高一数学课件-高一数学课件:平面向量的数量积及运算律 最新


毛建新 问题 一个物体在力F 的作用下产生的位移 s,且F与s的夹角为θ ,那么力F 所做的功应 当怎样计算? F θ s W ?| F || s |cos? ? 是F 与s 的夹角,而功是数量. 其中力F 和位移s 是向量, 数量 F s cos? 叫做力F 与位移s的数量积 向量的夹角 两个非零向量 a 和 b ,作 OA ? a, OB ? b, B 则 ?AOB ? ? (0? ? ? ? 180? ) b ? O 叫做向量 和 b的夹角. a b a a A 注意:在两向量的夹角 定义中,两向量必须是 同起点的 B a O a O A B b ? ? 180? A b ? b B O a ? ? ? 0? ? ? 90 A a 与 b 同向 a 与 b 反向 a 与 b 垂直, 记作 a?b 例1、如图,等边三角形中,求 ' C (1)AB与AC的夹角; (2)AB与BC的夹角。 C 120 A ? 通过平移 变成共起点! 60 ? B 5.6 平面向量的数量积及运算律 平面向量的数量积的定义 已知两个非零向量a 和b ,它们的夹角为? ,我们把数量 | a || b | cos? 叫做a 与b 的数量积(或内积),记作a ·b ,即 a ? b ?| a || b | cos? 规定:零向量与任意向量的数量积为0,即 a ? 0 ?0. (1)两向量的数量积是一个数量,而不是向量,符号由 夹角决定 (2)一种新的运算法则,以前所学的运算律、性质不适合. (3) a ·b不能写成a×b ,a×b 表示向量的另一种运算. 5.6 平面向量的数量积及运算律 例题讲解 例1.已知向量a与b的夹角为 ? ,|a |=2,|b |=3,,求a · b. (1)? ? 1350 (2)a ∥b ?3?a ? b a· b =|a | |b |cosθ 平面向量的数量积 讨论总结性质: (1)e · a=a · e=| a | cos? (2)a⊥b ? a · b=0 (判断两向量垂直的依据) (3)当a 与b 同向时,a · b =| a | · | b |,当a 与b 反向 时, a · b =-| a | · |b| . 2 a ? a ? | a | 或 | a |? a ? a 特别地 a?b (4)cos? ? | a || b | (5)a · b ≤| a | · |b| 练习: 1.若a =0,则对任一向量b ,有a · b=0. 2.若a ≠0,则对任一非零向量b ,有a ·b≠0. 3.若a ≠0,a · b =0,则b=0 4.若a · b=0,则a · b中至少有一个为0. 5.若a≠0,a ·b= b ·c,则a=c 2 2 7.对任意向量 a 有 a ?| a | 8. 0 ? a ? 0a × √ × × × × √ 6.若a · b = a · c ,则b≠c,当且仅当a= 0 时成立. × 例2、如图,等边三角形中,求 (1)AB与AC的数量积; (2)AB与BC的数量积; (3) 的数量积. AC与BC C A B 例3 平面向量的数量积及运算律 1.a ·b= b ·a 交换律 2. (λ· a) b= a ·(λ b)= λ(a ·b)= λ a ·b 3. (a+b) ·c= a ·c+ b ·c 分配律 思考: 结合律成立吗: (a ·b) ·c=a ·(b ·c)

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