普通高考数学一轮复习 第12讲 空间中的夹角和距离精品学案

2013 年普通高考数学科一轮复习精品学案 第 12 讲 空间中的夹角和距离 一.课标要求: 1.掌握两条直线所成的角和距离的概念及等角定理; (对于异面直线的距离,只要求会 计算已给出公垂线时的距离) 。 2.掌握点、直线到平面的距离,直线和平面所成的角; 3.掌握平行平面间的距离,会求二面角及其平面角; 二.命题走向 高考立体几何试题一般共有 4 道(选择、 填空题 3 道, 解答题 1 道), 共计总分 27 分左右, 考查的知识点在 20 个以内。随着新的课程改革的进一步实施,立体几何考题正朝着“多一点 思考,少一点计算”的发展,从历年的考题变化看, 以多面体和旋转体为载体的线面位置关系 的论证,角与距离的探求是常考常新的热门话题。 预测 2013 年高考试题: (1)单独求夹角和距离的题目多为选择题、填空题,分值大约 5 分左右;解答题中的分 步设问中一定有求夹角、距离的问题,分值为 6 分左右; (2)选择、填空题考核立几中的计算型问题, 而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问 题, 当然, 二者均应以正确的空间想象为前提。 三.要点精讲 1.距离 空间中的距离是立体几何的重要内容,其内容主要包括:点点距,点线距,点面距,线 线距,线面距,面面距。其中重点是点点距、点线距、点面距以及两异面直线间的距离.因 此,掌握点、线、面之间距离的概念,理解距离的垂直性和最近性,理解距离都指相应线段 的长度,懂得几种距离之间的转化关系,所有这些都是十分重要的。 求距离的重点在点到平面的距离,直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到 平面的距离,一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。 (1)两条异面直线的距离 两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度,叫做两条异面直线的距离; 求法:如果知道两条异面直线的公垂线,那么就转化成求公垂线段的长度。 (2)点到平面的距离 平面外一点 P 在该平面上的射影为 P′,则线段 PP′的长度就是点到平面的距离;求法: 1 “一找二证三求”,三步都必须要清楚地写出来。○ 2 等体积法。 ○ (3)直线与平面的距离:一条直线和一个平面平行,这条直线上任意一点到平面的距离, 叫做这条直线和平面的距离; (4)平行平面间的距离:两个平行平面的公垂线段的长度,叫做两个平行平面的距离。 求距离的一般方法和步骤:应用各种距离之间的转化关系和“平行移动”的思想方法, 把所求的距离转化为点点距、点线距或点面距求之,其一般步骤是:①找出或作出表示有关 距离的线段;②证明它符合定义;③归到解某个三角形.若表示距离的线段不容易找出或作 出,可用体积等积法计算求之。异面直线上两点间距离公式,如果两条异面直线 a 、b 所成 的角为 , 它们的公垂线 AA′的长度为 d , 在 a 上有线段 A′E =m , b 上有线段 AF =n , 那么 EF = d 2 ? m2 ? n2 ? 2mncos? (“±”符号由实际情况选定) 2.夹角 空间中的各种角包括异面直线所成的角,直线与平面所成的角和二面角,要理解各种角 的概念定义和取值范围,其范围依次为 ( 0°,90° ] 、[0°,90°]和[0°,180°]。 (1)两条异面直线所成的角 求法:○ 1 先通过其中一条直线或者两条直线的平移,找出这两条异面直线所成的角,然 后通过解三角形去求得;○ 2 通过两条异面直线的方向量所成的角来求得,但是注意到异面直 线所成角得范围是 (0, ? 2 ] ,向量所成的角范围是 [0, ? ] ,如果求出的是钝角,要注意转化成相 应的锐角。 (2)直线和平面所成的角 求法:“一找二证三求”,三步都必须要清楚地写出来。除特殊位置外,主要是指平面 的斜线与平面所成的角,根据定义采用“射影转化法”。 (3)二面角的度量是通过其平面角来实现的 解决二面角的问题往往是从作出其平面角的图形入手,所以作二面角的平面角就成为解 题的关键。通常的作法有: (Ⅰ)定义法; (Ⅱ)利用三垂线定理或逆定理; (Ⅲ)自空间一点 作棱垂直的垂面,截二面角得两条射线所成的角,俗称垂面法.此外,当作二面角的平面角 有困难时,可用射影面积法解之,cos 斜面与射影面所成的二面角。 3.等角定理 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,并且方向相同,那么这两个角相等。 推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或 直角)相等。 四.典例解析 题型 1:直线间的距离问题 例 1. 已知正方体 ABCD ? A' B' C' D' 的棱 长为 B C 1,求直线 DA'与 AC 的距离。 O 解法 1: 如图 1 连结 A'C', 则 AC∥面 A'C'D', 连结 DA'、DC'、DO',过 O 作 OE⊥DO'于 E A D 因为 A'C'⊥面 BB'D'D,所以 A'C'⊥OE。 又 O'D⊥OE,所以 OE⊥面 A'C'D。 因此 OE 为直线 DA'与 AC 的距离。 E B' C' 在 Rt△OO'D 中, OE·O' D ? OD·OO' ,可 求得 O' A' D' 图1 = S? ,其中 S 为斜面面积,S′为射影面积, S 为 OE ? 3 3 得到 点评:此题是异面直线的距离问题:可作出异面直线的公垂线。 解法 2: 如图 2 连接 A'C'、 DC'、 B'C、 AB'A', C 分别包含 DA'和 AC 的两个平面 A'C'D 和平面 AB'C, 又 因 为 A'C'∥AC , A'D∥B'C , 所 以 面 D A'C'D∥面 AB'C。 O1 故 DA'与 AC 的距离就是平面 A'C'D 和平面 的距离,连 BD'分别交两平面于 O1 ,O2 两点, C' O2 B A AB'C B' 易证 O1O2 是两平行平面距离。 D' 不 难 算 出 BO1 ? D' O2 ? 3 a ,所以 3 图2 A' O

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