2019届高三人教A版数学一轮复习课件:第七章 立体几何与空间向量 第6节(理)


高 中 总 复 习 人教数学 (理科)第6节 空间直角坐标系、空 间向量及其运算 最新考纲 1.了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义, 掌握空间向量的正交分解及其坐标表示; 2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示; 3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能用向量的数量积判 断向量的共线和垂直. 1.空间直角坐标系 (1)右手直角坐标系 在空间直角坐标系中,让右手拇指指向 x 轴的正方向, 食指指向 y 轴的正方向,如果中指指向 z 轴的正方向,则称这个坐标系为右手 直角坐标系(如图所示). (2)点的坐标表示 在空间直角坐标系中, 任何一个点的坐标都可以用三个实数组成 的有序实数组表示,这三个实数分别是点在 x 轴、y 轴、z 轴上的坐 标. (3)空间两点间距离 设 P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)为空间两点,则 P1,P2 两点间 的距离 P1P2 = ?x1-x2?2+?y1-y2?2+?z1-z2?2. 特殊情况,点 P(x , y , z) 到坐标原点 O(0,0,0) 的距离 OP = x2+y2+z2. 2.对于空间向量的有关概念,请填写下表 名称 零向量 单位向量 相等向量 方向 模为 概念 0 的向量 1 的向量 相等 的向量 a=b 表示 0 长度(模)为 相同 且模 相反向量 方向 相反 且模 相等 的向量 a 的相反向 量为-a a∥b 共线向量 共面向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互 相 平行或重合 平面 的向量 的向量 平行于同一个 3.空间向量的线性运算及运算律 (1)线性运算定义:与平面向量运算一样,空间向量的加法、减 → → → → → → 法与数乘向量运算,如下:OB=OA+AB=a+b;BA=OA-OB=a → -b;OP=λa(λ∈R). (2)运算律:a.加法交换律:a+b=b+a;b.加法结合律:(a+b) +c=a+(b+c); c.数乘分配律:λ(a+b)=λa+λb. 4.关于空间向量的有关定理 定理 语言描述 共线向 对空间两个向量 a,b(b≠0),a∥b 的充要条件 量定理 是存在 共面向 量定理 唯一 的实数 λ,使 不共线 a= λ b . 如果两个向量 a、b ,则向量 c 与向 唯一 的 量 a,b 共面的充要条件是,存在 一对实数 x,y,使 c=xa+yb 不共面 唯一 . 空间向 如果三个向量 a,b,c ,那么对空 的有序实数 量基本 间任一向量 p,存在一个 定理 组 x,y,z,使 p=xa+yb+zc . 5.空间两向量的夹角及取值范围 → → 已知两个非零向量 a, b, 在空间任取一点 O, 作OA=a, OB=b, 则∠AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角,记作〈a,b〉 ,其范围是[0,π].特 π 别,若〈a,b〉=2,则称 a 与 b 垂直 ,记作 a⊥b. 6.空间两向量的数量积及运算律 (1)空间向量数量积定义: 已知空间两个非零向量 a, b, 则|a|· |b|· cos 〈a,b〉叫做向量 a,b 的数量积,记作 a· b,即 a· b=|a||b|cos〈a,b〉 . (2)空间向量数量积的运算律:①结合律:(λa)· b=λ(a· b);②交换 律:a· b=b· a;③分配律:a· (b+c)=a· b+a· c. 7.对于空间向量的坐标运算,请完成下表 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3) 向量和 向量差 数量积

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