【成才之路】2015-2016学年高中数学人教B版选修1-1课件 第3章 3.3 第1课时 利用导数判断函数的单调性


成才之路 ·数学
人教B版 ·选修1-1 1-2

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第三章
导数及其应用

第三章

导数及其应用

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第三章 3.3 导数的应用
第1课时 利用导数判断函数的单调性

第三章

3.3

第1课时

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1

课前自主预习

2

课堂典例探究

3

课 时 作 业

第三章

3.3

第1课时

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课前自主预习

第三章

3.3

第1课时

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我们知道正弦曲线是上、下起伏的波浪线,实际上多数函 数的图象都是如此,它们的单调性交替变化.有些函数的单调 性通过我们所学的基本方法能够判断,多数函数我们判断起来 非常困难,甚至无法判断.本节我们将学习利用导数来研究函 数的单调性.
第三章 3.3 第1课时

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1.基本初等函数的导数公式
函数 导数 f(x)=xu(x>0,u≠0) f′(x)=__________(u 为有理数) f(x)=sinx f(x)=cosx f(x)=ax f(x)=ex f(x)=logax f(x)=lnx f′(x)=__________ f′(x)=__________ f′(x)=__________(a>0 且 a≠1) f′(x)=__________ f′(x)=__________(a>0 且 a≠1) f′(x)=__________

第三章

3.3

第1课时

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2. 已知函数 f(x) 的导函数为 f′(x) ,且满足 f(x) = 3x2 + 2xf′(2),则 f′(5)=________.

答案:1.ux 2.6

u-1

cosx -sinx

a lna

x

e

x

1 1 xlna x

第三章

3.3

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利用导数判断函数的单调性的法则

设函数 y=f(x)在区间(a,b)内可导,如果 f(x)在 x 的某个开 区间内总有 f′(x)>0,则 f(x)在这个区间上是增函数;如果 f(x) 在 x 的某个开区间总有 f′(x)<0, 则 f(x)在这个区间上是减函数.

第三章

3.3

第1课时

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注意:(1)用曲线的切线的斜率来理解法则,当切线斜率非
负时,切线的倾斜角小于90°,函数曲线呈向上增加状态;当 切线斜率为负时,切线的倾斜角大于 90°,小于 180°,函数 曲线呈向下减少状态. (2)如果在某个区间内恒有 f′(x)= 0,则f(x)在这个区间上等

于常数.
(3)对于可导函数f(x)来说,f′(x)>0是f(x)在(a,b)上为单调增 函数的充分不必要条件,f′(x)<0是f(x)在(a,b)上为单调减函数 的充分不必要条件,例如: f(x) =x3 在R 上为增函数,但 f′(0)= 0,所以在x=0处不满足f′(x)>0.
第三章 3.3 第1课时

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函数y=x3的递减区间是(

)

A.(-∞,+∞)
C.(-∞,0) [答案] D

B.(0,+∞)
D.不存在

[解析] ∵y′=3x2≥0,(x∈R)恒成立, ∴函数y=x3在R上是增函数.

第三章

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二 判断可导函数单调性的一般步骤
第一步,确定函数f(x)的定义域. 第二步,求f′(x),令f′(x)=0,解此方程,求出它在定义域 内的一切实根. 第三步,把函数 f(x) 在间断点 ( 即 f(x) 的无定义点 ) 的横坐标

和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把
函数f(x)的定义区间分成若干个小区间. 第四步,确定f′(x)在各个小区间的符号,根据f′(x)的符号判 断函数f(x)在每个相应小区间的增减性.

第三章

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注意:(1)若一个函数具有相同的单调性的区间不止一个, 这些单调区间不能用 “∪” 或 “ 或 ” 连接,而用 “ 逗号 ” 或 “和”隔开. (2)单调区间必须是函数定义域的子集,因而确定函数的定

义域是前提.单调区间的端点在定义域内时可写可不写;若不
在定义域内,一定不能写.

第三章

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讨论函数 y=x3-x 的单调性.
[解析] 函数的定义域为 R. 3 3 2 y′=3x -1=3(x+ 3 )(x- 3 ), 3 3 令 y′=0 得 x1=- 3 ,x2= 3 . 3 3 3 3 ∴当 x<- 3 或 x> 3 时,y′>0,当- 3 <x< 3 时,y′<0, 3 3 3 ∴y=x -x 在(-∞, - 3 )和( 3 , +∞)上是增函数, 在(- 3 3 3 , 3 )上是减函数.
第三章 3.3 第1课时

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三 已知函数单调性求参数的取值范围
求 函 数 y = f(x) 的 单 调 增 区 间 、 减 区 间 分 别 是 解 不 等 式 f′(x)>0、f′(x)<0所得的x的取值集合.反过来,若已知f(x)在区间 D上的单调性,可求f(x)中的参数范围问题. 这类问题往往转化为不等式的恒成立问题.

已知f(x)在区间(a,b)上的单调性,求参数范围的方法:
(1)利用集合的包含关系处理:f(x)在(a,b)上单调,则区间 (a,b)是相应单调区间的子集;

(2) 利用不等式的恒成立处理: f(x) 在 (a , b) 上单调,则
f′(x)≥0或f′(x)≤0在(a,b)上恒成立,注意验证等号是否成立.

第三章

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已知函数f(x)=-x3+ax在区间(-1,1)上是单调递增函数, 则实数a的取值范围是________. [答案] a≥3 [解析] 由题意应有f′(x)=-3x2+a≥0在区间(-1,1)上恒

成立,
即a≥3x2,因为x∈(-1,1),故a≥3.

第三章

3.3

第1课时

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构造函数证明不等式

若证明不等式 f(x)>g(x),x∈(a,b),可以转化为证明 f(x) -g(x)>0,如果[f(x)-g(x)]′>0,说明 F(x)=f(x)-g(x)在(a,b) 上是增函数.若 F(x)=f(x)-g(x)是增函数,F(a)≥0,当 x∈(a, b)时,F(x)=f(x)-g(x)>F(a)≥0,即 f(x)>g(x).

第三章

3.3

第1课时

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已知 x>1,求证 x>lnx.
[证明] 设 f(x)=x-lnx(x>1) 1 x-1 f′(x)=1-x= x x-1 ∵x>1,∴f′(x)= x >0 恒成立 ∴函数 f(x)在(1,+∞)上是增函数,∴f(x)>f(1). 又 f(1)=1-ln1=1>0 即 f(x)>0 对 x∈(1,+∞)恒成立 ∴x-lnx>0,即 x>lnx (x>1).
第三章 3.3 第1课时

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课堂典例探究

第三章

3.3

第1课时

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利用导数研究函数的单调区间
已知函数 y=x· f′(x)的图象如图(其中 f′(x)是函 数 f(x)的导函数),下面四个图象中 y=f(x)的图象大致是( )

第三章

3.3

第1课时

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[解题提示]

利用 y=xf′(x)的图象判断 f′(x)的符号,从

而判断 y=f(x)的大致图象.
第三章 3.3 第1课时

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[解析] 由题图知,当x<-1时,xf′(x)<0,
∴f′(x)>0,∴当x<-1时,函数y=f(x)单调递增; 当-1<x<0时,xf′(x)>0,∴f′(x)<0,∴当-1<x<0时,函数 y=f(x)单调递增; 当 0<x<1 时, xf′(x)<0 , ∴ f′(x)<0 , ∴ 当 0<x<1 时,函数 y =

f(x)单调递减;
当 x>1 时, xf′(x)>0 , ∴ f′(x)>0 , ∴当 x>1 时,函数 y = f(x) 单 调递增. [答案] C

第三章

3.3

第1课时

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求函数f(x)=3x2-2lnx的单调区间.
[解析] 函数的定义域为(0,+∞),
2 2 2?3x -1? f′(x)=6x-x = . x

由 f′(x)>0, 3x2-1 3 即 x >0,得 x> 3 , 3 ∴函数 f(x)的增区间为( 3 ,+∞),
第三章 3.3 第1课时

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3x2-1 由 f′(x)<0,即 x <0, 3 得 0<x< 3 , 3 ∴f(x)的减区间为(0, 3 ), 3 ∴函数 f(x)=3x -2lnx 的单调增区间为( 3 ,+∞),减区
2

3 间为(0, 3 ).

第三章

3.3

第1课时

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判断或证明函数的单调性

lnx 试证明: 函数 f(x)= x 在区间(0,2)上是单调递增 函数.
[解题提示] 要证明函数(0,2)上单调递增, 只需证明当 x∈

(0,2)时,f′(x)≥0 即可.

第三章

3.3

第1课时

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1 x-lnx 1-lnx x· lnx [解析] 由于 f(x)= x ,所以 f′(x)= x2 = x2 . 1-lnx 由于 0<x<2,所以 lnx<ln2<1,故 f′(x)= x2 >0, 即函数 f(x)在区间(0,2)上是单调递增函数.
[方法总结] 实质上就是证明不等式 f′(x)≥0 在(0,2)上恒

成立.若证 f′(x)在某个区间上递减,就是证明 f′(x)≤0 在某 区间上恒成立.

第三章

3.3

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sinx 试证明函数 f(x)= x 在区间(0,π)上单调递减. xcosx-sinx [证明] f′(x)= ,令 g(x)=xcosx-sinx. x2
则 g′(x)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx. ∵x∈(0,π),∴g′(x)<0,故 g(x)是减函数. ∴g(x)<g(0)=0. ∴x∈(0,π)时,f′(x)<0. sinx ∴f(x)= x 在区间(0,π)上是减函数.
第三章 3.3 第1课时

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已知函数的单调性,确定参数的取值范围
已知向量a=(x2,x+1),b=(1-x,t),若函数 f(x)=a·b在区间(-1,1)上是增函数,求t的取值范围.

[解题提示]

由f′(x)≥0在(-1,1)上恒成立,可通过分离参数

或求最值的方法,求参数的范围.
[解析] 解法一:f(x)=a· b=x2(1-x)+t(x+1)=-x3+x2+ tx+t. f′(x)=-3x2+2x+t, ∵函数 f(x)在(-1,1)上是增函数.
第三章 3.3 第1课时

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∴f′(x)≥0 对 x∈(-1,1)恒成立, ∴-3x2+2x+t≥0 在(-1,1)上恒成立. 即 t≥3x2-2x 在(-1,1)上恒成立. 令 g(x)=3x2-2x,x∈(-1,1), 1 ∴g(x)∈(-3,5). 故要使 t≥3x2-2x 在区间(-1,1)上恒成立,只需 t≥5,即 所求 t 的取值范围为:t≥5.

第三章

3.3

第1课时

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解法二:依题意,得 f(x)=x2(1-x)+t(x+1)=-x3+x2+tx +t. f′(x)=-3x2+2x+t. ∵函数 f(x)在区间(-1,1)上是增函数, ∴f′(x)≥0 对 x∈(-1,1)恒成立. 又∵f′(x)的图象是开口向下的抛物线, ∴当且仅当 f′(1)=t-1≥0,且 f′(-1)=t-5≥0 时,即 t≥5 时, f′(x)在区间(-1,1)上满足 f′(x)>0. 即 f(x)在(-1,1)上是增函数. 故 t 的取值范围是 t≥5.
第三章 3.3 第1课时

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[方法总结]

已知函数的单调性,确定字母的取值范围是

高考考查的重点内容, 解决这类问题的方法主要有两种, 其一, 转化为函数求最值,其二,若能比较容易求出函数的单调区间 时,可利用子区间来解决.特别注意的是,若导函数为二次函 数时,也可借助图象,利用数形结合思想来解决,如上例中的 解法二.

第三章

3.3

第1课时

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a 已知函数 f(x)=ax-x -2lnx(a≥0),若函数 f(x)在其定义域 内为单调函数,求 a 的取值范围. a 2 [解析] 由题意知 f′(x)=a+x2-x ,要使函数 f(x)在定义
域(0,+∞)内为单调函数,则在(0,+∞)内 f′(x)恒大于等于 2 0 或恒小于等于 0.当 a=0 时,f′(x)=-x<0 在(0,+∞)内恒 1 12 1 成立;当 a>0 时,要使 f′(x)=a(x -a) +a-a≥0 恒成立,则 1 a-a≥0,解得 a≥1.综上,a 的取值范围为{a|a≥1 或 a=0}.
第三章 3.3 第1课时

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构造函数证明不等式
π 已知 0<x<2,求证 tanx>x.

[解题提示]

π 设 f(x)=tanx-x, x∈[0, 注意到 f(0)=tan0 2 ),

π -0=0,要证的不等式变为:当 0<x<2时,f(x)>f(0).这只需证 π 明 f(x)在[0,2)上单调递增.

第三章

3.3

第1课时

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[解析] 且 f(0)=0.

π 令 f(x)=tanx-x,显然 f(x)在[0,2)上是连续的,

1 ∵f′(x)=(tanx-x)′=cos2x-1=tan2x, π ∴当 x∈(0,2)时,f′(x)>0. π 即在区间[0,2)上,f(x)是增函数, π ∴当 0<x<2时,f(x)>f(0)=0,即 tanx-x>0. π ∴当 0<x<2时,tanx>x.
第三章 3.3 第1课时

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1-2

[方法总结]

本题是不等式证明问题.由于不等式两边均

与变量 x 有关,故可等价转化为 x 为变量的函数.需要特别提 醒的是注意与端点的函数值进行比较.

第三章

3.3

第1课时

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1 2 当 x>0 时,证明不等式 ln(x+1)>x-2x . 1 2 [解析] 令 f(x)=ln(x+1)-x+2x ,定义域为(-1,+∞),
1 x2 则 f′(x)= -1+x= . 1+x 1+x 当 x∈(-1,+∞)时,f′(x)>0, ∴f(x)在(-1,+∞)上是增函数. 于是当 x>0 时,f(x)>f(0)=0, 1 2 ∴当 x>0 时,不等式 ln(x+1)>x-2x 成立.
第三章 3.3 第1课时

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1-2

已知函数 f(x) = 2ax - x3 , x∈(0,1] , a>0 ,若 f(x)

在(0,1]上单调递增,求a的取值范围.
[误解] ∵f′(x)=2a-3x2,且 f(x)在(0,1]上单调递增, ∴f′(x)>0 在(0,1]上恒成立, 3 2 即 a>2x 在 x∈(0,1]上恒成立. 3 2 3 3 又∵2x ∈(0,2],∴a>2.

第三章

3.3

第1课时

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1-2

[辨析]

若f(x)在区间D上是增函数,则f′(x)≥0在区间D上是

恒成立的,而不是f′(x)>0在区间D上恒成立.

[正解] ∵f′(x)=2a-3x2,且 f(x)在(0,1]上单调递增, ∴f′(x)≥0 在(0,1]上恒成立, 3 2 即 a≥2x 在 x∈(0,1]上恒成立. 3 2 3 3 又∵2x ∈(0,2],∴a≥2.

第三章

3.3

第1课时

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1-2

?利用导数判断函数单调性的法则?了解? ? 利用导数判断? ?求导数 ?利用导数判断函数单? 函数的单调性? ?解不等式 ?调性的步骤?掌握? ? ?确定单调区间 ?

第三章

3.3

第1课时

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1-2

课时作业
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第三章

3.3

第1课时


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