江苏省南京市、盐城市2019届高三数学第二次模拟考试试题

2019 届高三年级第二次模拟考试 数 学

(满分 160 分,考试时间 120 分钟) 一、 填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分. 1. 已知集合 A={x|1<x<3},B={x|2<x<4},则 A∪B=________. 2. 若复数 z 满足 z = i(i 为虚数单位 ),且实部和虚部相等,则实数 a 的值为 a+2i

________. 3. 某药厂选取若干名志愿者进行临床试验,所有志愿者的舒张压数据(单位:kPa)的 分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序 分别编号为第一组,第二组,…,第五组.如图是根据试验数据制成的频率分布直方图,已 知第一组与第二组共有 20 人,则第三组的人数为________.

(第 3 题) (第 4 题) 4. 如图是某算法的伪代码,输出的结果 S 的值为________. 5. 现有 5 件相同的产品,其中 3 件合格,2 件不合格,从中随机抽检 2 件,则一件合 格,另一件不合格的概率为________. 6. 在等差数列{an}中,a4=10,前 12 项的和 S12=90,则 a18 的值为________. 7. x y 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知 A 是抛物线 y =4x 与双曲线 - 2=1(b>0)的一个 4 b
2 2 2

交点.若抛物线的焦点为 F,且 FA=5,则双曲线的渐近线方程为____________________. 8. π 若函数 f(x)=2sin(ω x+φ )(ω >0,0<φ <π )的图象经过点( ,2),且相邻两条 6

π π 对称轴间的距离为 ,则 f( )的值为________. 2 4 9. 已知正四棱锥 PABCD 的所有棱长都相等,高为 2 ,则该正四棱锥的表面积为 ________. 2 10. 已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 且当 x≥0 时, f(x)=x -5x, 则不等式 f(x -1)>f(x)的解集为________. 2 11. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(-1,0),B(5,0).若在圆 M:(x-4) +(y 2 -m) =4 上存在唯一一点 P,使得直线 PA,PB 在 y 轴上的截距之积为 5,则实数 m 的值为 ________. → 12. 已知 AD 是直角三角形 ABC 的斜边 BC 上的高, 点 P 在 DA 的延长线上, 且满足(PB+
1

→ → PC)·AD=4

→ → 2.若 AD= 2,则PB·PC的值为________.

?|x+3|, x≤0, ? 13. 已知函数 f(x)=? 3 设 g(x)=kx+1,且函数 y=f(x)-g(x)的 ? ?x -12x+3,x>0.

图象经过四个象限,则实数 k 的取值范围是________. 2 2 14. 在△ABC 中,若 sin C=2cos Acos B,则 cos A+cos B 的最大值为________. 二、 解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.解答时应写出文字说明,证明过程或演算 步骤. 15. (本小题满分 14 分) 设向量 a=(cos α ,λ sin α ),b=(cos β ,sin β ),其中 λ >0,0<α <β < +b 与 a-b 互相垂直. (1) 求实数 λ 的值; 4 (2) 若 a·b= ,且 tan β =2,求 tan α 的值. 5 π ,且 a 2

16. (本小题满分 14 分) 如图,在三棱柱 ABCA1B1C1 中,AB=AC,A1C⊥BC1,AB1⊥BC1,D,E 分别是 AB1 和 BC 的中 点.求证: (1) DE∥平面 ACC1A1; (2) AE⊥平面 BCC1B1.

2

17. (本小题满分 14 分) 某公园内有一块以 O 为圆心,半径为 20 米的圆形区域.为丰富市民的业余文化生活,现 提出如下设计方案:如图,在圆形区域内搭建露天舞台,舞台为扇形 OAB 区域,其中两个端 点 A,B 分别在圆周上;观众席为梯形 ABQP 内且在圆 O 外的区域,其中 AP=AB=BQ,∠PAB =∠QBA=120°,且 AB,PQ 在点 O 的同侧.为保证视听效果,要求观众席内每一个观众到舞 π 台 O 处的距离都不超过 60 米.设∠OAB=α ,α ∈(0, ).问:对于任意 α ,上述设计方 3 案是否均能符合要求?

3

18. (本小题满分 16 分) x y 2 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,且椭圆 C 短 a b 2 轴的一个顶点到一个焦点的距离等于 2. (1) 求椭圆 C 的方程; (2) 设经过点 P(2,0)的直线 l 交椭圆 C 于 A,B 两点,点 Q(m,0). ①若对任意直线 l 总存在点 Q,使得 QA=QB,求实数 m 的取值范围; ②设 F 为椭圆 C 的左焦点,若点 Q 为△FAB 的外心,求实数 m 的值.
2 2

4

19. (本小题满分 16 分) 2x-2 已知函数 f(x)=ln x- ,a>0. x-1+2a (1) 当 a=2 时,求函数 f(x)的图象在 x=1 处的切线方程; (2) 若对任意 x∈[1,+∞),不等式 f(x)≥0 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3) 若函数 f(x)存在极大值和极小值,且极大值小于极小值,求实数 a 的取值范围.

5

20. (本小题满分 16 分) * 2 n+1 n-1 已知数列{an}各项均为正数,且对任意 n∈N ,都有(a1a2…an) =a1 an+1. a2 (1) 若 a1,2a2,3a3 成等差数列,求 的值; a1 (2) ① 求证:数列{an}为等比数列; * n ② 若对任意 n∈N ,都有 a1+a2+…+an≤2 -1,求数列{an}的公比 q 的取值范围.

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2019 届高三年级第二次模拟考试(十) 数学附加题(本部分满分 40 分,考试时间 30 分钟) 21. 【选做题】 本题包括 A、B、C 三小题,请选定其中两小题,并作答.若多做,则 按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A. [选修 4-2:矩阵与变换](本小题满分 10 分) 已知矩阵 A=?

? 2 b ? ? 1 1 ? ? 2 1 ? ?,B=? ?,AB=? ?. ? a 3 ? ? 0 -1 ? ? 4 1 ?

(1) 求 a,b 的值; -1 (2) 求 A 的逆矩阵 A .

B. [选修 4-4:坐标系与参数方程](本小题满分 10 分)

?x=t, 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为? (t 为参数),曲线 C 的参数 ?y= 3t+2 ?x=cos θ , 方程为? (θ 为参数),P 是曲线 C 上的任意一点.求点 P 到直线 l 的距离的最大 ?y= 3sin θ
值.

C. [选修 4-5:不等式选讲](本小题满分 10 分) 解不等式:|2x-1|-x≥2.

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【必做题】第 22 题、第 23 题,每小题 10 分,共计 20 分.解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 如图是一旅游景区供游客行走的路线图,假设从进口 A 开始到出口 B,每遇到一个岔路 口,每位游客选择其中一条道路行进是等可能的.现有甲、乙、丙、丁共 4 名游客结伴到旅 游景区游玩,他们从进口 A 的岔路口就开始选择道路自行游玩,并按箭头所指路线行走,最 后到出口 B 集中,设 C 是其中的一个交叉路口点. (1) 求甲经过点 C 的概率; (2) 设这 4 名游客中恰有 X 名游客都是经过点 C, 求随机变量 X 的概率分布和数学期望.

23. (本小题满分 10 分) * 平面上有 2n(n≥3,n∈N )个点,将每一个点染上红色或蓝色.从这 2n 个点中,任取 3 个点,记 3 个点颜色相同的所有不同取法的总数为 T. (1) 若 n=3,求 T 的最小值; 3 (2) 若 n≥4,求证:T≥2Cn.

2019 届高三年级第二次模拟考试(南京、盐城) 数学参考答案 1.{x|1<x<4} 2.-2 3.18 4.16 5. 10. (-2,3) 11.± 21 3 2 3 6.-4 7.y=± x 8. 3 5 3 9.4+4 3

1? ? 12.2 13.?-9, ? 3? ?
8

14.

2+1 2
2 2

15. (1) 由 a+b 与 a-b 互相垂直,可得(a+b)·(a-b)=a -b =0, 2 2 2 所以 cos α +λ sin α -1=0.(2 分) 2 2 又因为 sin α +cos α =1, 2 2 所以(λ -1)sin α =0.(4 分) π 2 2 因为 0<α < ,所以 sin α ≠0,所以 λ -1=0. 2 又因为 λ >0,所以 λ =1.(6 分) (2) 由(1)知 a=(cosα ,sinα ). 4 4 由 a·b= ,得 cosα cosβ +sinα sinβ = , 5 5 4 即 cos(α -β )= .(8 分) 5 π π 因为 0<α <β < ,所以- <α -β <0, 2 2 3 2 所以 sin(α -β )=- 1-cos (α -β )=- .(10 分) 5 sin(α -β ) 3 所以 tan(α -β )= =- ,(12 分) cos(α -β ) 4 tan(α -β )+tanβ 1 因此 tanα =tan(α -β +β )= = .(14 分) 1-tan(α -β )tanβ 2 16. (1) 连结 A1B,在三棱柱 ABCA1B1C1 中,AA1∥BB1 且 AA1=BB1, 所以四边形 AA1B1B 是平行四边形. 又因为 D 是 AB1 的中点, 所以 D 也是 BA1 的中点.(2 分) 在△BA1C 中,D 和 E 分别是 BA1 和 BC 的中点,所以 DE∥A1C. 又因为 平面 ACC1A1,A1 平面 ACC1A1, 所以 DE∥平面 ACC1A1.(6 分) (2) 由(1)知 DE∥A1C,因为 A1C⊥BC1, 所以 BC1⊥DE.(8 分) 又因为 BC1⊥AB1,AB1∩DE=D,AB1, 平面 ADE,所以 BC1⊥平面 ADE. 又因为 平面 ADE,所以 AE⊥BC1.(10 分) 在△ABC 中,AB=AC,E 是 BC 的中点, 所以 AE⊥BC.(12 分) 因为 AE⊥BC1,AE⊥BC,BC1∩BC=B, BC1, 平面 BCC1B1, 所以 AE⊥平面 BCC1B1.(14 分) 17.过点 O 作 OH 垂直于 AB,垂足为 H. 在直角三角形 OHA 中,OA=20,∠OAH=α , 所以 AH=20cosα ,因此 AB=2AH=40cosα .(4 分) 由图可知,点 P 处的观众离点 O 最远.(5 分) 在三角形 OAP 中,由余弦定理可知

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2π ? ? 2 2 2 OP =OA +AP -2OA·AP·cos?α + ?(7 分) 3 ? ? 1 3 2 =400+(40cosα ) -2×20×40cosα ·(- cosα - sinα ) 2 2 =400(6cos α +2 3sinα cosα +1) =400(3cos2α + 3sin2α +4) π? ? =800 3sin?2α + ?+1600.(10 分) 3? ? π π ? π? 因为 α ∈?0, ?,所以当 2α = ,即 α = 时, 3? 6 12 ? (OP )max=800 3+1600, 即 OPmax=20 3+20.(12 分) 因为 20 3+20<60, 所以观众席内每一个观众到舞台 O 处的距离都不超过 60 米. (13 分) 故对于任意 α ,上述设计方案均能符合要求.(14 分) 2 ?c ? = , ?c=1, a 2 18. (1) 依题意得? 解得? ?a= 2, ? ?a= 2, 所以 b =a -c =1, x 2 所以椭圆 C 的方程为 +y =1.(2 分) 2 (2) 解法一:设直线的方程为 y=k(x-2), 2 2 2 2 代入椭圆 C 的方程,消去 y,得(1+2k )x -8k x+8k -2=0. 因为直线 l 交椭圆 C 于两点, 2 2 2 2 所以 Δ =(-8k ) -4(1+2k )(8k -2)>0, 解得- 2 2 <k< .(4 分) 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2

设点 A(x1,y1),B(x2,y2), 8k 8k -2 则 x1+x2= 2,x1x2= 2. 1+2k 1+2k ①设 AB 的中点为 M(x0,y0), x1+x2 4k 2k 则 x0= = 2,y0=k(x0-2)=- 2.(6 分) 2 1+2k 1+2k 当 k≠0 时,因为 QA=QB,所以 QM⊥l, 2k - 2-0 1+2k 即 kQM·k= ·k=-1. 2 4k - m 2 1+2k 2k 解得 m= 2.(8 分) 1+2k 2k 当 k=0 时,可得 m=0,符合 m= 2. 1+2k 2k 因此 m= 2. 1+2k
2 2 2 2

10

m 1 1 2 由 0≤k = < ,解得 0≤m< .(10 分) 2(1-m) 2 2 ②因为点 Q 为△FAB 的外心,且点 F(-1,0), 所以 QA=QB=QF. 2 2 2 ?(m+1) =(x-m) +y , 由?x2 2 +y =1, ? ?2
2

?

(12 分)

消去 y,得 x -4mx-4m=0, 所以 x1,x2 也是此方程的两个根, 所以 x1+x2=4m,x1x2=-4m.(14 分) 8k 8k -2 又因为 x1+x2= 2,x1x2= 2, 1+2k 1+2k 8k 8k -2 1 2 所以 2=- 2,解得 k = , 1+2k 1+2k 8 2k 1 所以 m= 2= .(16 分) 1+2k 5 解法二:①设点 A(x1,y1),B(x2,y2),AB 中点为 M(x0,y0). 2 x1 2 +y1=1, 2 依题意 2 两式作差, x2 2 +y2=1, 2
2 2 2 2 2

? ? ? ? ?



y1-y2 y0 1 × =- (x0≠0). x1-x2 x0 2

y1-y2 y0-0 又因为 =kAB= , x1-x2 x0-2 1 2 所以 y0=- x0(x0-2). 2 当 x0=0 时,y0=0, 1 2 符合 y0=- x0(x0-2).(ⅰ)(4 分) 2 又因为 QA=QB,所以 QM⊥l, 所以(x0-m)(x0-2)+(y0-0)(y0-0)=0, 2 即 y0=-(x0-m)(x0-2).(ⅱ)(6 分) 由(ⅰ)(ⅱ),解得 x0=2m, 2 2 因此 y0=2m-2m .(8 分) 因为直线 l 与椭圆 C 相交,所以点 M 在椭圆 C 内, (2m) 1 2 所以 +(2m-2m )<1,解得 m< . 2 2 又 y0=2m-2m ≥0,所以 0≤m≤1.
2 2 2

? 1? 综上,实数 m 的取值范围是?0, ?.(10 分) ? 2?
②因为点 Q 为△FAB 的外心,且点 F(-1,0), 所以 QA=QB=QF.

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(m+1) =(x-m) +y , ? ? 2 由?x 消去 y, 2 +y =1 ? ?2 得 x -4mx-4m=0.(ⅲ)(12 分) x0 当 y0≠0 时,则直线 l 为 y=- (x-2),代入椭圆的方程, 2y0 得(2y0+x0)x -4x0x+4x0-4y0=0. 2 将(ⅰ)代入上式化简得 x -2x0x+3x0-2=0.(ⅳ) 当 y0=0 时,此时 x0=0,x1=- 2,x2= 2也满足上式.(14 分) x0 2 由①可知 m= ,代入(ⅲ)化简得 x -2x0x-2x0=0.(ⅴ) 2 因为(ⅳ)(ⅴ)是同一个方程, 2 所以 3x0-2=-2x0,解得 x0= , 5 x0 1 所以 m= = .(16 分) 2 5 2x-2 1 8 1 19. (1) 当 a=2 时,f(x)=lnx- ,f′(x)= - 2,则 f′(1)= . x+3 x (x+3) 2 1 又因为 f(1)=0,所以函数 f(x)的图象在 x=1 处的切线方程为 y= (x-1), 2 即 x-2y-1=0.(2 分) 2x-2 (2) 因为 f(x)=lnx- , x-1+2a 1 4a 所以 f′(x)= - 2 x (x-1+2a) = x -2x+4a -4a+1 (x-1) +4a -4a = ,(4 分) 2 2 x(x-1+2a) x(x-1+2a)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

2

且 f(1)=0.因为 a>0,所以 1-2a<1. 2 ①当 4a -4a≥0,即 a≥1 时, 因为 f′(x)>0 在区间(1,+∞)上恒成立, 所以函数 f(x)在区间(1,+∞)上单调递增. 当 x∈[1,+∞)时,f(x)≥f(1)=0, 所以 a≥1 满足条件.(6 分) 2 ②当 4a -4a<0,即 0<a<1 时, 由 f′(x)=0,得 x1=1-2 a-a ∈(0,1), 2 x2=1+2 a-a ∈(1,+∞), 当 x∈(1,x2)时,f′(x)<0, 则函数 f(x)在区间(1,x2)上单调递减, 所以当 x∈(1,x2)时,f(x)<f(1)=0,这与 x∈[1,+∞)时,f(x)≥0 恒成立矛盾, 所以 0<a<1 不满足条件. 综上,实数 a 的取值范围为[1,+∞).(8 分) (3) ①当 a≥1 时, 因为函数 f′(x)≥0 在区间(0,+∞)上恒成立, 所以函数 f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,
2

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所以函数 f(x)不存在极值, 所以 a≥1 不满足条件;(9 分) 1 ②当 <a<1 时,1-2a<0, 2 所以函数 f(x)的定义域为(0,+∞), 由 f′(x)=0,得 x1=1-2 a-a ∈(0,1), 2 x2=1+2 a-a ∈(1,+∞). 列表如下:
2

由于函数 f(x)在区间(x1,x2)是单调减函数,此时极大值大于极小值,不合题意, 1 所以 <a<1 不满足条件.(11 分) 2 1 ③当 a= 时,由 f′(x)=0,得 x=2. 2 列表如下:

此时函数 f(x)仅存在极小值,不合题意, 1 所以 a= 不满足条件.(12 分) 2 1 ④当 0<a< 时,函数 f(x)的定义域为(0,1-2a)∪(1-2a,+∞), 2 且 0<x1=1-2 a-a <1-2a, 2 x2=1+2 a-a >1-2a. 列表如下:
2

所以函数 f(x)存在极大值 f(x1)和极小值 f(x2),(14 分) 此 时 f(x1) - f(x2) = lnx1 - 2x1-2 2x2-2 x1 - lnx2 + = ln - x1-1+2a x2-1+2a x2

4a(x1-x2) . (x1-1+2a)(x2-1+2a)

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因为 0<x1<1-2a<x2, x1 所以 ln <0,x1-x2<0,x1-1+2a<0,x2-1+2a>0, x2 所以 f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2), 1 所以 0<a< 满足条件. 2

? 1? 综上,实数 a 的取值范围为?0, ?.(16 分) ? 2?
20. (1) 因为(a1a2) =a1a3,所以 a2=a1a3, 因此 a1,a2,a3 成等比数列.(2 分) 设公比为 t,因为 a1,2a2,3a3 成等差数列, a2 a3 所以 4a2=a1+3a3,即 4× =1+3× , a1 a1 1 2 于是 4t=1+3t ,解得 t=1 或 t= , 3 a2 1 所以 =1 或 .(4 分) a1 3 (2) ①因为(a1a2…an) =a1 an+1, 2 n+2 n 所以(a1a2…anan+1) =a1 an+2, 两式相除得 a
n+1 n 2 n+1 2 n+1 n-1 2 3 2

an+2 =a1· n-1, an+1

n

即 an+1=a1an+2,(*)(6 分) n+2 n+1 由(*),得 an+2=a1an+3,(**) an+2 an+3 (*)(**)两式相除得 n+1= n , an+1 an+2 即 an+2 =an+1an+3, 2 所以 an+2=an+1an+3, 2 * 即 an+1=anan+2,n≥2,n∈N ,(8 分) 2 2 * 由(1)知 a2=a1a3,所以 an+1=anan+2,n∈N , 因此数列{an}为等比数列.(10 分) ②当 0<q≤2 时, 由 n=1 时,可得 0<a1≤1, n-1 n-1 所以 an=a1q ≤2 , n-1 n 因此 a1+a2+…+an≤1+2+…+2 =2 -1, 所以 0<q≤2 满足条件.(12 分) 当 q>2 时, a1(1-q ) n n 由 a1+a2+…+an≤2 -1,得 ≤2 -1, 1-q 整理得 a1q ≤(q-1)2 +a1-q+1.(14 分) 因为 q>2,0<a1≤1,所以 a1-q+1<0, n ?q? q-1, n n 因此 a1q <(q-1)2 ,即? ? < ?2? a1
n n n 2n+2 n+1 n+1 n+2 n+1

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q qq-1 * 由于 >1,因此 n<log ,与任意 n∈N 恒成立相矛盾, 2 2 a1 所以 q>2 不满足条件. 综上,公比 q 的取值范围为(0,2].(16 分) 21.A. (1) 因为 A=?

? 2 b ? ? 1 1 ? ? 2 1 ? ?,B=? ?,AB=? ?, ? a 3? ? 0 -1 ? ? 4 1 ?

2-b=1, ? ? ? ?b=1, 所以?a=4, 即? (4 分) ?a=4. ? ? ?a-3=1, (2) 因为|A|=2×3-1×4=2,(6 分) 3 1 - ? 3 -1 2 2 -1 2 所以 A = =? 2 ? 4 2 - ? -2 1 2 2

? ? ? ?

? ? ? ?

? ?.(10 分) ? ?

?x=t, B.直线 l 的参数方程为? (t 为参数),化为普通方程为 3x-y+2=0.(2 分) ?y= 3t+2
设点 P(cosθ , 3sinθ ), 则点 P 到直线 l 的距离 d=

? 6cos?θ +π ?+2? ? ? ? 4? | 3cosθ - 3sinθ +2| ? ? ? ?
( 3) + 1
2



2

,(6 分)

π? π ? 取 θ =- 时,cos?θ + ?=1,此时 d 取最大值, 4? 4 ? 所以距离 d 的最大值为 6+2 .(10 分) 2

1 C.当 x≥ 时,由 2x-1-x≥2,得 x≥3.(4 分) 2 1 1 当 x< 时,由 1-2x-x≥2,得 x≤- .(4 分) 2 3 1 综上,原不等式的解集为{x|x≥3 或 x≤- }.(10 分) 3 22. (1) 设“甲从进口 A 开始到出口 B 经过点 C”为事件 M, 1 1 甲选中间的路的概率为 ,在前面从岔路到达点 C 的概率为 ,这两个事件相互独立,所 3 2 1 1 1 以选择从中间一条路走到点 C 的概率为 P1= × = .(2 分) 3 2 6 1 1 1 同理,选择从最右边的道路走到点 C 的概率为 P2= × = . 3 2 6 因为选择中间道路和最右边道路行走的两个事件彼此互斥, 1 1 1 所以 P(M)=P1+P2= + = . 6 6 3

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1 故甲从进口 A 开始到出口 B 经过点 C 的概率 .(4 分) 3 (2) 随机变量可能的取值 X=0,1,2,3,4,(5 分) 0 4 ?1? ?2? 16 0 则 P(X=0)=C4×? ? ×? ? = , ?3? ?3? 81 1 3 ?1? ?2? 32 1 P(X=1)=C4×? ? ×? ? = , ?3? ?3? 81 2 2 ?1? ?2? 24 2 P(X=2)=C4×? ? ×? ? = , ?3? ?3? 81 3 1 8 ?1? ?2? 3 P(X=3)=C4×? ? ×? ? = , ?3? ?3? 81 4 0 1 ?1? ?2? 4 P(X=4)=C4×? ? ×? ? = ,(8 分) ?3? ?3? 81 概率分布为: X P 0 16 81 1 32 81 2 24 81 3 8 81 4 1 81

16 32 24 8 1 4 数学期望 E(X)=0× +1× +2× +3× +4× = .(10 分) 81 81 81 81 81 3 23. (1) 当 n=3 时,共有 6 个点, 若染红色的点的个数为 0 或 6, 3 则 T=C6=20; 若染红色的点的个数为 1 或 5, 3 则 T=C5=10; 若染红色的点的个数为 2 或 4, 3 则 T=C4=4; 3 3 若染红色的点的个数为 3,则 T=C3+C3=2; 因此 T 的最小值为 2.(3 分) * k k (2) 首先证明:任意 n,k∈N ,n≥k,有 Cn+1>Cn. k k k-1 k k 证明:因为 Cn+1-Cn=Cn >0,所以 Cn+1>Cn. 设这 2n 个点中含有 p(p∈N,p≤2n)个染红色的点, ①当 p∈{0,1,2}时, T=C2n-p≥C2n-2=
3 3

(2n-2)(2n-3)(2n-4) 6

(n-1)(n-2)(2n-3) =4× . 6 因为 n≥4,所以 2n-3>n,

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n(n-1)(n-2) 3 3 所以 T>4× =4Cn>2Cn.(5 分) 6 ②当 p∈{2n-2,2n-1,2n}时, 3 3 T=Cp≥C2n-2, 3 同理可得 T>2Cn.(6 分) ③当 3≤p≤2n-3 时, 3 3 T=Cp+C2n-p, 3 3 设 f(p)=Cp+C2n-p,3≤p≤2n-3, 当 3≤p≤2n-4 时, 3 3 3 3 2 2 f(p+1)-f(p)=Cp+1+C2n-p-1-Cp-C2n-p=Cp-C2n-p-1, 显然 p≠2n-p-1, 当 p>2n-p-1 即 n≤p≤2n-4 时,f(p+1)>f(p), 当 p<2n-p-1 即 3≤p≤n-1 时,f(p+1)<f(p), 即 f(n)<f(n+1)<…<f(2n-3);f(3)>f(4)>…>f(n); 3 3 因此 f(p)≥f(n)=2Cn,即 T≥2Cn. 3 综上,当 n≥4 时,T≥2Cn.(10 分)

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