(课堂设计)2014-2015高中数学 2.1.1 指数与指数幂的运算学案 新人教A版必修5

2.1.1

指数与指数幂的运算
自主学习

1.了解指数函数模型的实际背景,体会引入有理数指数幂的必要性. 2.理解有理数指数幂的含义,知道实数指数幂的意义,掌握幂的运算. 1.如果______________________,那么 x 叫做 a 的 n 次方根. n 2.式子 a叫做________,这里 n 叫做根指数,a 叫做被开方数. 3.(1)n∈N 时,( a) =________. (2)n 为正奇数时, a =________;n 为正偶数时, a =________. 4.分数指数幂的定义: (1)规定正数的正分数指数幂的意义是:a =__________(a>0,m、n∈N ,且 n>1); (2)规定正数的负分数指数幂的意义是:a- =______(a>0,m、n∈N ,且 n>1); (3)0 的正分数指数幂等于________,0 的负分数指数幂________________. 5.有理数指数幂的运算性质: r s r s (1)a a =________(a>0,r、s∈Q);(2)(a ) =________(a>0,r、s∈Q); r (3)(ab) =________(a>0,b>0,r∈Q). 对点讲练 根式与分数指数幂的互化 【例 1】 用分数指数幂的形式表示下列各式(式中 a>0)的化简结果: 3 2 3 (1)a · a ; 3 (2) a a; (3)
*

n

n

n

n

n

n

m n

*

m n

*

a · a -3 ·

3 2

1 1 13 -5 ?a ?- ?a- ? . 2 2

规律方法 此类问题应熟练应用 a = a (a>0,m,n∈N ,且 n>1).当所求根式含有 多重根号时,要搞清被开方数,由里向外用分数指数幂写出,然后再用性质进行化简. 变式迁移 1 将下列根式化成分数指数幂的形式: (1) 3 1 4 ; (2)(

m n

n

m

*

b- )- (b>0).

2 3

2 3

x? x2?2

5

1

利用幂的运算性质化简、求值 【例 2】 计算(或化简)下列各式: 2 2+1 3-2 2 (1)4 ·2 ·8- ; 3 1 ? 7?0 4 1 3 -0.75 (2)(0.064)- -?- ? +[(-2) ]- +16 +|-0.01| ; 3 ? 8? 3 2 1 1 a+b-2a ·b 2 2 a-b (3) - (a>0,b>0). 1 1 1 1 a +b a -b 2 2 2 2

规律方法 一般地,进行指数幂运算时,化负指数为正指数,化根式为分数指数幂,化 小数为分数进行运算,便于进行乘、除、乘方、开方运算,可以达到化繁为简的目的.利用 1 2 乘法公式解决分数指数幂的化简求值问题,是简化运算的常用方法,熟练掌握 a= (a ) 2 1 3 b b b b b -b (a>0),a=(a ) 以及 a -a =(a +a- )·(a -a- )等变形. 3 2 2 2 2 1 ? 7?0 4 3 0.25 6 变式迁移 2 求值:1.5- ×?- ? +8 × 2+( 2× 3) - 3 ? 6?

?-2?2. ? 3?3 ? ?

灵活应用——整体代入法 1 1 2 2 【例 3】 已知 x+y=12,xy=9,且 x<y,求 的值. 1 1 x +y 2 2

x -y

2

规律方法 “整体代入”方法在条件求值中非常重要, 也是高中数学的一种重要的解题 思想、解题方法,它反映了我们“把握全局”的能力.解题过程中不宜求出 x、y 后再代入, 而应考虑把 x+y 及 xy 整体代入求值. 3 3 x +x- +2 2 2 1 1 变式迁移 3 已知 x +x- =3,求 的值. 2 2 x+x-1+3

1.理解好方根的概念,是进行根式的计算和化简的关键. 2.将根式转化为分数指数幂是化简求值的关键. 3. 正整数指数幂的运算性质对于实数指数幂仍然适用, 只是底数的范围缩小为 a>0.(想 一想,为什么?) 课时作业 一、选择题 1.下列根式与分数指数幂互化中正确的是( 1 A.- x=(-x) (x≠0) 2

) 1 3 B.x- =- x(x≠0) 3

4 x 3 y 3 6 2 1 C.( )- = ? ? (xy>0) D. y =y (y<0) y 4 x 3 1 2n+1 n+1 2 ?2 ? ×? ? 2 * 2.计算 (n∈N )的结果为( ) n -2 4 ×8 1 1 2n-7 2n+5 2 A. 4 B.2 C.2n -2n+6 D.( ) 6 2 3 3.( A.a 4 4

a ) ·(
B.a
2

6 2

3

a6)2 等于(

) 3 C.a

D.a

4

5 -2 4.把根式-2 ?a-b? 改写成分数指数幂的形式为( ) 2 5 A.-2(a-b)- B.-2(a-b)- 5 2 2 2 5 5 C.-2(a- -b- ) D.-2(a- -b- ) 5 5 2 2 4 1 ? 1 1 1?2 5.化简(a b )÷?- a b ? 的结果是( ) 3 2 ? 3 6 4? A.6a B.-a
3

C.-9a 二、填空题 2 6.计算:64- 的值是________. 3 7.化简
x

D.9a

-x

3

x

的结果是________.
y
2x-y

8.设 5 =4,5 =2,则 5 三、解答题 9.化简求值:

=________.

3 2 2 3 (1)( a-1) + ?1-a? + ?1-a? ; 7 -3 3 -8 3 15 3 a ÷ a a ÷ a-3 a-1; 2 1 ? 1?-2 3 -1 0 (3)(0.027)- -?- ? +256 -3 +( 2-1) . 3 ? 7? 4 (2) 3

a

10.(1)若 2 +2 =3,求 8 +8 的值; 8 17 (2)已知 a=- ,b= ,求 27 71

x

-x

x

-x

a +3 ab+9b a -27a b
4 3 1 3

2 3

3

2 3

a
÷ 3

1 3 3

的值.

a-3 b

第二章 基本初等函数(Ⅰ) §2.1 指数函数 2.1.1 指数与指数幂的运算 答案 自学导引 n * 1.x =a(n>1,且 n∈N ) 2.根式 3.(1)a (2)a |a| 4.(1) a 5.(1)a 对点讲练

n

m

r+s

m a n rs r r (2)a (3)a b

(2)

1

(3)0 没有意义

4

2 2 11 3 2 3 3 (1)a · a =a ·a =a3+ =a . 3 3 3 1 1 3 1 3 (2) a a=(a·a ) =(a ) =a . 2 2 2 2 4 3 3 1 1 1 13 1 -5 (3)原式=(a ·a- ) ·[(a )- ·(a- ) ] 2 2 3 2 2 2 1 5 13 1 0 =(a ) ·(a ·a- ) 3 2 2 2 -4 1 -2 =(a ) =a . 2 1 1 1 变式迁移 1 解 (1)原式= = = 3 3 2 4 3 9 x·?x ?2 x·x x 5 5 5 1 1 3 = = =x- . 9 1 3 5 ?x ? x 5 3 5 2 1 2 2 1 ? 2? 1 (2)原式=[(b- ) ]- =b- × ×?- ?=b . 3 4 3 3 4 ? 3? 9 2 2 2+1 3-2 2 3 【例 2】 解 (1)原式=(2 ) ·2 ·(2 )- 3 【例 1】 解 =2 2 =2 ·2 2+2+3-2 2-2 3 =2 =8. 1 3 -4 -3 2 1 (2)原式=[(0.4) ]- -1+(-2) +2 +[(0.1) ] 3 2 1 1 143 -1 =(0.4) -1+ + +0.1= . 16 8 80 1 1 1 1 1 1 2 ?a +b ??a -b ? ?a -b ? 2 2 2 2 2 2 (3)原式= - 1 1 1 1 a +b a -b 2 2 2 2 1 1 1 1 =a -b -(a -b )=0. 2 2 2 2 1 3 1 ?2?2 1 2 3 变式迁移 2 解 原式= ×1+2 ×2 +2 ×3 -? ? × 3 4 4 1 ?3?3 2 ? ? ?2?3 ? ? ?2?1 ?2?1 =? ? +2+108-? ? =110. ?3?3 ?3?3 1 1 1 1 2 x -y ?x -y ? 2 2 2 2 【例 3】 解 = 1 1 1 1 1 1 x +y ?x +y ??x -y ? 2 2 2 2 2 2 1 ?x+y?-2?xy? 2 = . ① x-y ∵x+y=12,xy=9, ② 2 2 ∴(x-y) =(x+y) -4xy 2 =12 -4×9=108.
2 2+2

·2

3-2

2

-2

5

∵x<y,∴x-y=-6 3. ③ 将②、③式代入式①得 1 1 1 x -y 12-2×9 2 2 2 3 = =- . 1 1 3 -6 3 x +y 2 2 1 1 变式迁移 3 解 ∵x +x- =3, 2 2 1 1 2 -1 ∴(x +x- ) =9,即 x+x +2=9, 2 2 -1 -1 ∴x+x =7,x+x +3=10. 3 3 1 3 1 3 ∵x +x- =(x ) +(x- ) 2 2 2 2 1 1 1 1 -1 =(x +x- )(x-x ·x- +x ) 2 2 2 2 =3×(7-1)=18, 3 3 ∴x +x- +2=20, 2 2 3 3 x +x- +2 2 2 20 ∴ = =2. -1 x+x +3 10 课时作业 1.C 2.D 3.B 4.A 5.D 1 6. 16 2 2 1 6 -4 解析 64- =(2 )- =2 = . 3 3 16 7.- -x 解析 由题意知 x<0, 3 3 -x -x ∴ =- 2 =- -x.

x

x

8.8 2x-y x 2 y -1 2 -1 解析 5 =(5 ) ·(5 ) =4 ·2 =8. 9.解 (1)由题意知,a>1, ∴原式=a-1+(a-1)+1-a=a-1. 3 (2)原式= 3 2 = a÷ 7 3

a a- ÷ a ÷ a-2
3

7 2

3 2

a- a ÷

8 15 3 3

3

a- a-

3 2

1 2

2 7 1 -2 1 =a ÷(a ) ÷(a ) 3 3 2 3 2 7 2 =a ÷a ÷a- 3 6 3 2 7 2 1 =a - -(- )=a . 3 6 3 6 1 1 3 -1 -2 4 3 (3)原式=(0.3 )- -(-7 ) +(4 ) - +1 3 4 3

6

10 1 -49+64- +1=19. 3 3 x -x x 3 -x 3 10.解 (1)∵8 +8 =(2 ) +(2 ) x -x x 2 x -x -x 2 =(2 +2 )[(2 ) -2 ·2 +(2 ) ] x -x 2 x -x =3[(2 +2 ) -3·2 ·2 ] 2 =3×(3 -3)=18. (2)∵a≠0,a-27b≠0 2 1 1 1 1 1 a +3a b +?3b ?2 a -3b 3 3 3 3 3 3 ∴原式= × 1 1 a ?a-27b? a 3 3 1 3 1 3 ?a ? -?3b ? 3 3 2 = =a- 2 3 a ?a-27b? 3 8 2 2 -2 3 2 9 =(- )- =(- ) =(- ) = . 27 3 3 2 4 =

7


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