高中必修一集合复习讲义

【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法
(1)含绝对值的不等式的解法 不等式 解集

| x |? a(a ? 0)
| x |? a(a ? 0)

{x | ?a ? x ? a}
x | x ? ?a 或 x ? a}
把 ax ? b 看 成 一 个 整 体 , 化 成 | x |? a ,

| ax ? b |? c,| ax ? b |? c(c ? 0) | x |? a(a ? 0) 型不等式来求解

(2)一元二次不等式的解法 判别式

? ? b2 ? 4ac
二次函数

??0

??0

??0

y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0)
的图象 一元二次方程
O

ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)
的根

x1,2 ?

?b ? b2 ? 4ac 2a

x1 ? x2 ? ?

(其中 x1 ? x2 )

b 2a

无实根

ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)
的解集

{x | x ? x1 或 x ? x2 }

{x | x ? ?

b } 2a

R

ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)
的解集

{x | x1 ? x ? x2}

?

?

〖1.2〗函数及其表示
【1.2.1】函数的概念
(1)函数的概念 ①设 A 、B 是两个非空的数集, 如果按照某种对应法则 f , 对于集合 A 中任何一个数 x , 在集合 B 中都有唯一确定的数 f ( x ) 和它对应,那么这样的对应(包括集合 A , B 以及

A 到 B 的对应法则 f )叫做集合 A 到 B 的一个函数,记作 f : A ? B .

②函数的三要素:定义域、值域和对应法则. ③只有定义域相同,且对应法则也相同的两个函数才是同一函数. (2)区间的概念及表示法 ①设 a , b 是两个实数, 且a ? b, 满足 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做闭区间, 记做 [ a, b] ; 满足 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做开区间,记做 ( a, b) ;满足 a ? x ? b ,或 a ? x ? b 的 实 数 x 的 集 合 叫 做 半 开 半 闭 区 间 , 分 别 记 做 [ a, b) , ( a, b] ; 满 足

x ? a, x ? a, x ? b, x ? b 的实数 x 的集合分别记做 [a, ??),(a, ??),(??, b],(??, b) .
注意:对于集合 {x | a ? x ? b} 与区间 ( a, b) ,前者 a 可以大于或等于 b ,而后者必须

a ?b.
(3)求函数的定义域时,一般遵循以下原则: ① f ( x ) 是整式时,定义域是全体实数. ② f ( x ) 是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数. ③ f ( x ) 是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合. ④对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等 于 1. ⑤ y ? tan x 中, x ? k? ?

?
2

(k ? Z ) .

⑥零(负)指数幂的底数不能为零. ⑦若 f ( x ) 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时,则其定义域一般是各 基本初等函数的定义域的交集. ⑧对于求复合函数定义域问题,一般步骤是:若已知 f ( x ) 的定义域为 [ a, b] ,其复合函 数 f [ g ( x)] 的定义域应由不等式 a ? g ( x) ? b 解出. ⑨对于含字母参数的函数, 求其定义域, 根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论. ⑩由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,还要符合问题的实际意义. (4)求函数的值域或最值 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的.事实上,如果在函数的值 域中存在一个最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值 域,其实质是相同的,只是提问的角度不同.求函数值域与最值的常用方法: ①观察法:对于比较简单的函数,我们可以通过观察直接得到值域或最值. ②配方法:将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后根据变量的取值范 围确定函数的值域或最值. ③判别式法:若函数 y ? f ( x) 可以化成一个系数含有 y 的关于 x 的二次方程

a( y) x2 ? b( y) x ? c( y) ? 0 ,则在 a( y) ? 0 时,由于 x, y 为实数,故必须有 ? ? b2 ( y) ? 4a( y) ? c( y) ? 0 ,从而确定函数的值域或最值.
④不等式法:利用基本不等式确定函数的值域或最值. ⑤换元法:通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的,三角代换可将代数函数的最 值问题转化为三角函数的最值问题.

⑥反函数法:利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最 值. ⑦数形结合法:利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值. ⑧函数的单调性法.

【1.2.2】函数的表示法
(5)函数的表示方法 表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法三种. 解析法:就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.列表法:就是列出表格来表 示两个变量之间的对应关系.图象法:就是用图象表示两个变量之间的对应关系. (6)映射的概念 ①设 A 、 B 是两个集合,如果按照某种对应法则 f ,对于集合 A 中任何一个元素,在 集合 B 中都有唯一的元素和它对应,那么这样的对应(包括集合 A , B 以及 A 到 B 的 对应法则 f )叫做集合 A 到 B 的映射,记作 f : A ? B . ②给定一个集合 A 到集合 B 的映射,且 a ? A, b ? B .如果元素 a 和元素 b 对应,那么 我们把元素 b 叫做元素 a 的象,元素 a 叫做元素 b 的原象.

〖1.3〗函数的基本性质
【1.3.1】单调性与最大(小)值
(1)函数的单调性 ①定义及判定方法 函数的 性 质 定义 图象 判定方法

如果对于属于定义域 I 内 某个区间上的任意两个 自变量的值 x1、x2,当 x < 1 . . . x 时,都有 f(x )<f(x ) , 2 1 2 . . . . . . . . . . . . . 那么就说 f(x) 在这个区 间上是增函数 . ... 如果对于属于定义域 I 内 某个区间上的任意两个 自变量的值 x1、 x2, 当x < 1 . . . x 时,都有 f(x )>f(x ) , 2 1 2 . . . . . . . . . . . . . 那么就说 f(x) 在这个区 间上是减函数 . ...

y y=f(X)
f(x1 )

f(x2)

o

x1

x2

x

函数的 单调性

(1)利用定义 (2)利用已知函数 的单调性 (3)利用函数图象 (在某个区间图 象上升为增) (4) 利用复合函数 (1)利用定义 (2)利用已知函数 的单调性 (3)利用函数图象 (在某个区间图 象下降为减) (4) 利用复合函数

y
f(x )
1

y=f(X)
f(x )
2

o

x1

x2

x

②在公共定义域内,两个增函数的和是增函数,两个减函数的和是减函数,增函数减去 一个减函数为增函数,减函数减去一个增函数为减函数. ③对于复合函数 y ? f [ g ( x)] ,令 u ? g ( x) ,若 y ? f (u ) 为增, u ? g ( x) 为增,则

y ? f [ g ( x)] 为增; u ? g ( x) 为减, 若 y ? f (u ) 为减, 则 y ? f [ g ( x)] 为增; 若 y ? f (u )
为增, u ? g ( x) 为减,则 y ? f [ g ( x)] 为减;若 y ? f (u ) 为减, u ? g ( x) 为增,则

y ? f [ g ( x)] 为减.
(2)函数 f ( x) ? x ?

a (a ? 0) 的图象与性质 x

y

f ( x) 分别在 (??, ? a ] 、 [ a , ??) 上为增函数,分别在

[? a ,0) 、 (0, a ] 上为减函数.
(3)最大(小)值定义 ①一般地,设函数 y ? f ( x) 的定义域为 I ,如果存在 实数 M 满足: (1) 对于任意的 x ? I , 都有 f ( x) ? M ; (2) 存在 x0 ? I , 使得 f ( x0 ) ? M . 那么, 我们称 M 是函数 f ( x ) 的最大值,记作 f max ( x) ? M . ②一般地, 设函数 y ? f ( x) 的定义域为 I , 如果存在实数 m 满足: (1) 对于任意的 x ? I , 都有 f ( x) ? m ; (2)存在 x0 ? I ,使得 f ( x0 ) ? m .那么,我们称 m 是函数 f ( x ) 的
o
x

最小值,记作 f max ( x) ? m .

【1.3.2】奇偶性
(4)函数的奇偶性 ①定义及判定方法 函数的 性 质 定义 如果对于函数 f(x) 定义 域内任意一个 x ,都有 f( - x)= - f(x) , 那么函数 . . . . . . . . . . . f(x)叫做奇函数 . ... 函数的 奇偶性 图象 判定方法 (1)利用定义(要 先判断定义域是否 关于原点对称) (2)利用图象(图 象关于原点对称) (1)利用定义(要 先判断定义域是否 关于原点对称) (2)利用图象(图 象关于 y 轴对称)

如果对于函数 f(x) 定义 域内任意一个 x ,都有 f( - f(x) ,那么函数 . . .x)= . . . . . . . f(x)叫做偶 函数 . . ..

②若函数 f ( x ) 为奇函数,且在 x ? 0 处有定义,则 f (0) ? 0 . ③奇函数在 y 轴两侧相对称的区间增减性相同, 偶函数在 y 轴两侧相对称的区间增减性 相反. ④在公共定义域内,两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数) , 两个偶函数(或奇函数)的积(或商)是偶函数,一个偶函数与一个奇函数的积(或商) 是奇函数.

〖补充知识〗函数的图象
(1)作图 利用描点法作图: ①确定函数的定义域; ②化解函数解析式; ③讨论函数的性质(奇偶性、单调性) ; ④画出函数的图象. 利用基本函数图象的变换作图: 要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函 数等各种基本初等函数的图象. ①平移变换
h?0,左移h个单位 y ? f ( x) ??????? ? y ? f ( x ? h) h?0,右移|h|个单位 k ?0,上移k个单位 y ? f ( x) ??????? ? y ? f ( x) ? k k ?0,下移|k|个单位

②伸缩变换
0?? ?1,伸 y ? f ( x) ???? ? y ? f (? x) ? ?1,缩

0? A?1,缩 y ? f ( x) ???? ? y ? Af ( x) A?1,伸

③对称变换
x轴 y ? f ( x) ?? ? ? y ? ? f ( x) 原点 y ? f ( x) ??? ? y ? ? f (?x)

y轴 y ? f ( x) ??? ? y ? f (? x)
直线y?x y ? f ( x) ???? ? y ? f ?1 ( x)

去掉y轴左边图象 y ? f ( x) ??????????????? ? y ? f (| x |) 保留y轴右边图象,并作其关于y轴对称图象
保留x轴上方图象 y ? f ( x) ????????? ? y ?| f ( x) | 将x轴下方图象翻折上去

(2)识图 对于给定函数的图象,要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研 究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性,注意图象与函数解析式中参数的关系. (3)用图 函数图象形象地显示了函数的性质,为研究数量关系问题提供了“形”的直观性,它是 探求解题途径,获得问题结果的重要工具.要重视数形结合解题的思想方法.

一、选择题 1.设函数 f ( x) ? 2 x ? 3, g ( x ? 2) ? f ( x) ,则 g ( x) 的表达式是( A. 2 x ? 1 C. 2 x ? 3 2.函数 f ( x ) ? B. 2 x ? 1 D. 2 x ? 7 ) )

cx 3 , ( x ? ? ) 满足 f [ f ( x)] ? x, 则常数 c 等于( 2x ? 3 2 A. 3 B. ? 3 C. 3或 ? 3 D. 5或 ? 3
1 1? x2 ( x ? 0) ,那么 f ( ) 等于( 2 2 x

3.已知 g ( x) ? 1 ? 2 x, f [ g ( x)] ? A. 15 C. 3 B. 1 D. 30



4.已知函数 y ? f ( x ? 1) 定义域是 [ ?2,3] ,则 y ? f (2 x ? 1) 的定义域是(



5 2 C. [ ?5,5]

A. [0, ]

B. [ ?1,4] D. [ ?3,7] )

5.函数 y ? 2 ? ? x2 ? 4 x 的值域是( A. [?2, 2] C. [0, 2] B. [1, 2] D. [? 2, 2]

2 6.已知 f (1 ? x ) ? 1 ? x 2 ,则 f ( x ) 的解析式为( 1? x 1? x



x 1? x2 2x C. 1? x2
A.

2x 1? x2 x D. ? 1? x2
B. ?

4.设 f ( x) 是定义在 R 上的一个函数,则函数 F ( x) ? f ( x) ? f (? x) 在 R 上一定是( ) A.奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 A

B.偶函数 D.非奇非偶函数。

F ( ? x ) ? f ( ? x) ? f ( x ) ? ? F ( x )


5.下列函数中,在区间 ? 0,1? 上是增函数的是( A. y ? x C. y ? A B. y ? 3 ? x D. y ? ? x 2 ? 4

1 x

y ? 3 ? x 在 R 上递减, y ?

1 在 (0, ??) 上递减, x

y ? ? x2 ? 4 在 (0, ??) 上递减,

二、填空题
?3 x 2 ? 4( x ? 0) ? 1.若函数 f ( x) ? ?? ( x ? 0) ,则 f ( f (0)) = ?0( x ? 0) ?
2.若函数 f (2 x ? 1) ? x 2 ? 2 x ,则 f (3) = 3.函数 f ( x) ? . 。 .

2?

1 x ? 2x ? 3
2

的值域是

4.已知 f ( x) ? ?

?1, x ? 0 ,则不等式 x ? ( x ? 2) ? f ( x ? 2) ? 5 的解集是 ?? 1, x ? 0



5. 设函数 y ? ax ? 2a ? 1, 当 ?1 ? x ? 1 时,y 的值有正有负, 则实数 a 的范围 三、解答题 1.设 ? , ? 是方程 4 x ? 4mx ? m ? 2 ? 0,( x ? R) 的两实根,当 m 为何值时,
2



? 2 ? ? 2 有最小值?求出这个最小值.

2.求下列函数的定义域 (1) y ?

x ?8 ? 3? x

(2) y ?

x2 ?1 ? 1? x2 x ?1

3.求下列函数的值域 (1) y ?

3? x 4? x

(2) y ?

5 2x ? 4x ? 3
2

(3) y ? 1 ? 2 x ? x

答案一、选择题 1. B ∵ g ( x ? 2) ? 2 x ? 3 ? 2( x ? 2) ? 1, ∴ g ( x) ? 2 x ? 1 ;

2.

B

cf ( x) 3x cx ? x, f ( x) ? ? , 得c ? ?3 2 f ( x) ? 3 c ? 2x 2x ? 3

1 1 1 1 1 ? x2 ? 15 3. A 令 g ( x) ? ,1 ? 2 x ? , x ? , f ( ) ? f ? g ( x) ? ? 2 2 4 2 x2
4. 5. A C

?2 ? x ? 3, ?1 ? x ? 1 ? 4, ?1 ? 2 x ? 1 ? 4, 0 ? x ?

5 ; 2

? x2 ? 4 x ? ?( x ? 2)2 ? 4 ? 4,0 ? ? x2 ? 4 x ? 2, ?2 ? ? ? x 2 ? 4 x ? 0 0 ? 2 ? ? x2 ? 4 x ? 2,0 ? y ? 2 ;

1? t 2 1? ( ) 1? x 1? t 1 ? t ? 2t 。 6. C 令 ? t , 则x ? , f (t ) ? 1? t 2 1? t2 1? x 1? t 1? ( ) 1? t
二、填空题 1. 2.

3? 2 ? 4
?1

f (0) ? ? ;
2

令 2x ? 1 ? 3, x ? 1, f (3) ? f (2 x ? 1) ? x ? 2 x ? ?1 ;

3.

( 2,

3 2 ] 2

x2 ? 2 x ? 3 ? ( x ? 1)2 ? 2 ? 2, x2 ? 2 x ? 3 ? 2,

0?
4. (??, ]

1 x2 ? 2 x ? 3

?

2 3 2 , 2 ? f ( x) ? 2 2
3 , 2

3 2

当 x ? 2 ? 0, 即x ? ?2, f ( x ? 2) ? 1, 则x ? x ? 2 ? 5, ?2 ? x ?

当 x ? 2 ? 0,即x ? ?2, f ( x ? 2) ? ?1, 则x ? x ? 2 ? 5, 恒成立,即x ? ?2 ∴x? 5.

3 ; 2

1 ( ?1, ? ) 3

令y ? f ( x), 则f (1) ? 3a ? 1, f (?1) ? a ? 1, f (1) ? f (?1) ? (3a ? 1)(a ? 1) ? 0
得 ?1 ? a ? ? 三、解答题 1. 解: ? ? 16m2 ?16(m ? 2) ? 0, m ? 2或m ? ?1,
2 ? 2 ? ? 2 ? (? ? ? ) 2? 2?? ? m ? m ?1

1 3

1 2

当m ? ?1时, (? 2 ? ? 2 ) min ?

1 2

2. 解: (1)∵ ?

?x ? 8 ? 0 得 ? 8 ? x ? 3, ∴定义域为 ? ?8,3? ?3 ? x ? 0

? x2 ?1 ? 0 ? 2 2 (2)∵ ?1 ? x ? 0 得x ? 1且x ? 1, 即x ? ?1 ∴定义域为 ??1? ? x ?1 ? 0 ?
3. 解: (1)∵ y ?

3? x 4y ?3 , 4 y ? xy ? x ? 3, x ? , 得y ? ?1, 4? x y ?1

∴值域为 ? y | y ? ?1 ? (2)∵ 2 x ? 4 x ? 3 ? 2( x ?1) ? 1 ? 1,
2 2

∴0 ?

1 ? 1, 0 ? y? 2 x ? 4x ? 3
2

5

∴值域为 ? 0 , 5 ? (3) 1 ? 2 x ? 0, x ?

1 , 且y是x 的减函数, 2

当x?

1 1 1 时,ym i n? ? , ∴值域为 [? , ? ?) 2 2 2


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