直线与圆锥曲线专题

直线与圆锥曲线专题
一、圆的方程[知识点] 1、圆的方程: ①标准方程: ?x ? a? ? ( y ? b) ? r 2 ,c(a、b)为圆心,r 为半径。
2

②一般方程: x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,

? D E? C ? ? ,? ? , r ? ? 2 2?

D 2 ? E 2 ? 4F 2

当 D 2 ? E 2 ? 4F ? 0 时,表示一个点。 当 D 2 ? E 2 ? 4F ? 0 时,不表示任何图形。 ③参数方程:
x ? a ? r cos ?

y ? b ? r sin ? ( ? 为参数)

注:以 A(x1,y1) ,B(x2,y2)为直径的两端点的圆的方程是: (x-x1) (x-x2)+(y-y1) (y-y2)=0 2、点与圆的位置关系:考察点到圆心距离 d,然后与 r 比较大小。 3、直线和圆的位置关系:相交、相切、相离 判定: ①代数法:联立方程组,消去一个未知量,得到一个一元二次方程: △>0 ? 相交、△=0 ? 相切、△<0 ? 相离 ②几何法:利用圆心 c (a、b)到直线 Ax+By+C=0 的距离 d 来确定: d<r ? 相交、d=r ? 相切 d>r ? 相离 (直线与圆相交,注意半径、弦心距、半弦长所组成的 Rt△) 4、圆的切线: (1)过圆上一点的切线方程: ①与圆 x 2 ? y 2 ? r 2 相切于点(x1、y1)的切线方程是 x1 x ? y1 y ? r 2 ② 与 圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 相 切 于 点 ( x1 、 y1 ) 的 切 线 方 程 为 :

( x1 ? a)(x ? a) ? ( y1 ? b)( y ? b) ? r 2

③与圆 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 相切于点(x1、y1)的切线是:
x1 x ? y1 y ? D( x ? x1 y ? y1 ) ? E( )?F ?0 2 2

(2)过圆外一点切线方程的求法: 已知:P0(x0,y0)是圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 外一点。
? ( x1 ? a ) 2 ? ( y1 ? b) 2 ? r 2 ①设切点是 P1(x1、y1)解方程组 ? 2 ?( x0 ? a )( x1 ? a ) ? ( y 0 ? b)( y1 ? b) ? r

先求出 P1 的坐标,再写切线的方程 ②设切线是 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) 即 kx ? y ? kx0 ? y0 ? 0 再由

ka ? b ? kx0 ? y 0 k 2 ?1

? r ,求出 k,再写出方程。

(当 k 值唯一时,应结合图形、考察是否有垂直于 x 轴的切线) ③已知斜率的切线方程:设 y ? kx ? b (b 待定) ,利用圆心到 L 距离为 r, 确定 b。 5、圆与圆的位置关系: 由圆心距进行判断、相交、相离(外离、内含) 、相切(外切、内切) 。 6、圆系: ①同心圆系: ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 , (a、b 为常数,r 为参数) 或: x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 (D、E 为常数,F 为参数) ②圆心在 x 轴: ( x ? a) 2 ? y 2 ? r 2 ③圆心在 y 轴: x 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 ④过原点的圆系方程 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? a 2 ? b 2 ⑤过两圆 C1 : x 2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0 和

C2 : x 2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 的交点的圆系方程为: x 2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 入( x 2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ) ? 0

(不含 C2,其中入为参数) 注:若 C1 与 C2 相交,则两方程相减所得一次方程就是公共弦所在直线方程。

二、椭圆的方程 1.
定义 椭圆 1. 到两定点 F1,F2 的距离之和为定值 2a(2a>|F1F2|) 的点的轨迹 2. 与定点和直线的距离之比为定值 e 的点的轨迹. (0<e<1)
x2 y2 ? ? 1 ( a ? b >0) a2 b2

图形 标准方程 方 参数方程 程 范围 中心 顶点 对称轴 焦点 焦距 离心率 准线

? x ? a cos? ? y ? b sin ? ? (参数?为离心角)
─a?x?a,─b?y?b 原点 O(0,0) (a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b) x 轴,y 轴; 长轴长 2a,短轴长 2b F1(c,0), F2(─c,0) 2c (c= a 2 ? b 2 )
e? c (0 ? e ? 1) a

x= ? 渐近线 焦半径 通径

a2 c

r ? a ? ex

2b 2 a a2 c

焦参数

2.点 P(x0,y0)和圆锥曲线 C:f(x,y)=0 的位置关系有:点 P 在曲线 C 上、 点 P 在曲线 C 内部(含焦点区域)、点 P 在曲线的外部(不含焦点的区域).

3.圆锥曲线的弦长求法 设圆锥曲线 C∶f(x,y)=0 与直线 l∶y=kx+b 相交于 A(x1,y1)、B(x2,y2) 两点,则弦长|AB|为:

(2)若弦 AB 过圆锥曲线的焦点 F,则可用焦半径求弦长,|AB|=|AF|+|BF|.

三、几种常见求轨迹方程的方法 1.直接法:由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几 何条件列出等式,再用坐标代替这等式,化简得曲线的方程。 例 1(1)求和定圆 x2+y2=k2 的圆周的最小距离等于 k 的动点 P 的轨迹方程; (2)过点 A(a,o)作圆 O∶x2+y2=R2(a>R>o)的割线,求割线被圆 O 截得弦的中点 的轨迹. 2.定义法

利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写 出所求的动点的轨迹方程,这种方法叫做定义法. 例 2 设 Q 是圆 x2+y2=4 上的动点,另有点 A( 3,0), 线段 AQ 的垂直平分线 l 交半 径 OQ 于点 P,当 Q 点在圆周上运动时,求点 P 的轨迹方程. 3.相关点法 若动点 P(x,y)随已知曲线上的点 Q(x0,y0)的变动而变动,且 x0、y0 可用 x、y 表示,则将 Q 点坐标表达式代入已知曲线方程,即得点 P 的轨迹方程.这种方法 称为相关点法(或代换法). 例 3 已知抛物线 y2=x+1,定点 A(3,1)、B 为抛物线上任意一点,点 P 在线段 AB 上,且有 BP∶PA=1∶2,当 B 点在抛物线上变动时,求点 P 的轨迹方程. 例4.垂直于y轴的直线与y轴及抛物线y2=2(x–1)分别交于点A和点P,点B在y轴上 且点A分 OB 的比为1:2,求线段PB中点的轨迹方程. 4.待定系数法 求圆、椭圆方程常用待定系数法求. 例 4 已知抛物线 y2=4x 和以坐标轴为对称轴、实轴在 y 轴上的双曲线仅有两个公 共点,又直线 y=2x 被双曲线截得线段长等于 2 5 ,求此双曲线方程.

四、直线与圆的位置关系 1、(湖北卷)已知直线 5x ? 12 y ? a ? 0 与圆 x
a 的值为?
2

? 2 x ? y 2 ? 0 相切,则

2、上海春) ( 已知圆 C : ( x ? 5)

2

? y2 ? r 2

(r ? 0) 和直线 l : 3x ? y ? 5 ? 0 .



圆 C 与直线 l 没有公共点,则 r 的取值范围是? 3、 (2001 上海春,6)圆心在直线 y=x 上且与 x 轴相切于点 (1,0)的圆的方程为?

4、 若直线 ax ? 2by ? 2 ? 0(a, b ? 0) 始终平分圆 x
1 2 ? 长,则 a b

2

? y 2 ? 4x ? 2 y ? 8 ? 0 的周

的最小值为?(可用 2 种方法)
2

5、已知定点 A(4,0)和圆 x + y =4 上的动点 B,动点 P 满足 OA + OB
?? ? ?? ?

2

=2 OP

?? ?

,则点 P 的轨迹方程?
2

6、 (全国卷 I)从圆 x

? 2x ? y 2 ? 2 y ? 1 ? 0 外一点 P ? 3, 2 ? 向这个圆作

两条切线,则两切线夹角的余弦值为? 7、 (2004 年北京高考·理工第 12 题) 曲线 C:
?x ? cos? ? ?y ? ?1 ? sin?

( ? 为参数)的普通方程是__________,

? ? ? 有公共点, 如果曲线 C 与直线 x y a 0 那么实数 a 的取值范

围是_______________. 8、 若直线 y=kx+1 与焦点在 x 点,求 m 的取值范围.
x2 y 2 ? ?1 轴上的椭圆 5 m 总有公共

9、椭圆 C:

x2 y 2 ? ?1 4 3 上有相异两点关系直线

l: y=4x+m 对

称,求 m 的取值范围.
1 点拨 1: 对称点在直线 l’ : y ? ? x ? n 上, l’与椭圆 C 有两个不同的交点, 且 4 可用“判别式法”.

点拨 2:两对称点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)连线的中点 M(x0,y0)在椭圆 C 内,可 用“内点法”.


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