【高中数学】2018-2019学年人教B版高中数学-必修三-课时跟踪检测(十九)几何概型随机数的含义与应用

课时跟踪检测(十九) 几何概型 随机数的含义与应用 1.已知地铁列车每 10 min 一班,在车站停 1 min,则乘客到达站台立即乘上车的概率是 ( ) 1 A. 10 1 C. 11 1 B. 9 1 D. 8 解析:选 A 试验的所有结果构成的区域长度为 10 min,而构成事件 A 的区域长度为 1 1 min,故 P(A)= . 10 2.如图,矩形 ABCD 中,点 E 为边 CD 的中点,若在矩形 ABCD 内 随机取一个点 Q,则点 Q 取自△ABE 内部的概率等于( 1 A. 4 1 C. 2 1 B. 3 2 D. 3 ) 部 解析:选 C △ABE 的面积是矩形 ABCD 面积的一半,由几何概型知,点 Q 取自△ABE 内 1 部的概率为 . 2 3.如图所示, 一半径为 2 的扇形(其中扇形中心角为 90° ), 在其内部随 机地撒一粒黄豆,则它落在阴影部分的概率为( 2 A. π 1 C. 2 1 解析:选 D S 扇形= ×π×22=π, 4 1 S 阴影=S 扇形-S△OAB=π- ×2×2=π-2, 2 π-2 2 ∴P= =1- . π π 4.在区间[-1,1]上任取两数 x 和 y,组成有序实数对(x,y),记事件 A 为“x2+y2<1”, 则 P(A)为( π A. 4 C .π ) π B. 2 D.2π 1 B. π 2 D.1- π ) 解析:选 A 如图,集合 S={(x,y)|-1≤x≤1,-1≤y≤1},则 S 中 每个元素与随机事件的结果一一对应,而事件 A 所对应的事件(x,y)与圆 x2 π +y2=1 内的点一一对应,所以 P(A)= . 4 5.方程 x2+x+n=0(n∈(0,1))有实根的概率为________. 解析:由于方程 x2+x+n=0(n∈(0,1))有实根, 1 ∴Δ≥0,即 1-4n≥0,∴n≤ , 4 又 n∈(0,1),∴有实根的概率为 P= 1 答案: 4 6. 在 400 毫升自来水中有一个大肠杆菌, 今从中随机取出 2 毫升水样放到显微镜下观察, 则发现大肠杆菌的概率为________. 解析: 大肠杆菌在 400 毫升自来水中的位置是任意的, 且结果有无限个, 属于几何概型. 设 取出 2 毫升水样中有大肠杆菌为事件 A, 则事件 A 构成的区域体积是 2 毫升, 全部试验结果构 成的区域体积是 400 毫升, 2 则 P(A)= =0.005. 400 答案:0.005 7.在棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1 内任取一点 P,则点 P 到点 A 的距离小于等于 a 的概率为________. 解析:点 P 到点 A 的距离小于等于 a 可以看做是随机的,点 P 到点 A 的距离小于等于 a 可视作构成事件的区域,棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1 可视做试验的所有结果构成的区 域,可用“体积比”公式计算概率. 1 4 3 × πa 8 3 1 P= = π. 3 a 6 1 答案: π 6 8.如图,射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的分环.从外向内依次为白 色、黑色、蓝色、红色,靶心为金色.金色靶心叫“黄心”.奥运会的 比赛靶面直径为 122 cm, 靶心直径为 12.2 cm.运动员在 70 m 外射箭. 假 设运动员射的箭都能中靶,且射中靶面内任一点都是等可能的,那么射 中黄心的概率为多少? 1 解:记“射中黄心”为事件 B,由于中靶点随机地落在面积为 ×π×1222 cm2 的大圆内, 4 1 而当中靶点落在面积为 ×π×12.22 cm2 的黄心时, 事件 B 发生, 于是事件 B 发生的概率为 P(B) 4 1 = . 1-0 4 1 4 1 ×π×12.22 4 = =0.01. 1 ×π×1222 4 即“射中黄心”的概率是 0.01. 9.已知圆 C:x2+y2=12,直线 l:4x+3y=25. (1)求圆 C 的圆心到直线 l 的距离; (2)求圆 C 上任意一点 A 到直线 l 的距离小于 2 的概率. 解:(1)由点到直线 l 的距离公式可得 d= 25 42+32 =5. (2)由(1)可知圆心到直线 l 的距离为 5,要使圆上的点到直线的距离小于 2,设与圆相交且 与直线 l 平行的直线为 l1,其方程为 4x+3y=15.则符合题意的点应在 l1:4x+3y=15 与圆相 交所得劣弧上,由半径为 2 3,圆心到直线 l1 的距离为 3 可知劣弧所对圆心角为 60° . 60° 1 故所求概率为 P= = . 360° 6

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