高二理科数学下册期中教学质量检测试题7

江西省瑞昌一中 09-10 学年高二下学期期中考试 数学(理科)
命题人 张军 审题人 曾庆宝 2010 年 5 月
一、选择题(本大题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分) 1.若复数 z ? (1 ? i)2 ? A.1

2 ,则 z 的虚部等于( ) 1? i B.3 C. i D. 3i
) D.15

2. (2 x ? 1)6 展开式中含 x 2 项的系数为( A.240 B.120 C.60

3.某班级要从 4 名男生、2 名女生中选派 4 人参加某次社区服务,如果要求至少有 1 名女生, 那么不同的选派方案种数为( A.14 B.24 C.28 ) D.48 )

4.用 S 表示图中阴影部分的面积,则 S 的值是(

A. ? f ( x)dx
a

c

B.

?
c b

b a

f ( x)dx + ? f ( x)dx
b b

c

C.

?

c a

f ( x)dx

D. ? f ( x)dx - ? f ( x)dx
a

5.用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个大于 60°”时,反设正确的是( A.假设三个内角都不大于 60° B.假设三个内角都大于 60°

)

C.假设三个内角至多有一个大于 60° D.假设三个内角至多有两个大于 60° 6. F (n) 是一个关于自然数 n 的命题,若 F (k ) 真,则 F (k ? 1) 真,现已知 F (20) 不真,那么: ① F (21) 不真; F (19) 不真; F (21) 真; F (18) 不真; F (18) 真. ② ③ ④ ⑤ 其中正确的结论为 ( A.②④
n



B.①②

C.③⑤

D.①⑤

3 ? 2 i ? 2 7.已知 ? x ? ? 的展开式中第三项与第五项的系数之比为- 14 ,其中 i =-1,则展开式中 x? ?
常数项是( A.-45i ) B. 45i C.-45 D.45 )

8.用数字 1,2,3,4,5 组成一个三位数(允许重复) ,其各数字之和等于 9 的概率为( A.

13 125

B.

16 125

C.

18 125

D.

19 125

9.抛掷甲、乙两骰子,若事件 A 表示“甲骰子的点数小于 3” ;事件 B 表示“甲、乙两骰子的 点数之和等于 6” ,则 P(B|A)的值等于( A. )

1 3

B.

1 18

C.

1 6

D.

1 9

10.已知 c ? 1 , a ? c ? 1 ? c , b ? A. a ? b B. a ? b

c ? c ? 1 ,则正确的结论是(
C. a ? b D. a , b 大小不确定



11.设 0< a <b,且 f (x)= A.f ( a )< f (

1? 1? x ,则下列大小关系式成立的是( x
a?b )<f (b)< f ( ab ) 2 a?b D.f (b)< f ( )<f ( ab ) 2
B.f (

)

a?b )<f ( ab ) 2 a?b C.f ( ab )< f ( )<f ( a ) 2

12.右图是函数 y ? f ( x) 的导函数 y ? f ?( x) 的图象, 给出下列命题: ① ?3 是函数 y ? f ( x) 的极值点; ② ? 1 是函数 y ? f ( x) 的最小值点; ③ y ? f ( x) 在 x ? 0 处切线的斜率小于零; ④ y ? f ( x) 在区间 (?3, 1) 上单调递增. 则正确命题的序号是( A.①② B.①④ ) C.②③ D.③④
-3 -2 -1 O 1 x y

二、填空题(本大题共 4 小题,每题 4 分,共 16 分)

a a1 a2 ? 2 ? ? ? 2010 的值为________ 2 2 22010 1 3 1 1 5 1 1 1 7 , 1? 2 ? 2 ? , 1? 2 ? 2 ? 2 ? 14.观察下列式子 1 ? 2 ? , ?? , 2 2 2 3 3 2 3 4 4
13.若 (1 ? 2x)2010 ? a0 ? a1x ? ?? a2010 x2010 ( x ? R) ,则 则可归纳出________________________________ 15.由图(1)有面积关系: S ?PA?B ? ? PA? ? PB ?, 则由(2) 有体积关系: VP ? A?B ?C ? ? VP ? ABC S ?PAB PA ? PB

.

16.对于任意正整数 n ,定义“ n !! ”如下:
· · · ··· · · · · ·· 当 n 是偶数时, n!! ? n (n ? 2) (n ? 4) ? 6 4 2 , 当 n 是奇数时, n!! ? n (n ? 2) (n ? 4) ? 5 3 1 .

现在有如下四个命题:① 2002!! 的个位数是 0; ② 2003!! 的个位数是 5;
· ③ (2003!!) (2002!!) ? 2003 ? 2002 ? ? ? 3 ? 2 ? 1 ; ④ 2002!! ? 21001 ? 1001 ? 1000 ? ? ? 3 ? 2 ? 1;

其中正确的命题有________________(填序号) 三、解答题(本大题共 6 个小题,满分 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (12 分)5 名男生、2 名女生站成一排照相: (Ⅰ)两名女生都不站在两端,有多少不同的站法? (Ⅱ)女生甲不在左端,女生乙不在右端,有多少种不同的站法? (Ⅲ)两名女生甲乙要相邻,且不与男生丙相邻,有多少种不同的站法?

18. (12 分)有 12 件产品,其中 4 件是次品,其余都是合格品,现不放回的从中依次抽 5 件. (Ⅰ)求抽出的 5 件中恰有 2 件次品的概率; (Ⅱ)用 X 表示抽出的 5 件中次品的件数,写出 X 的分布列; (Ⅲ)求在第一次抽到次品的条件下,第二次抽到次品的概率. (以上各数值用分数表示)

19. (12 分)已知函数 f ? x ? ? a ln ? x ? 1? ? (Ⅰ)求 a 的值;

2x ? b 的图象与直线 x ? y ? 2 ? 0 相切于点 ? 0, c ? 。 x ?1

(Ⅱ)求函数 f ? x ? 的单调区间和极小值.

20. (12 分) (Ⅰ)求曲线 y ? ? 围 ? 与 成 3 xy x 2 所 的
2

阴影部分(如右图)的面积。 (Ⅱ)将由直线 y ?

? ?? x 和曲线 y ? sin x, x ? ?0, ? 所围成 ? ? 2?
2

的平面图形绕 x 轴旋转一周,求所得旋转体的体积。

1 21. (12 分)在数列 ?an ? 中, a1 ? ,且 Sn ? n(2n ? 1)an 。 3
(Ⅰ)求 a2 , a3 , a4 的值; (Ⅱ)归纳 {an } 的通项公式,并用数学归纳法证明.

22. (14 分)已知函数 f ( x) ? ( x2 ? ax ? 2a2 ? 3a)e x ( x ? R), 其中 a 为实常数。 (Ⅰ)若 f ( x ) 在区间 ? ?2, ?1? 内为减函数,求 a 的取值范围; (Ⅱ)若 a ? 1, 方程 f ( x) ? b ? 0 在区间 ? ?2,0? 上恰有一个解,求 b 的取值范围;
* (Ⅲ)若 n ? N , 求证: ln

n2 ? n ? 1 n ? 1 ? . 3n 2 n

2009-2010 学年度下学期期中高二数学(理)参考答案
题 1 号 答 B 案 C A D A A D D C B D B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1

13. 0

14. 1 ?

1 1 1 2n ? 1 ? 2 ??? ? (n∈N*) 2 2 2 3 (n ? 1) n ?1

' ' ' 15. VP ? A?B ?C ? ? PA ? PB ? PC . VP ?ABC PA ? PB ? PC

16、①②③④ (Ⅱ) 3720┄┄8 分

17.解: (Ⅰ) (Ⅲ) 18.解: (Ⅰ)

5 A52 ? A5 ?

2400┄┄┄4 分 960┄┄┄12 分

6 1 1 5 A6 ? C5C5 A5 ?

2 4 A2 A4 A52 ?

C 2C 3 14 P ? X ? 2? ? 4 5 8 ? C12 33

┄┄┄┄┄┄┄┄3 分

(Ⅱ)X 可取 0,1, 2,3, 4

P ? X ? 0? ?

0 5 C4 C8 7 ? 5 C12 99

P ? X ? 1? ?

1 C4C84 35 ? 5 C12 99

P ? X ? 2? ?

2 3 C4 C8 14 ? 5 C12 33

3 C4 C82 14 P ? X ? 3? ? 5 ? C12 99

4 1 C4 C8 1 P ? X ? 4? ? 5 ? C12 99

X 的分布列为 X P 0 1 2 3 4

7 99

35 99

14 33

14 99

1 99
┄┄┄┄┄┄┄8 分

(Ⅲ)记 A 表示“第一次抽到次品” 表示“第二次抽到次品”则 ,B
2 C4 4 1 1 P( A) ? ? , P ? A ? B ? ? 2 ? 12 3 C12 11

P ? A| B ? ?

P ? A? B 3 ? ? ┄┄┄┄12 分 P( A ) 11

19.解:(1) ∵

f ( x) ? a ln( x ? 1) ?

a 2 2x f '( x) ? ? ?b x ? 1 ( x ? 1) 2 ,┄┄┄┄┄2 分 x ?1 ,∴

∵函数 f (x) 在 x ? 0 处的切线方程为 y ? ? x ? 2 ,∴ f '(0) ? a ? 2 ? ?1 ,∴ a ? 1 ┄┄┄5 分 (2) ∵点 (0,c) 在直线 x ? y ? 2 ? 0 上, ∵ (0,2) 在 ∴ ∴ c ? 2 ? 0 ,∴ c ? 2 ,┄┄┄┄┄6 分

f ( x) ? ln( x ? 1) ?

2x ?b x ?1 的图象上,∴ f (0) ? b ? 2 ,┄┄┄┄┄7 分

f ( x) ? ln( x ? 1) ?
f '( x) ?

2x ? 2( x ? ?1) x ?1
1 2 x ?1 ? ? ( x ? ?1) 2 x ? 1 ( x ? 1) ( x ? 1) 2

由(1) 得:



令 f '( x) ? 0 ,则 x ? 1 ,因此函数 f ( x) 的单调递增区间为(1,+∞) , 令 f '( x) ? 0 ,则 ?1 ? x ? 1 ,因此函数 f ( x) 的单调递减区间为(– 1,1)┄┄┄┄┄10 分 ∴当 x ? 1 时,函数 f ( x) 取得极小值 1 ? ln2 .┄┄┄┄┄12 分 20.解: (Ⅰ) S ?

? ?3 ? x
1 ?3

2

1 32 ? ? ┄┄┄┄┄5 分 ? 2 x ?dx ? ? 3x ? x3 ? x 2 ? |1 3 ? ? 3 3 ? ?

2 2 (Ⅱ) V ? ? 2 ?? sin x ? ? x ?dx 0

?

? 1 ? cos 2 x 2 ? ???2? ? x ?dx 0 2 ? ?
?
2 0

?

1 1 ? ?1 ? ? x ? sin 2 x ? x3 ? 2 3 ? ?2

?

6? ? ? 3 ┄┄┄┄┄12 分 24

1 1 1 ? , 21.解: (Ⅰ) a1 ? a2 ? 2(2 ? 2 ?1)a2 ,因为 a1 ? ,所以 a2 ? 3 3 ? 5 15

a1 ? a2 ? a3 ? 3(2 ? 3 ?1)a3 ,解得 a3 ?

1 1 1 1 ? ? ,同理 a4 ? .┄┄┄3 分 5 ? 7 35 7 ? 9 63

(Ⅱ)根据计算结果,可以归纳出 an ?

1 .┄┄┄5 分 (2n ? 1)(2n ? 1)

当 n ? 1 时, x1 ?

1 1 ? ,与已知相符,归纳出的公式成立. ┄┄┄┄6 分 (2 ?1 ? 1)(2 ?1 ? 1) 3
*

假设当 n ? k ( k ? N )时,公式成立,即 a ?

k

1 . (2k ? 1)(2k ? 1)
k ?1

由 Sn ? n(2n ? 1)an 可得, a

k ?1

?S

k ?1

? S ? (k ? 1)(2k ? 1)a
k

? k (2k ? 1)a .
k

即 a

k ?1

?

2k ? 1 2k ? 1 1 1 a ? ? ? . k 2k ? 3 (2k ? 1)(2k ? 1) (2k ? 1)(2k ? 3) 2k ? 3 1 .┄┄┄┄┄┄┄┄11 分 [2(k ? 1) ? 1][2( k ? 1) ? 1]

所以 a

k ?1

?

即当 n ? k ? 1 时公式也成立. 综上, an ? 22.解: (Ⅰ)

1 * 对于任何 n ? N 都成立. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12 分 (2n ? 1)(2n ? 1)
┄┄2 分

x f / ? x ? ? ? 2 x ? a ? e x ? ? x 2 ? ax ? 2a 2 ? 3a ? e x ? ? x ? 2a ?? x ? 2 ? a ? e

f ? x?



? ?2, ?1? 内为减函数,则有 f / ? x ? ? 0 对 x? ? ?2, ?1? 恒成立


? ?2a ? ?2 ? ?a ? 2 ? ?1

?a ? 2 ? ?2 ? a ? 0 ? ? ?2a ? ?1

或 a ? 1 ┄┄┄┄┄┄┄┄4 分

(Ⅱ) a ? 1 时 , / f ? x ? ? ? x ? 2?? x ?1? ex f ? x ? ? x2 ? x ? 1 ex

?

?

x ?? ? , ?1 ,f/ ? x ? 0 ,? ?x 2 ? f ?
当 x ?1时

递减;

x ? ? ?1,0?, f / ? x ? ? 0, f ? x ?
3 1 , f ? ?1? ? , f ? 0 ? ? 1 2 e e

递增。

f ? x?

有极小值。

f ? ?2 ? ?

故 3

e2

? b ? 1.

┄┄┄┄┄┄┄┄9 分

1 n2 ? n ? 1 n ? 1 ? . 只需证 ln ?1 ? n ? n 2 ? ? ln 3n 2 ? 1 ? (Ⅲ)要证 ln 2 n 3n n ln ?1 ? n ? n 2 ? ? ln n 2 ? 1 1 ? n ? n2 1 ? ln 3 ? 1 即证 e n ? 3e 2 n n

由(Ⅱ)知:当 a ? 1 时 在 上为增函数 f ? x ? ? x 2 ? x ? 1 e x ?0,???

?

?

1 ? n ? n2 1 n2 ? n ? 1 n ? 1 ?1? n e ? 3e 。故有 ln ? . ┄┄┄┄┄┄┄14 分 则 f ? ? ? f ?1? ? n2 3n 2 n ?n?


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