2018年全国高中数学联赛(重庆赛区)预赛试题参考答案


2018 年全国高中数学联赛(重庆赛区)预赛试题参考答案 一、填空题: 本大题共 6 小题,每小题 8 分,共 48 分,把答案填在横线上. 1.设集合 A ? ?a ?1, 2log2 b? 与 B=?a ?1, log2 (16b ? 64)? 恰有一个公共元素为 a , 则实 数a ? 答案: 6 . 解析:因为 a ? 1 ? a, a ? 1 ? a, 所以公共元素为 2log2 b ? log2 (16b ? 64) ,解得 b ? 8, a ? 2log2 b ? 6 。 2. 从正九边形中任取三个顶点构成三角形, 则正九边形的中心在三角形内的概率 为 . 答案: 5 14 解析:如图,正 9 边形中包含中心的三角形有以下三种形状: ( 1) ( 2) ( 3) 对于(1),有 3 种情况;对于(2),有 9 种情况;对于(3);有 18 种情况;故所求概率为 P? 3 ? 9 ? 18 5 ? 3 C9 14 3.设 O (0, 0) , A(1, 0) , B(0,1) ,点 P 是线段 AB 上的一个动点, AP=? AB ,若 uu u r uu u r uu u r uu u r uu r uur OP ? AB ? PA ? PB ,则实数 ? 的取值范围是_______________. 答案: [1 ? 2 2 ,1] uu u r uu u r uu u r uur uu u r uur AP ? ? AB ? OP ? (1 ? ? ) OA ? ? OB ? (1 ? ? , ? ) 解析: ,则 PB ? (? ?1,1 ? ? ) , uu r PA ? (?, ??) , uu u r uu u r uu r uur OP ? AB ? PA ? PB ? (1? ?, ?) ? (?1,1) ? (?, ??) ? (? ?1,1? ?) ? 2? 2 ? 4? ?1 ? 0 ,解得: 1? 2 2 ? ? ? 1? 2 2 , 因点 P 是线段 AB 上的一个动点, 所以 0 ? ? ? 1 , 综上, 满足条件的 ? 1? 的取值范围是 2 ? ? ?1 2 . 4.顶点为 P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形, A 是底面圆周上的点, B 是底面 O 为底面圆圆心, AB ? OB , OH ? HB , 圆内的点, 垂足为 B , 垂足为 H , 且 PA ? 4 , 1 C 为 PA 的中点,则当三棱锥 O ? HPC 的体积最大时, OB 的长为______. 答案: 6 . 5.已知复数 z 的模为 1 ,则 | z ? 4 |2 ? | z ? 3i |2 的最小值为_____________. 答案: 17 解:在复平面内,设 A(4, 0) 、B(0, ?3) ,P 为单位圆上的点,问题转化为求 | PA |2 ? | PB |2 的 最小值,设 P(cos ? ,sin ? ) ,其中 ? ? R | PA |2 ? | PB |2 ? (cos ? ? 4)2 ? sin 2 ? ? cos2 ? ? (sin ? ? 3)2 ? 27 ? 6sin ? ? 8cos ? ? 27 ? 10sin(? ? ? ) ? 17 由于 ? ? R ,必存在 ? 使 sin(? ? ? ) ? ?1 ,即等号可以取到. 2 2 2 6.在 ABC 中, sin A ? sin C ? 2018sin B ,则 (tan A ? tan C

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