淮安市2013届高三第一次调研测试数学试题

淮安市 2013 届高三第一次调研测试数学试题
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。请将答案填写在答题卷对应的位 置上)高@考#资¥源%网
2 1.集合 A ? ??1,0,1? , B ? x | x ? m ? 1, m ? R ,则 A ? B ?

?

?

. .

2.若复数 z 满足 iz ? ?1 ? 3i ,其中 i 是虚数单位,则 z ?

3.某商场有四类食品,其中粮食类、植物油类、动物类及果蔬类分别有 40 种、10 种、30 种、 20 种,现采用分层抽样的方法,从中随机抽取一个容量为 20 的样本进行食品安全检测,则 抽取的动物类食品的种数是 . 4.已知某同学五次数学成绩分别是:121,127,123, a ,125,若其平均成绩是 124,则这组数 据的方差是 . 5.如图,是一个算法的伪代码,则输出的结果是 .

I ?1 S ?1 While S ? 24 I ? I ?1 S ? S?I End While Pr int I

2 2 6. 已 知 点 P 在 圆 x ? y ? 1 上 运 动 , 则 P 到 直 线 3x ? 4 y ? 15 ? 0 的 距 离 的 最 小 值




x

7 过点 ? ?1,0? .与函数 f ? x ? ? e ( e 是自然对数的底数) 图像相切的直线方程是



8.连续抛掷一个骰子(一种各面上分别标有 1,2,3,4,5,6 个点的正方体玩具)两次,则出现向 上点数之和大于 9 的概率是 . 9.如图,一个封闭的三棱柱容器中盛有水,且侧棱长 AA ? 8 ,若侧面 AA B1B 水平放置时, 1 1 液面恰好过 AC, BC, AC1 , B1C1 的中点,当底面 ABC 水平放置时,液面高度为 1 .

10.已知 ? , ? ? ? 为 .

? ? 5? , ?3 6

?? 4 5? ? ? ? ? ,若 sin ? ? ? ? ? , cos ? ? ? 6? 5 6 ? ? ?

? 5 ? ? ,则 sin ?? ? ? ? 的值 ? 13

11.若数列 ?an ? 是各项均为正数的等比数列,则当 bn ?

n

a1 ? a2 ??? an 时,数列 ?bn ? 也是等
时,数列 ?dn ? 也是等

比数列;类比上述性质,若数列 ?cn ? 是等差数列,则当 dn ? 差数列.

x2 y 2 12.已知双曲线 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? , B, B1 分别是双曲线虚轴的上、下端点, A, F 分 a b
别是双曲线左顶点和坐焦点, 若双曲线的离心率为 2, AB 与 B1F 夹角的余弦值为 则 13.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 1 ? a4 ? 4, 2 ? a5 ? 3, S6 取值范围是 .

??? ?

???? ?



14.已知函数 f ( x) ? x ? 1 ? 1 ,若关于 x 的方程 f ? x ? ? m ? m ? R? 恰有四个互不相等的实 数根 x1 , x2 , x3 , x4 ,则 x1 x2 x3 x4 的取值范围是 .

二、解答题: (本大题共 6 道题,计 90 分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤)高@考#资¥源%网 15.(本题满分 14 分) 已 知 a , b , c 分 别 是 ?ABC 的 三 个 内 角 A , B , C 的 对 边 , 若 向 量

? ? 2b ? c, c o C s ?

?

n? ,?

?? a , c om ∥ n, , ? As ?
? ?

(1)求角 A 的大小; (2)求函数 y ? 3 sin B ? sin ? C ?

??

? 的值域 6?

16.(本题满分 14 分)

如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AC ? BC, BC ? BB1 , D 为 AB 的中点. (1)求证: BC1 ? 平面 AB1C ; (2)求证: BC1 ∥平面 ACD . 1

17.(本题满分 14 分) 小张于年初支出 50 万元购买一辆大货车,第一年因缴纳各种费用需支出 6 万元,从第二年 起,每年都比上一年增加支出 2 万元,假定该车每年的运输收入均为 25 万元,小张在该车 运输累计收入超过总支出后,考虑将大货车作为二手车出售,若该车在第 x 年年底出售,其 销售收入为 25 ? x 万元(国家规定大货车的报废年限为 10 年) (1)大货车运输到第几年年底,该车运输累计收入超过总支出? (2)在第几年年底将大货车出售,能使小张获得的年平均利润最大? (利润=累计收入 ? 销售收入 ? 总支出)

18.(本题满分 16 分)

x2 y 2 6 3 6 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率 e ? ,一条准线方程为 x ? a b 3 2
⑴求椭圆 C 的方程; ⑵设 G , H 为椭圆 C 上的两个动点, O 为坐标原点,且 OG ? OH . ①当直线 OG 的倾斜角为 60 时,求 ?GOH 的面积;
?

②是否存在以原点 O 为圆心的定圆,使得该定圆始终与直线 GH 相切?若存在,请求出 该定圆方程;若不存在,请说明理由.

19.(本题满分 16 分)
2 已知各项均为正数的数列 ?an ? 前 n 项的和为 Sn ,数列 an 的前 n 项的和为 Tn ,且

? ?

? Sn ? 2 ?

2

? 3Tn ? 4, n ? N * .

⑴证明数列 ?an ? 是等比数列,并写出通项公式; ⑵若 Sn 2 ? ?Tn ? 0 对 n ? N 恒成立,求 ? 的最小值;
*

⑶若 an , 2x an?1, 2 y an?2 成等差数列,求正整数 x, y 的值.

20.(本题满分 16 分) 已知函数

f ( x) ? ln x ? x, h ? x ? ?

ln x x .

(1)求 h ? x ? 的最大值; (2)若关于 x 的不等式 xf ( x) ? ?2 x2 ? ax ?12 对一切 x? ? 0, ??? 恒成立,求实数 a 的取 值范围; (3)若关于 x 的方程 f ? x ? ? x3 ? 2ex2 ? bx ? 0 恰有一解, 其中 e 为自然对数的底数, 求实 数 b 的值.

淮安市 2012—2013 学年度高三年级第一次调查测试

数学试题参考答案与评分标准 数学Ⅰ部分
一、填空题:

? 1.1?
9. 6

2. 2

3. 6

4. 4

5. 5

6. 2

7. y ? x ? 1

8.

1 6

10.

16 65

11.

c1 ? c2 ? ? ? c n n

12.

7 14

13. [0,30]

14. ?? 3,0?

二、解答题: 15.(1) 因为向量 m ? (2b ? c, cosC) , n ? (a, cos A) ,且 m ∥ n ,

( cos 所以 2b ? c) A=a cos C ,

…………………………………………………………2 分 …………4 分

由正弦定理,得 2 sin B cos A ? sin C cos A ? sin A cos C ? sin(A ? C ) , 即 2 sin B cos A ? sin B ,所以 cos A ? 因为 A ? ?0, ? ? ,所以 A ? (2) 因为 y ? 而

?
3

1 , 2

………………………………………6 分



…………………………………………………………8 分

3 sin B ? sin(

?
6

? B?

?
6

?

5? ? ,所以函数 y ? 2 sin( B ? ) 的值域为 ?1,2? , ……………………14 分 6 6
A D B G A1 B1

2? ? ? ? B ? ) ? 3 sin B ? cos B ? 2 sin( B ? ) ,…12 分 3 6 6

16. (1)因为在直三棱柱 ABC? A1 B1C1 中,所以 CC1 ? 平面 ABC , 因为 AC ? 平面 ABC ,所以 CC1 ? AC ,

C

C1

又 AC ? BC , CC1 ? BC ? C ,所以 AC ? 平面 B1C1CB , 因为 BC1 ? 平面B1C1CB ,所以 BC1 ? AC ……………4 分

又因为 BC ? BB1 ,所以 BB1C1C 是正方形,所以 BC1 ? B1C , 又 B1C ? AC ? C ,所以 BC1 ? 平面 AB C , ……………………………………………8 分 1 (2)在正方形 A1C1CA 中, AC1 ? A1C ? G , G 为 AC1 中点, D 为 AB 的中点, DG , 设 则 结 在 ?ABC1 中, BC1 ∥ DG , ………………………………………………………………12 分 因为 DG ? 平面 A1CD , BC1 ? 平面 A1CD ,所以 BC1 ∥平面 A1CD ,………………14 分 17. (1)设大货车到第 x 年年底的运输累计收入与总支出的差为 y 万元, 则 y ? 25x ? [6 x ? x( x ? 1)] ? 50, (0<x ≤10,x ? N) , 即 y ? ? x2 ? 20x ? 50, (0<x ≤10,x ? N) ,…………………………………………………4 分 由 ? x2 ? 20 x ? 50 ? 0 ,解得 10 ? 5 2 ? x ? 10 ? 5 2 ,…………………………………6 分 而 2 ? 10 ? 5 2 ? 3 ,故从第 3 年开始运输累计收入超过总支出. ……………………8 分 (2)因为利润=累计收入+销售收入-总支出,所以销售二手车后,小张的年平均利润为 ..

25 1 1 ) ,…………………………………12 分 y ? [y ? (25 ? x)]= (? x2 ? 19x ? 25) ? 19 ? ( x ? x x x
而 19 ? ( x ?

25 25 ) ≤19 ? 2 x ? ? 9 ,当且仅当 x ? 5 时等号成立. x x

答:小张应当在第 5 年将大货车出售,才能使年平均利润最大,………………………14 分 .. 18. (1)因为

c 6 a2 3 6 2 2 2 , , a ? b ? c , …………………………………2 分 ? ? a 3 c 2

x2 y2 ? ? 1 . ……………………………………4 分 解得 a ? 3, b ? 3 ,所以椭圆方程为 9 3
? 2 9 ? y ? 3x ? x ? 10 ? 2 ? (2)①由 ? x ,解得 ? ,………………………………………………6 分 y2 27 2 ? ?1 ? ?y ? 3 ?9 ? 10 ?

? 3 ? 2 9 x ?y ? ? ?x ? 2 ? ? 3 由? 得? , …………………………………………………………8 分 2 2 ?y2 ? 3 ?x ? y ?1 ? ?9 2 ? 3 ?
所以 OG ?

3 10 3 15 . …………………………………10 分 , OH ? 6 ,所以 S ?GOH ? 5 5

②假设存在满足条件的定圆,设圆的半径为 R ,则 OG ? OH ? R ? GH 因为 OG ? OH ? GH ,故
2 2 2

1 1 1 ? ? 2, 2 2 OG OH R

当 OG 与 OH 的斜率均存在时,不妨设直线 OG 方程为: y ? kx ,

9 ? 2 ? y ? kx ? xG ? 1 ? 3k 2 9 ? 9k 2 ? ? 2 2 由 ? x2 ,得 ? ,所以 OG ? , ………………………12 分 y 2 1 ? 3k 2 ?1 ? y 2 ? 9k ? ? 3 ?9 ? G 1 ? 3k 2 ?
同理可得 OH ?
2

1 9k 2 ? 9 2 (将 OG 中的 k 换成 ? 可得)……………………………14 分 2 k 3? k

1 1 4 1 3 ? ? ? 2 ,R ? , 2 2 9 R 2 OG OH
当 OG 与 OH 的斜率有一个不存在时,可得 故满足条件的定圆方程为: x ? y ?
2 2

1 1 4 1 ? ? ? 2 ,………………15 分 2 2 9 R OG OH

9 .………………………………………………16 分 4

2 19. (1)因为 (Sn ? 2)2 ? 3Tn ? 4 ,其中 S n 是数列 {an } 的前 n 项和,Tn 是数列 {an } 的前 n 项

和,且 an ? 0 , 当 n ? 1 时,由 (a1 ? 2)2 ? 3a12 ? 4 ,解得 a1 ? 1 ,……………………………………………2 分 当 n ? 2 时,由 (1 ? a2 ? 2)2 ? 3(1 ? a22 ) ? 4 ,解得 a2 ?
2 2

1 ; ………………………………4 分 2

由 (S n ? 2) ? 3Tn ? 4 ,知 (S n?1 ? 2) ? 3Tn?1 ? 4 ,两式相减得
2 (S n?1 ? S n )(S n?1 ? S n ? 4) ? 3an?1 ? 0 ,即 (S n?1 ? S n ? 4) ? 3an?1 ? 0 ,………………5 分

亦即 2S n?1 ? S n ? 2 ,从而 2Sn ? Sn?1 ? 2,(n ≥ 2) ,再次相减得

1 a 1 1 an?1 ? an ,(n ≥ 2) ,又 a 2 ? a1 ,所以 n ?1 ? , (n ≥ 1) an 2 2 2

所以数列 {an } 是首项为 1,公比为 其通项公式为 a n ?

1 的等比数列, ………………………………………7 分 2

1 2 n ?1

n ? N* .……………………………………………………………8 分
n

n ?1? ?1? 1? ? ? n 1? ? ? n 4? ?1? ? 4 ? 2 ? ? 2?1 ? ? 1 ? ? , (2)由(1)可得 S n ? Tn ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ,……10 分 ? ? ? ? 1 1 3? ?4? ? ? ?2? ? ? ? ? ? 1? 1? 4 2

若 S n ? ?Tn ? 0 对 n ? N 恒成立,
2
*

S 只需 ? ? n Tn
因为 3 ?

2

?1? 1? ? ? 6 2 * 对 n ? N 恒成立, ? 3 ? ?n ? 3 ? n 2 ?1 ?1? 1? ? ? ?2?

n

6 ? 3 对 n ? N * 恒成立,所以 ? ≥ 3 ,即 ? 的最小值为 3;………………12 分 2 ?1
n

2x 2y (3)若 an ,2 an?1 ,2 an?2 成等差数列,其中 x, y 为正整数,则 n ?1 , n , n ?1 成等差数列, 2 2 2
x y

1

整理得 2 ? 1 ? 2
x

y ?2

,………………………………………………………………………14 分

当 y ? 2 时,等式右边为大于 2 的奇数,等式左边是偶数或 1,等式不能成立, 所以满足条件的 x, y 值为 x ? 1, y ? 2 .……………………………………………………16 分 20. (1)因为 h ? x ? ?

ln x 1 ? ln x ,…………………………………2 分 , ? x ? 0? ,所以 h? ? x ? ? x x2

由 h?( x) ? 0 ,且 x ? 0 ,得 0 ? x ? e ,由 h?( x) ? 0 ,且 x ? 0 , x ? e ,…………………4 分 所以函数 h ? x ? 的单调增区间是 (0, e] ,单调减区间是 [e, ??) , 所以当 x ? e 时, h ? x ? 取得最大值 ;………………………………………………………6 分 (2)因为 xf ( x) ≥ ?2 x2 ? ax ? 12 对一切 x ? (0,??) 恒成立, 即 x ln x ? x 2 ≥ ?2 x 2 ? ax ? 12 对一切 x ? (0,??) 恒成立, 亦即 a ≤ ln x ? x ?

1 e

12 对一切 x ? (0,??) 恒成立,…………………………………………8 分 x

设 ? ( x) ? ln x ? x ?

12 x 2 ? x ? 12 ( x ? 3)(x ? 4) ? ,因为 ? ?( x) ? , x x2 x2

故 ? (x) 在 (0,3] 上递减,在 [3,??) 上递增, 所以 a ≤ 7 ? ln 3 .

? ( x) min ? ? (3) ? 7 ? ln 3 ,

…………………………………………………………………………10 分
3 2

(3)因为方程 f ( x) ? x 3 ? 2ex2 ? bx ? 0 恰有一解,即 ln x ? x ? x ? 2ex ? bx ? 0 恰有

ln x ? x 2 ? 2ex ? b ? 1 恰有一解, x 1 由(1)知, h(x) 在 x ? e 时, h( x ) max ? , …………………………………………12 分 e
一解,即 而函数 k ?x? ? x 2 ? 2ex ? b ? 1 在 (0, e] 上单调递减,在 [e,??) 上单调递增, 故 x ? e 时, k ?x?min ? b ? 1 ? e 2 ,…………………………………………………………14 分

ln x 1 ? x 2 ? 2ex ? b ? 1 恰有一解当且仅当 b ? 1 ? e 2 ? , x e 1 2 即 b ? e ? ? 1 . …………………………………………………………………………16 分 e
故方程


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