ,

A. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0 C. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0

2.已知 f ( x), g ( x) 是定义在 ? a, b? 上的函数,且 f ? ? x ? ? g ? ? x ? ,则当 a ? x ? b时 ,有( A. f ? x ? ? g ? x ? C. f ? x ? ? g ? x ? B. f ? x ? +g ?a ? ? g ? x ? ? f ?a ? D. f ? x ? +g ? a ? ? g ? x ? ? f ? a ?

3.设 f ( x), g ( x) 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数, g ( x) ? 0, 当 x ? 0 时

f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ? 0 ,且 f (?3) ? 0, 则不等式
A. (?3,0) ? (3,??) C. (??,?3) ? (3,??) 4.函数 y ? 1 ? 3x ? x 3 有( A.极小值-2,极大值 2 C.极小值-1,极大值 1 5.(2009 天津卷理)设函数 f ( x) ? A.在区间 ( ,1), (1, e) 内均有零点 B.在区间 ( ,1), (1, e) 内均无零点 C.在区间 ( ,1) 内有零点,在区间 (1, e) 内无零点 D.在区间 ( ,1) 内无零点,在区间 (1, e) 内有零点 )

f ( x) ? 0 的解集是( g ( x)



B. (?3,0) ? (0,3) D. (??,?3) ? (0,3)

B.极小值-2,极大值 3 D.极小值-1,极大值 3

1 x ? ln x( x ? 0), 则 y ? f ( x) ( 3



1 e 1 e

1 e

1 e

31

【经典作业】
1.函数 f ( x) ? ax3 ? x ? 1有极值的充要条件是( A. a ? 0 B. a ? 0 C. a ? 0 ) D. a ? 0

2 2. (2009 江西卷文) 若存在过点 (1,0) 的直线与曲线 y ? x3 和 y ? ax ?

15 x ? 9 都相切, 则a等 4

于(



A. ?1 或 -

25 64

B. ?1 或

21 4

C. ?

7 25 或4 64

D. ?

7 或7 4


3.对于 R 上可导的任意函数 f ? ? x ? ,若满足 ? x ?1? f ? ? x ? ? 0 ,则必有( A. f (0) ? f (2) ? 2 f (1) C. f (0) ? f (2) ? 2 f (1)
x

B. f (0) ? f (2) ? 2 f (1) D. f (0) ? f (2) ? 2 f (1)

4.设 a 为实数,函数 f ? x ? ? e ? 2x ? 2a, x ? R . (1)求 f ? x ? 的单调区间与极值;
x 2 (2)求证:当 a ? ln 2 ? 1且 x ? 0 时, e ? x ? 2ax ? 1.

32

第九讲
【知识要点】
图像的交点问题

导数的应用(四)

【典型例题】
1.(2009 陕西卷文)已知函数 f ( x) ? x3 ? 3ax ?1, a ? 0 (1)求 f ( x ) 的单调区间; (2)若 f ( x ) 在 x ? ?1 处取得极值,直线 y=m 与 y ? f ( x) 的图象有三个不同的交点,求 m 的 取值范围.

2.设函数 f ( x) ?

1 3 x ? x 2 ? ax , g ( x) ? 2 x ? b ,当 x ? 1 ? 2 时, f ( x) 取得极值. 3

(1)求 a 的值,并判断 f (1 ? 2 ) 是函数 f ( x) 的极大值还是极小值; (2)当 x ? [?3,4] 时,函数 f ( x) 与 g ( x) 的图象有两个公共点,求 b 的取值范围.

33

3. 已知函数

f (x) ? x3 +3ax ?1, g(x) ? f ?( x) ? ax ? 5, 其中 f ?( x ) 是 f ? x ? 的的导函数

(1)对满足 ?1 ? a ? 1 的一切 a 的值, 都有 g(x) ? 0, 求实数 x 的取值范围 (2)设 a ? ?m2 ( m ? 0 ),当实数m在什么范围内变化时,函数 y ? f (x) 的图像与直线 y ? 3 只有一个公共点.

f x)= x 3 ? 4.设函数 (
线方程为 y=1 (1)确定 b、c 的值;

1 3

a 2 x ? bx ? c ,其中 a>0,曲线 y ? ( 在点 P(0, ( )处的切 f x) f 0) 2

(2)设曲线 y ? ( 在点( x1,( )及( x 2,( )处的切线都过点(0,2)证明:当 f x) f x 2) f x1)

x1 ? x 2 时, f '( x 1 ) ? f '( x2 ) ;
(3)若过点(0,2)可作曲线 y ? ( 的三条不同切线,求 a 的取值范围. f x)

34

【课堂练习】
1.设 f ?( x ) 是函数 f ( x ) 的导函数,将 y ? f ( x) 和 y ? f ?( x) 的图象画在同一个直角坐标系中, 不可能正确的是( )

5 4 3 2.方程 6 x ? 15x ? 10 x ? 1 ? 0 的实数解的集合是(



A.至少有 2 个元素 C.恰有 1 个元素 3.直线 y ?

B. 至少有 3 个元素 D. 恰好有 5 个元素 .

1 x ? b 是曲线 y ? ln x ? x ? 0? 的一条切线,则实数 b= 2

4.若 f ( x) ? ?

1 2 x ? b ln( x ? 2)在(-1,+?)上是减函数,则 b 的取值范围是________. 2

5. 已知函数 f ( x) ? ? x2 ? 8x, g ( x) ? 6ln x ? m. (1)求 f ( x ) 在区间 ?t, t ?1? 上的最大值 h(t ); (2)是否存在实数 m, 使得 y ? f ( x) 的图象与 y ? g ( x) 的图象有且只有三个不同的交点?若存 在,求出 m 的取值范围;若不存在,说明理由.

35

【课后作业】
1. 函数 f ( x) 的 定义域为开区间 ( a, b) ,导 函数 则函数 f ( x) 在 f ?( x) 在 ( a, b) 内的图象如图所示, 开区间 ( a, b) 内有极小值点( A.1 个 C.3 个 B.2 个 D. 4 个 ) D. y ? 50! x ) )
a
O
b
y

y ? f ?( x)

x

2.曲线 y ? x( x ? 1)(x ? 2)...(x ? 50) 在原点处的切线方程为( A. y ? 1275x B. y ? 502 x C. y ? 100x

3.设 a ? R ,若函数 y ? eax ? 3x , x ? R 有大于零的极值点,则( A. a ? ?3 B. a ? ?3
2

C. a ? ?

1 3

D. a ? ?

1 3

4. 已知 x ? 3 是函数 f ? x ? ? a ln ?1 ? x ? ? x ?10x 的一个极值点. (1)求 a ; (2)求函数 f ? x ? 的单调区间; (3)若直线 y ? b 与函数 y ? f ? x ? 的图象有 3 个交点,求 b 的取值范围.

36

第十讲
【知识要点】
1.证明不等式 2.恒成立问题

导数专题(一)

【典型例题】
x 1.证明: e ? 1 ? x ?

1 2 x ( x ? 0) . 2

2.设函数 f ( x) ? x2 ? b ln( x ? 1) ,其中 b ? 0 . (1)当 b ?

1 时,判断函数 f ( x ) 在定义域上的单调性; 2

(2)求函数 f ( x ) 的极值点; (3)证明对任意的正整数 n ,不等式 ln ?

?1 ? 1 1 ? 1? ? 2 ? 3 都成立. ?n ? n n

37

3.设 f ( x) ? ln x , g ( x) ? f ( x) ? f ?( x) . (1)求 g ( x) 的单调区间和最小值; (2)讨论 g ( x) 与 g ( ) 的大小关系; (3)求 a 的取值范围,使得 g (a) ? g ( x) <

1 x

1 对任意 x >0 成立. a

4.已知 f ? x ? ? x ln x , g ? x ? ? x ? ax ? x ? 2 .
3 2

(1)求函数的单调区间; (2)求函数 f ? x ? 在[t,t+2](t>0)上的最小值; (3)对一切的 x ? ? 0, ??? , 2 f ? x ? ? g? ? x ? ? 2 恒成立,求实数 a 的取值范围.

38

x 2 5.设函数 f ( x) ? x e ? 1 ? ax .

?

?

(1)若 a =

1 ,求 f ( x ) 的单调区间; 2

(2)若当 x ? 0 时 f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围.

6.设函数 f(x)=(x+1)ln(x+1),若对所有的 x≥0,都有 f(x)≥ax 成立,求实数 a 的取值范 围.

39

第十一讲
【知识要点】
双变量的不等式证明(或恒成立问题)

导数专题(二)

【典型例题】
1.证明:当 m>n>0 时, (1 ? m) n ? (1 ? n) m .

2.已知函数 f ? x ? ? ln 1 ? 2 x ? mx . (1) f ? x ? 为定义域上的单调函数,求实数 m 的取值范围; (2)当 m ? ?1 时,求函数 f ? x ? 的最大值; (3)当 m ? 1 时,且 1 ? a ? b ? 0 ,证明:

4 f ? a ? ? f ?b ? ? ? 2. 3 a ?b

40

3. 已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? ax ? (a ? 1) ln x, a ? 1 . 2

(1)讨论函数 f ( x ) 的单调性; (2)证明:若 a ? 5 ,则对任意 x 1 ,x 2 ? (0, ??) ,x 1 ? x 2 ,有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?1 . x1 ? x2

4. 已知函数 y ? f ( x) ? ? x 3 ? ax 2 ? b (a, b ? R) . (1)若函数 y=f(x)的图象切 x 轴于点(2,0) ,求 a、b 的值; (2)设函数 y=f(x) ( x ? (0,1)) 的图象上任意一点的切线斜率为 k,试求 k ? 1 的充要条件; (3)若函数 y=f(x)的图象上任意不同的两点的连线的斜率小于 1,求证 a ? 3 .

41

5.已知函数 f ( x) ? (a ? 1) ln x ? ax2 ? 1 . (1)讨论函数 f ( x) 的单调性; (2)设 a ? ?1 .如果对任意 x1 , x2 ? (0,??) , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4 | x1 ? x2 | ,求 a 的取值范围.

6.已知函数 f ? x ? ? x ?

a ? b? x ? 0 ? ,其中 a, b ? R . x

(1)若曲线 y ? f ?x ?在点 P?2, f ?2?? 处的切线方程为 y ? 3x ? 1 ,求函数 f ?x ? 的解析式; (2)讨论函数 f ?x ? 的单调性; (3)若对于任意的 a ? ? ,2? ,不等式 f ?x ? ? 10 对 x ? ? ,1? 上恒成立,求 b 的取值范围. 4 2

?1 ? ? ?

?1 ? ? ?

42

第十二讲
【知识要点】

导数专题(三)

双自变量的不等式证明与恒成立问题

【典型例题】
1. 已知函数 f ( x) ? ax3 ? cx ? d (a ? 0) 是 R 上的奇函数,当 x ? 1 时 f ( x) 取得极值 ? 2 . (1)求 f ( x) 的单调区间和极大值; (2)证明对任意 x1 , x2 ? ?? 1,1? ,不等式 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? 4 恒成立.

2. 设 f ? x ? ? e

x

? ax

2

? x ? 1? ,且曲线 y ? f ? x ? 在 x ? 1 处的切线与 x 轴平行.

(1)求 a 的值,并讨论 f ? x ? 的单调性; (2)证明:当 ? ? ?0,

? ?? 时, f ? cos ? ? ? f ? sin ? ? ? 2 . ? 2? ?

43

3. 设 f ? x ? ? px ?

q p ? 2 ln x ,且 f ? e ? ? qe ? ? 2 ( e 为自然对数的底数). x e

(1)求 p 与 q 的关系; (2)若 f ? x ? 在其定义域内为单调递增函数,求 p 的取值范围; (3)设 g ? x ? ?

2e 且 p ? 0 ,若在 ?1, e? 上至少存在一点 x0 ,使得 f ? x0 ? ? g ? x0 ? 成立,求实 x

数 p 的取值范围.

4. 已知函数 f ? x ? ?

4x2 ? 7 , x ??0, 1? . 2? x

(1)求 f ? x ? 的单调区间和值域;
2 2 ( 2 ) 设 a ? 1 , 函 数 g ? x ? ? x ? 3a x ? 2a,x ??01 1? , 总 存 在 , ? . 若 对 于 任 意 x1 ??0,

x0 ? ?0, 1? ,使得 g ? x0 ? ? f ? x1 ? 成立,求 a 的取值范围.

44

5. 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? (1)当 a ?

1? a ? 1(a ? R) . x

1 时,讨论 f ( x) 的单调性; 2 1 ( 2 ) 设 g ? x ? = x 2 ? 2bx ? 4 , 当 a = 时 , 若 对 任 意 x1 ? ? 0, 2? , 存 在 x2 ??1, 2 ? ,使 4

f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求实数 b 的取值范围.

2 3? x 6. 设 x ? 3 是函数 f ?x? ? x ? ax ? b e ?x ? R? 的一个极值点.

?

?

(1)求 a 与 b 的关系式(用 a 表示 b ) ,并求 f ?x ? 的单调区间; (2)设 a ? 0 , g ?x ? ? ? a 2 ? 求 a 的取值范围.

? ?

25 ? x ?e . 若存在 ? 1 , ? 2 ? ?0,4?,使得 f ??1 ? ? g ?? 2 ? ? 1 成立, 4 ?

45


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