山东省聊城市2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题解析

2017-2018 学年度第二学期期中教学质量检测 高一数学试题(A 卷)
第Ⅰ卷(选择题 共 40 分) 一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分)
1. 某企业有职工 人,其中高级职称 人,中级职称 人,一般职员 人,现抽取 人进行分层抽样,则 ) C. D.

各职称人数分别为( A. 【答案】B B.

【解析】分析:先计算抽样比,再逐个计算每层需要抽取的人数. 详解:由题意可得:抽样比为 所以高级职称 中级职称 一般职员 人, 人, 人,故选 B. ,

点睛:本题考查分层抽样等知识,意在考查学生的计算能力. 2. 有五条线段长度分别为 ( A. ) B. C. D. 从这 条线段中任取 条,则所取 条线段能构成一个三角形的概率为

【答案】B 【解析】分析:先把所有的组合一一列举出来,然后再检验哪几组可以构成三角形. 详解:由题意可得:所有的组合为

共 10 种,可以构成三角形的有 3 组,所以概率为 . 点睛:本题考查古典概型等知识,解决本题的关键在于正确列举所有的组合,意在考查学生的分析、 计算能力. 3. 若点 为角 终边上一点,则 等于( )

A. 【答案】D

B.

C.

D.

【解析】分析:利用任意角三角函数的定义可得 的值. 详解:因为点 所以 在角 . 的终边上,

4. 若是 第二象限角,则 A. B. C. D.

化简的结果是(



【答案】A 【解析】分析:先对代数式 详解:因为 第二象限角, 所以 通分,再根据角 的取值范围去掉根号,即可得到答案.

. 点睛:本题考查三角函数值的符号等知识,意在考查学生的分析、转化能力. 5. 把函数 A. 【答案】D 【解析】分析:用 代换题中的 ,即可得到要求的函数的解析式. 的图象向右平移 个单位得到的函数解析式为( B. C. D. )

详解:因为

所以

.

点睛:本题考查三角函数图像的平移等知识,解决本题的关键在于牢记图像左右平移变换的规律. 6. 已知 则 等于( )

A.

B.

C.

D.

【答案】C 【解析】分析:首先根据条件得出 的值. 详解: . 用 和 来表示, ,然后根据三角恒等变换公式即可得到

点睛:本题考查三角恒等变换等知识,在解题的过程中关键在于角的拼凑,把 体现了整体的思想. 7. 若四边形 A. 菱形 【答案】A 【解析】分析:首先由 详解:因为 所以四边形 又因为 所以 , 为菱形. ,所以 得到四边形为平行四边形,再由 , 满足 B. 矩形 C. 正方形 D. 直角梯形 则该四边形一定是( )

得到四边形为菱形.

为平行四边形; ,

所以所以平行四边形

点睛:本题考查平面向量的应用等知识,意在考查学生的理解、分析能力. 8. 已知向量 A. 【答案】B 【解析】分析:首先由向量平行确定向量 的坐标,再求向量 详解:因为 所以 所以 . ,所以 ; ,即 ; 的模长. B. C. 且 ,则 D. ( )

点睛:1、本题考查向量共线、向量的坐标运算等知识,意在考查学生的分析、计算能力. 解决本题的关键在于熟练掌握向量平行的坐标表示; 熟记向量坐标的加减运算与向量模长的坐标运算.

9. 如图是某篮球联赛中,甲、乙两名运动员 12 个场次得分的茎叶图.设甲、乙两人得分的平均数分别为神 中位数分别为 则( )

A. C. 【答案】C

B. D.

【解析】分析:首先根据茎叶图得到甲、乙两运动员的分数即可得到两人的平均数,然后按照从小到大的 顺序找到中间两位取平均数即可得到两人的中位数. 详解:由题意可得:

,所以

.

点睛:本题考查茎叶图的应用等知识,意在考查学生的分析、计算能力. 10. 关于函数 有下列命题:①函数 的表达式可改写为 ②函数

是以 为最小正周期的周期函数;③函数 点 A. 对称;④函数 B. C. 的图象关于直线 D.

的图象关于 对称其中正确的命题有( )个.

【答案】B 【解析】分析:首先利用三角函数的诱导公式可以验证①是正确的;根据三角函数的周期公式得到②是错 误的;根据三角函数的性质可得到③④的正误. 详解:因为 以②错误;由 ,可得 ,所以④正确. 点睛:1、本题考查三角函数的诱导公式以及三角函数的性质等知识,意在考查学生的综合能力. ,所以①正确;函数的周期为 ,所以③错误;由 ,所 ,可得

2、解决本题的关键在于熟练记忆运用三角函数的诱导公式、三角函数的性质; 3、求函数 . 的对称中心需令 ,求函数 的对称轴需令

第Ⅱ卷(非选择题

共 80 分)

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分。 )
11. 为了了解 1200 名在校就餐的学生对学校食堂饭菜质量的意见,打算从中抽取一个容量为 的样本,采 取选取的号码间隔一样的系统抽样的方法来确定所选取的样本,则抽样的间隔应该是 【答案】 【解析】分析:利用公式 即可得到抽样间隔. . __________.

详解:由题意可得:抽样间隔为

点睛:本题考查系统抽样等知识,意在考查学生的应用能力. 12. 在 的水中有一个草履虫,现从中随机取出 水样放到显微镜下观察,则发现草履虫的概率是

__________. 【答案】 【解析】分析:利用几何概型的公式即可得到相应概率. 详解:由题意可得:发现草履虫的概率为 .

点睛:本题考查几何概型等知识,意在考查学生的分析能力. 13. 已知一扇形的半径为 ,面积为 则此扇形圆心角的绝对值为__________弧度. 【答案】 【解析】分析:先设出圆心角 ,利用扇形的面积公式即可得到圆心角的值. 详解:由题意可得:扇形的面积 ,所以 .

点睛:1、本题考查扇形的面积公式等知识,意在考查学生的应用能力. 2、解答本题关键是熟记弧度制下的面积公式; 3、在相应题目下区分弧度制和角度制公式哪个更简捷、方便. 14. 函数 【答案】 的最小值是__________.

学 ¥科¥网...学¥科¥网...学¥科¥网...学¥科¥网...学¥科¥网...学¥科¥网... 详解:因为 令 ,所以 , 上为减函数, , ,

因为函数的对称轴为 所以函数在 所以当 上为增函数,在 时有最小值 2.

点睛:1、本题考查二次函数、三角函数等知识,意在考查学生的转化、应用能力. 解答本题关键是把三角函数的问题转化成二次函数的问题; 3、换元后注意新变量的取值范围; 15. 已知 (1) 分别是 ; (2) 的边 ; (3) 的中点,且 ; (4) 则 ,

其中正确的等式是__________. 【答案】 【解析】分析:由平面向量的三角形法则以及平行四边形法则可以验证等式的正误. 详解: 因为 所以 正确;因为 , 所以 (1) 错误; 因为 ,所以 正确;因为 ,所以 正确. ,

点睛:1、本题考查平面向量的基本定理的应用等知识,意在考查学生的分析问题、解决问题的能力. 2、在解答此类问题时,熟练掌握向量的三角形法则、平行四边形法则是解题的关键. 3、用向量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,并运用该基底表示向量,再通过向量 的运算来解决.

三、解答题 (本大题共 5 小题,共 60 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16. (Ⅰ) 已知 计算 的值.

(Ⅱ)已知





的值.

【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)

【解析】分析: (Ⅰ)先利用三角函数的诱导公式化简代数式

,然后分子分母同除



代入 值.

的值即可求值.(Ⅱ)根据条件先求

的值,然后再结合

,即可求得



详解:(I)原式 (Ⅱ)因为 所以 ①,两边平方得 解得 即 因为 所以

②,联立①②可得,

点睛:本题考查三角函数的诱导公式以及同角三角函数的基本关系等知识,意在考查学生的转化、 运算的能力. 17. 已知 (I) 在直角坐标系中用“五点画图法”画出 (Ⅱ)直接写出函数 的单调递增区间以及 一个周期的图象 (要求列表、 描点, 自己设定横轴单位长度) 取最大值时的所有 值的集合.

【答案】(Ⅰ)答案见解析;(Ⅱ)答案见解析. 【解析】分析: (I)通过列表找出一个周期内的五个关键点,在坐标系中描出这五个点,然后用一条 平滑的曲线连接即可;(Ⅱ)由正弦函数的性质即可得到要求的答案. 详解: (I)列表:

描点、画图:

(Ⅱ)

的单调增区间是:

(可写开区间)

取得最大值时的所有 值的集合为: 点睛:1、解答本题的关键是牢记五点作图的步骤,并且区间端点的图像不要超出端点; 2、三角函数的性质是重点也是考点,要牢记,运用要熟练; 3、要熟练掌握三角函数的图像,要注重知识间的联系. 18. 如图,从参加环保知识竞赛的学生中抽出 名,将其成绩(均为整数)整理后画出的频率分布直方图如 下:观察图形,回答下列问题:

(I)79.5~89.5 这一组的频数、频率分别是多少? (Ⅱ)估计这次环保知识竞赛的及格率(60 分及以上为及格) 【答案】(Ⅰ)频数为 、频率 ;(Ⅱ) .

【解析】试题分析: (1)利用频率分布直方图中,纵坐标与组距的乘积是相应的频率,频数=频率× 组距, 可得结论; (2)纵坐标与组距的乘积是相应的频率,再求和,即可得到结论. 10=0.25,频数:60× 0.25=15; 试题解析: (1)由频率的意义可知,成绩在 79.5~89.5 这一组的频率为:0.025× 10+0.025× 10+0.03× 10+0.005× 10=0.75 平均 (2) 利用纵坐标与组距的乘积是相应的频率可得及格率为 0.015× 分为: 70.5

考点:用样本的频率分布估计总体分布;频率分布直方图. 视频 19. 某游艇制造厂研发了一种新游艇,今年前 5 个月的产量如下:

(1)设 关于 的回归直线方程为 计该厂 月份的产量; (计算结果精确到 )

现根据表中数据已经正确计算出了 的值为

,试求 的值,并估

(Ⅱ)质检部门发现该厂 月份生产的游艇都存在质量问题,要求厂家召回;现有一旅游公司曾向该厂购买 了今年前两个月生产的游艇 艘,求该旅游公司有游艇被召回的概率. 【答案】(Ⅰ)答案见解析;(Ⅱ) . 【解析】分析:(Ⅰ)根据表格求出 的平均值,代入回归方程即可求出 的值,进而可求出该厂 月份的产

量;(Ⅱ)先有区别的设出一、二月份游艇编号,然后列举出可能的结果,再找出符合要求的组合,即可求 出事件的概率. 详解:(1) 因为回归直线 所以 当 过点 时, 所以

所以估计该厂 月份的产量为 艘. (Ⅱ)法一 设一月份生产的 艘游艇为 ,二月份生产的 艘游艇为

旅游公司向该厂购买了一、二月份生产的两艘游艇的所有可能结果有 共三种, 其中 艘游艇全为二月份生产的结果有 所以两艘游艇全部为二月份生产的概率为 所以两艘游艇中至少一艘为一月份生产的概率为 即该旅游公司有游艇被召回的概率为而 . 法二 设一月份生产的 艘游艇为 二月份生产的 艘游艇为 , 共 3 种,

旅游公司向该厂购买了一、二月份生产的两艘游艇的所有可能结果有 共 10 种,其中,两艘游艇中至少一艘为一月份生产的结果

有 所以两艘游艇中至少一艘为一月份生产的概率为 即该旅游公司有游艇被召回的概率为 .

共 7 种, ,

点睛:1、本题考查了回归直线、古典概型等知识,意在考查学生的计算求解以及综合运用的能力; 2、解答本题的关键一是计算要过关,二是回归直线经过样本中心这一结论要熟悉; 3、古典概型的计算在列举时注意方法要做到不重不漏. 20. 已知函数 取得最小值 . (I)求函数 (Ⅱ)求函数 (Ⅲ3)若 【答案】(Ⅰ) 的解析式; 的单调递减区间; 时,函数 ;(Ⅱ) 有两个零点,求实数 的取值范围. ;(Ⅲ) . 的值;(Ⅱ)由性质可得到函数 的单 在同一周期内,当 时, 取得最大值 ;当 时

【解析】分析:(Ⅰ)由函数的最值以及取最值时 的值可得

调递减区间;(Ⅲ)分离参量构造函数,把零点的问题转化成函数图像交点个数的问题,结合图像即可得到 答案. 详解: (I)根据题意可得 由 可得 (Ⅱ)由 故函数的减区间为 (Ⅲ) 故 即函数 再由 时,函数 有 个实数根. 的图象和直线 ,结合函数 有 个交点. 的图象可得, ,故函数 ,求得 . 有两个零点, , ,周期 ,以及 ,

计算得出 即实数 的取值范围是

, .

点睛:1、本题考查了三角函数的性质及其应用等知识,意在考查学生的分析转化能力以及数形结合 的思想; 2、三角函数的性质、数形结合的思想掌握要熟练; 3、求出三角函数的单调区间、对称轴、对称中心后要注意加上 .


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