15届高三理科数学三诊模拟考试试题

成都七中高 2015 届数学三诊模拟试题(理科)
第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.设集合 U ? ? 1 , 2 , 3 , 4 ? , A ? ?1 , 2 ? , B ? ? 2 , 4 ? , 则 ( C U A )? B ? ( A. ? 4 ? 2. 已知复数 z ? A.一象限
3?i 2i



B. ? 2 ?

C. ? 1 , 4 ?

D. ? 1 , 2 , 4 ? ) D.四象限 )

( i 为虚数单位) ,则复数 z 所在的象限是( B.二象限 C.三象限

3. “函数 f ( x ) ? kx ? 2 在区间 ?? 1, 1 ? 上存在零点”是“ k ? 3 ”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4. 已知 | a | ? 1, | b | ? 2 3 , a ? ( b ? a ) ? ? 4 ,则向量 a 与 b 的夹角为( A.
?
6



B.

2? 3

C.

?
3

D.

5? 6

5. 设 ? a n ? 是公差为正数的等差数列,若 a 1 ? a 2 ? a 3 ? 1 5 , a 1 a 2 a 3 ? 8 0 ,则
a1 1 ? a1 2 ? a1 3 ? (

) C.105 D.120

A.75

B.90

6.已知函数 f ( x ) ? a s in x ? b c o s x ( x ? R ) , 若 x ? x 0 是函数 f ( x ) 的一条对称轴, 且 ta n x 0 ? 2 , 则点 ( a , b ) 所在的直线方程为( A. x ? 2 y ? 0 B. x ? 2 y ? 0 ) C. 2 x ? y ? 0 D. 2 x ? y ? 0 )

7.一个四棱锥的三视图如图所示,那么对于这个四棱锥,下列说法中正确的是( A.最长棱的棱长为 B.最长棱的棱长为 3 C.侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形 D.侧面四个三角形都是直角三角形 1 1 正(主)视图
6

2

2 1 侧(左)视图

1 1 俯视图

8.在 ?ABC 中,已知 AB ? 4 3 , AC ? 4, ?B ? 30 ? ,则 ?ABC 的面积是( A. 4 3
x a
2 2



B. 8 3
y b
2 2

C. 4 3 或 8 3

D. 3
?
6

9. 过双曲线

?

? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ) 的左焦点 F ( ? c , 0 ) ( c ? 0 ) ,作倾斜角为

的直线 F E 交

该双曲线右支于点 P ,若 O E ? A. 2 ? 1 B. 3 ? 1

1 2

( O F ? O P ) ,且 O E ? E F ? 0 ,则双曲线的离心率为(

)

C.

2
( x ? 1) ( x ? 1)

D. 3
1 x

10.已知函数 f ( x ) ? ? 个数不可能 为( ... A.3 个

? lo g 5 (1 ? x ) ??(x ? 2) ? 2
2

, 则关于 x 的方程 f ( x ?

? 2 ) ? a ( a ? R ) 的实根

) B.5 个 C.6 个 D. 7 个

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共计 25 分 11.运行如图所示的流程图,如果输入 a ? 1, b ? 2 ,则输出的 a 的值为 开始 .

输入 a,b

a>8 N a a+b

Y

输出 a

结束

12.已知 (1 ? 2 x ) 4 的展开式中的二次项系数的最大值为 a ,系数的最大值为 b ,则

b a

的值为

13. 已知向量 a=(2,-1),b=(1,m),c=(-1,2),若(a+b)∥c,则 m=________.
? x ? y ≤ 1, 为不等式组 ? 表示的平面区域,点 B ( a , b ) ? 2 x ? y ≥ ? 1, ? x ? 2 y≤1 ?

14.设 D

为坐标平面 x O y 内一点,若对于区域

D 内的任一点 A ( x , y ) ,都有 O A ? O B ≤ 1 成立,则 a ? b 的最大值等于

15.设 x , y ? R , 定义 x ? y ? x ( a ? y ) ( a ? R , 且 a 为常数) , 若 f ( x ) ? e x ,g ( x ) ? e ? x ? 2 x 2 ,
F ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) .[来源:Zxxk.Com]

① g ( x ) 不存在极值; ②若 f ( x ) 的反函数为 h ( x ) ,且 函数 y ? k x 与函数 y ? h ( x ) 有两个交点,则 k ? ③若 F ( x ) 在 R 上是减函数,则实数 a 的取值范围是 ( ? ? , ? 2 ] ;[来源:学科网] ④若 a ? ? 3 ,在 F ( x ) 的曲线上存在两点,使得过这两点的切线互相垂直. 其中真命题的序号有__________(把所有真命题序号写上).
1 e



三、解答题(本大题 6 小题,共计 75 分) 16.(12 分)已知函数 f ? x ? ? 2 cos
2

x 2

?

3 sin x 。

(1)求函数 f ? x ? 的最小正周期和值域; (2)若 ? 为第二象限角,且 f ? ? ?
? ?

? ?

cos 2 ? 1 ,求 的值。 ? ? 1 ? cos 2 ? ? sin 2 ? 3 ? 3

17.(12 分)如图,四棱锥 P ? A B C D 中, ? P A B 是正三角形,四边形 A B C D 是矩形,且平面 P A B ? 平面 A B C D , P A ? 2 , P C ? 4 . (Ⅰ)若点 E 是 P C 的中点,求证: P A / / 平面 B D E ; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,在线段 PA 上是否存在一点 F 且 F A ? ? P A ,使得二面角 E-BD-F 为直 二面角,若存在,求实数 ? 的值;若不存在,请说明理由.

P

E F A B C D

18.(12 分)成都七中科技活动月开展了知识竞赛活动.比赛分为初赛和复赛两部分,初赛采用选 手从备选题中选一题答一题的方式进行;每位选手最多有 5 次答题机会,选手 累计答对 3 题或答 错 3 题即终止比赛,答对 3 题者直接进入复赛,答错 3 题者则被淘汰.已知选手甲答对每个题的 概率均为
2 3

,且回答各题相互间没有影响.

(1)求选手甲进入复赛的概率; (2)设选手甲在初赛中答题的个数为 X ,试求 X 的分布列和数学期望.

19.(12 分)设等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , S 4 ? 4 S 2 , a 2 n ? 2 a n ? 1 (1)求数列 { a n } 的通项公式; (2) 设数列 { b n } 的前 n 项和为 T n , 且Tn ? 的前 n 项和为 R n
an ? 1 2
n

cn ? b ? ? (? 为 常 数 ) ,

2 n ?1

求数列 { c n } (n ? N ) ,

*

20. (13 分) 已知抛物线 C : y 2 ? 2 p x ( p ? 0 ) 的焦点为 F , 准线 l 与 x 轴的 交点为 M .点 P ( m , n ) ( m ? p )在抛物线 C 上,且 ? F O P 的外接圆圆心到准线 l 的距离为 ,(Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)若直线 P F 与抛物线 C 交于另一点 A ,证明: k M P ? k M A 为定值; (Ⅲ)过点 P 作圆 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1 的两条切线,与 y 轴分别交于 D 、 E 两点,求 ? P D E 面积取 得最小值时对应的 m 值.
3 2

.[来源:学

21.(14 分)已知函数 g ? x ? ? a ln x , f ? x ? ? x ? x ? b x 。
3 2

(1)若 f ? x ? 在区间 ?1, 2 ? 上不是单调函数,求实数 b 的范围; (2)若对任意 x ? [1, ? ? ) ,都有 g ? x ? ? ? x ? ( a ? 2 ) x 恒成立,求实数 a 的取值范围;
2

(3)当 b ? 0 时,设 F ? x ? ? ?

? f (? x) ? g (x)

x ?1 x ?1

,对任意给定的正实数 a ,曲线 y ? F ? x ? 上是否

存在两点 P , Q ,使得 ? P O Q 是以 O ( O 为坐标原点)为直角顶点的直角三角形,而且此三 角形斜边中点在 y 轴上?请说明理由.


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