七宝中学2014年5月高三数学理科模拟试题

七宝中学 2014 年5月高三数学模拟试题(理科) 一、填空题(本题满分 56 分)本大题共有 14 题,要求在答题纸相应题序的空 格内直接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1 1. i 为虚数单位,复数 的虚部是____. 1? i

?log 2 x, x ? 0, 2. 设函数 f ( x) ? ? x x≤0, ?4 ,
的取值范围是__.

若函数 g ( x) ? f ( x) ? k 存在两个零点, 则实数 k

? 上的点, B 为曲线 3 . 在 极 坐 标 系 中 , A 为 曲 线 ? ? 2 cos ? cos? ? 4 上的点,则线段 AB 长度的最小值是__.
4.阅读如右图所示的程序框图,如果输入的 n 的值为 6,那么运

开始 输入 n i=0

n 是奇数



行相应程序,输出的 n 的值为__.



n?

2sin 2? 1 5.若 ? ? R ,则方程 ? 0 的解为____. 1 1
6 .已知正方形的四个顶点分别为 O(0, 0) , A(1, 0) , B(1,1) ,
C (0,1) , 点 D, E 分别在线段 OC , AB 上运动, 且 OD ? BE , 设 AD

n=3n+1 i=i+1


n 2

i<3


输出 n 结束

与 OE 交于点 G ,则点 G 的轨迹方程是___. 7. 年龄在 60 岁 (含 60 岁) 以上的人称为老龄人, 某小区的老龄人有 350 人, 他 们的健康状况如下表: 健康指数 60 岁至 79 岁的人数 80 岁及以上的人数 2 120 9 1 133 18 0 34 14 -1 13 9

其中健康指数的含义是:2 代表“健康” ,1 代表“基本健康” ,0 代表“不健康, 但生活能够自理” ,-1 代表“生活不能自理”. 按健康指数大于 0 和不大于 0 进行分层抽样,从该小区的老龄人中抽取 5 位,并 随机地访问其中的 3 位.则被访问的 3 位老龄人中恰有 1 位老龄人的健康指数不 大于 0 的概率是_____(用分数作答).
0 1 2 8. 已知数列{ an }的通项公式为 an ? 3n?1 ? 1 , 则 a1C n + a 2C n + a3Cn ?

+ an ?1C nn 的最

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简表达式为_____. 9 .平面 ? 的斜线 AB 交 ? 于点 B ,过定点 A 的动直线 l 与 AB 垂直,且交 ? 于点
C ,则动点 C 的轨迹是_________________.

10. 祖暅原理对平面图形也成立,即夹在两条平行线间的两个平面图形被任意一 条平行于这两条直线的直线截得的线段总相等,则这两个平面图形面积相等.利 用这个结论解答问题:函数 f ( x) ? 2x 、 g ( x) ? 2x ? 1与直线 x ? 0, x ? 1 所围成的图 形的面积为_______. 11.对于任意正整数,定义“n 的双阶乘 n!!”如下:对于 n 是偶数时, n!!=n· (n-2)· (n-4)……6×4×2;对于 n 是奇数时,n!!=n· (n-2)· (n-4)……5×3×1. 现有如下四个命题:①(2013!!)· (2014!!)=2014!;②2014!!=21007· 1007!;③2014!! 的个位数是 0;④2015!!的个位数不是 5.正确的命题是________. 12.已知关于 t 的一元二次方程 t 2 ? (2 ? i)t ? 2xy ? ( x ? y)i ? 0( x, y ? R) .当方程有 实根时,则 t 的取值范围______. 13.已知 P 是 ! ABC 内部一点, PA ? 2PB ? 3PC ? 0 ,记 ! PBC 、! PAC 、! PAB 的面积分别为 S1 、 S2 、 S3 ,则 S1 : S2 : S3 ? ________. 14. 在平面直角坐标系中, 对于任意相邻三点都不共线的有序整点列(整点即横 纵坐标都是整数的点)A(n) :A1 , A2 , A3 , , An 与 B(n) :B1 , B2 , B3 , , Bn , 其中 n ? 3 , 若同时满足:①两点列的起点和终点分别相同;②线段 Ai Ai ?1 ? Bi Bi ?1 ,其中
i ? 1, 2, 3,

,则称 A(n) 与 B(n) 互为正交点列. n ,? 1

则 A(3) : A1 (0, 2), A2 (3,0), A3 (5, 2) 的正交点列 B(3) 为 二、选择题(本题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题都给出四个结论,其中有且 只有一个结论是正确的, 必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑, 选对得 5 分,否则一律得零分. 15.已知集合 A ? {x | 5? | 2 x ? 3|? N *} ,则集合 A 的非空真子集数为 (A)14 (B) 512 (C)511
*





(D)510
*

16.已知函数 f ( x) ? 2 x ? 1, x ? N .若存在 x0 , n ? N ,使 f ( x0 ) ? f ( x0 ? 1) ?

?

f ( x0 ? n) ? 63 成立,则称 ( x0 , n) 为函数 f ( x) 的一个“生成点”.函数 f ( x) 的“生成点”
共有 ( )
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(A) 1 个

(B)2 个

(C)3 个

(D)4 个

17. 如 图 , 梯 形 ABCD 中 , AD

BC , AD ? AB ? 1 , AD ? AB , ?BCD ? 45

,将

?ABD 沿对角线 BD 折起.设折起后点 A 的位置为 A? ,使二面角 A? ? BD ? C 为直二面角.
给出下面四个命题:

A

D

① A?D ? BC ; ②三棱锥 A? ? BCD 的体积为 ③ CD ? 平面 A?BD ;

2 ; 2

B
其中正确命题的序号是 (A)①② (B)③④

C

④平面 A?BC ? 平面 A?DC . ( ) (C)①③ (D)②④

y) 在椭圆 C : 18 . 已知动点 P( x ,

x2 y 2 ? ? 1 上, F 为椭圆 C 的右焦点,若点 M 满足 25 16

| MF |? 1且 MP ? MF ? 0 ,则 | PM | 的最小值为( )
(A) 3 (B) 3 (C)

12 5

(D)1

三、解答题: (本题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸 的规定区域(对应的题号)内写出必要的步骤. 19. (本题 12 分) 圆形广场的有南北两个大门在中轴线上,东、西各有一栋建筑物与北门的距离分 别为 30 米和 40 米,且以北门为顶点(视大门和建筑物为 点)的角为 60 0 ,求广场的直径(保留两位小数).
B

C

D A

20. (本题 14 分)本题共有 2 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 设底面直径和高都是 4 厘米的圆柱的内切球为 O . (1)求球 O 的体积和表面积; (2)与底面距离为 1 的平面和球的截面圆为 M , AB 是圆 M 内的一条弦,其长 为 2 3 ,求 AB 两点间的球面距离.
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21. (本题 14 分)本题共有 3 小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 5 分, 第 3 小题满分 6 分. 如图,设椭圆
y 2 x2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 两顶点 A(?b,0), B(b,0) ,短轴长为 4,焦距为 a 2 b2

2,过点 P(4, 0) 的直线 l 与椭圆交于 C , D 两点.设直线 AC 与直线 BD 交于点 Q1 . (1)求椭圆的方程; (2)求线段 C , D 中点 Q 的轨迹方程; (3)求证:点 Q1 的横坐标为定值.
A D Q1 O B P x y

C

22. (本题 16 分)本题共有 3 小题,第 1 小题满分 2 分,第 2 小题满分 6 分, 第 3 小题满分 8 分. 数列 {an } 满足 an?1 ? (?1)n an ? 2n ? 1 ,且 a1 ? 2 , Sn 是 an 的前 n 和. (1)求 a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , a7 , a8 ; (2)求 an ; (3)求 Sn . 23.(本题 18 分)本题共有 3 小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分, 第 3 小题满分 8 分. 已知函数 f ( x) ? a(1? | x ? 1|) , a 为常数,且 a ? 1 . (1)证明函数 f ( x) 的图象关于直线 x ? 1 对称; (2)当 a ? 2 时,讨论方程 f ( f ( x)) ? m 解的个数; (3)若 x0 满足 f ( f ( x0 )) ? x0 ,但 f ( x0 ) ? x0 ,则称 x0 为函数 f ( x) 的二阶周期点, 则 f ( x) 是否有两个二阶周期点,说明理由.

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理科答案 ? 5? 1 (k ? Z ) ;6、 1、 ;2、 (0,1] ;3、2;4、5;5、 ? ? k? ? 或 ? ? k? ? 2 12 12
y ? x(1 ? x) (0 ? x ? 1) ;7、3/5;8、 2n ? 4n ;9、直线;10、1;11、①②③;12、 [?4, 0] ;13、1:2:3;14、 B1 (0, 2), B2 (2,5), B3 (5, 2)

DBBA

19.设南、北门分别为点 A、B,东、西建筑物分别为点 C、D. 在 ! BCD 中, CD2 ? 302 ? 402 ? 2 ? 30 ? 40 ? cos 600 ? 1300 , CD ? 1300 . 5 分 由 于 AB 为 ! BCD 的 外 接 圆 直 径 , 所 以

AB ?

CD 2 1 3 0 0 ? ? 0 s i n 6 0 3

2 0 3 9 ? 4 1 .. 6 3 3
12 分
D

B

所以广场直径约为 41.63 米.

C

4 32? 20. (1) V球 ? ? ? ? 23 ? ,?? 3 3

3分 6分 12 分

A

S表面积 ? 4?? 22 ? 16?
(2) ?AOB ?
2? , 3

?? ??
4? . ?? 3

所以 AB 两点间的球面距离为

14 分

21. (1)椭圆方程为

y 2 x2 ? ? 1. 5 4

??

3分
y12 x12 y 2 x2 ? ? 1 ①, 2 ? 2 ? 1 ② 5 4 5 4

(2)设 C( x1 , y1 ) , D( x2 , y2 ) , Q( x, y ) ,则 ① ? ②得 因
( y2 ? y1 ) ? ( y2 ? y1 ) 5 ? ? , ?? ( x2 ? x1 ) ? ( x2 ? x1 ) 4

5分

y2 ? y1 y y2 ? y1 y ? , ? , x2 ? x1 x ? 4 x2 ? x1 x

所以

y y 5 2 2 ? ? ? ,即 5x ? 20 x ? 4 y ? 0 ( 0 ? x ? 1 ). ??8 分 x?4 x 4
y1 ( x ? 2) , 直 线 BD 的 方 程 分 别 为 : x1 ? 2

用代入法求解酌情给分。 ( 3 ) 设 直 线 AC 的 方 程 为 : y ?
y?

y2 2( x y ? x y ) ? 4( y2 ? y1 ) (x ? 2 ) ,两式联立,消去 y 得 xQ ? 1 2 2 1 . ??10 分 x2 ? 2 x1 y2 ? x2 y1 ? 2( y2 ? y1 )

由 ① ? ②得
2 2 2 2 x2 y1 ? x12 y2 ? 4( y12 ? y2 ) ,即 ( x2 y1 ? x1 y2 )( x2 y1 ? x1 y2 ) ? 4( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) . ③

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又 P, C , D 三点共线,则 ②

y1 y2 ? , x2 y1 ? x1 y2 ? 4( y1 ? y2 ) , x1 ? 4 x2 ? 4



入③得 x2 y1 ? x1 y2 ? y1 ? y2 ,



把③、④代入⑤整理得 xQ ?

6 y2 ? 2 y1 ? 1 (定值). ??14 分 6 y2 ? 2 y1

22. (1) a2 ? 3, a3 ? 0, a4 ? 5, a5 ? 2, a6 ? 11, a7 ? 0, a8 ? 13 .??2 分 (2)由(1)猜想: a4k ?3 ? 2, a4k ?2 ? 8k ? 5, a4k ?1 ? 0, a4k ? 8k ? 3 .??3 分 用数学归纳法证明: ① n ? 1, 2,3, 4 时已经验证. ② n ? 4k (k ? 1) 时,猜想如上,则

a4k ?1 ? (?1)4k a4k ? 2(4k ) ?1 ,即 a4k ?1 ? 8k ?1 ? (8k ? 3) ? 2 ; a4k ?2 ? (?1)4k ?1 a4k ?1 ? 2(4k ? 1) ?1,
即 a4k ?2 ? 2(4k ? 1) ?1 ? 2 ? 8(k ? 1) ? 5 ; ??5 分

a4k ?3 ? (?1)4k ?2 a4k ?2 ? 2(4k ? 2) ?1,即 a4k ?3 ? 2(4k ? 2) ?1 ? (8k ? 3) ? 0 ; a4k ?4 ? (?1)4k ?3 a4k ?3 ? 2(4k ? 3) ?1 ,即 a4k ?4 ? 2(4k ? 3) ?1 ? 0 ? 8(k ? 1) ? 3 .
由①、②可知,当 n ? 4k ? 1 时,猜想成立. ??7 分

?2, (n ? 4k ? 3, k ? N * ), ? * ?2n ? 1, (n ? 4k ? 2, k ? N ), 从而 an ? ? ?? ?? 8 分 * 0, ( n ? 4 k ? 1, k ? N ), ? ?2n ? 3, (n ? 4k , k ? N * ). ?
解2 由已知可得

a4k ?2 ? (?1)4k ?3 a4k ?3 ? a4k ?2 ? a4k ?3 ? 2(4k ? 3) ?1 ? 8k ? 7 , (10 )
同理可得

a4k ? 1? a k4? ? 4? 2 ?) ? 1k ?8 , 5 2 2 ( k
0 (3 )

0 (2 )

a4k ? a4k ?1 ? 2(4k ?1) ?1 ? 8k ? 3 ,
a4k ?1 ? a4k ? 2 ? 4k ?1 ? 8k ?1,

0 ? (4 ) ?4 分 0 (5 ) 0 (6 )

(20 ) - (10 ) 得
(40 ) - (30 ) 得

a4k ? 1? a k4? ? 3 2 a4k ? 1? a k4? ? 1 2
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(60 ) - (50 ) 得 a4k ?1 ? a4k ?3 ? 0 ,即 a4k ?1 ? a4k ?3 .
因 a1 ? 2 ,所以 a4k ?1 ? a4k ?3 ? a4k ?7 ?

? a5 ? a1 ? 2 .

把 a4k ?3 ? 2 代入 (50 ) 得 a4k ?1 ? 0 , 把 a4k ?1 ? 0 代入 (30 ) 得 a4k ? 8k ? 3 , 把 a4k ?1 ? 0 代 入 (20 ) 得 a4k ?2 ? 8k ? 5 . 即 a4k ?3 ? 2, a4k ?2 ? 8k ? 5, a4k ?1 ? 0, a4k ? 8k ? 3 . ??6 分

?2, (n ? 4k ? 3, k ? N * ), ? * ?2n ? 1, (n ? 4k ? 2, k ? N ), 所以从而 an ? ? ?? ?? 8 分 * ?0, (n ? 4k ? 1, k ? N ), ?2n ? 3, (n ? 4k , k ? N * ). ?

(3)当 n ? 4k 时, Sn ? 2k ? (4k 2 ? k ) ? 0 ? (4k 2 ? k ) ? 8k 2 ? 2k ? 分

n2 ? n ;???10 2

当 n ? 4k ? 1 时, Sn ? S4k ?1 ? S4k ? a4k ? 8k 2 ? 2k ? (8k ? 3) ? 8k 2 ? 6k ? 3
? n2 ? n ? 4 ;??11 分 2

当 n ? 4k ? 2 时 Sn ? S4k ?2 ? S4k ? a4k ? a4k ?1 ? 8k 2 ? 2k ? (8k ? 3) ? 8k 2 ? 6k ? 3
n2 ? n ? 4 ? ;??13 分 2

当 n ? 4k ? 3 时, Sn ? S4k ?3 ? S4k ? a4k ? a4k ?1 ? a4k ?2 ? 8k 2 ? 2k ? (8k ? 3)
?(8k ? 5) ? 8k 2 ? 14k ? 8 ?

n2 ? n ? 4 . ??15 分 2

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? n2 ? n ? 4 , (n ? 4k ? 3, k ? N * ), ? ? 2 2 ?n ? n ? 4 , (n ? 4k ? 2, k ? N * ), ? ? 2 综合上述, S n ? ? 2 ? n ? n ? 4 , (n ? 4k ? 1, k ? N * ), ? 2 ? 2 ? n ? n , (n ? 4k , k ? N * ). ? ? 2

?? 16 分

23. (1)设点 ( x0 , y0 ) 为 y ? f ( x) 上任意一点,则

6

f (2 ? x0 ) ? a(1? | 2 ? x0 ?1|) ? a(1? |1 ? x0 |) ? a(1? | x0 ?1|) ? y0 ? f ( x0 ) ,
4

5

所以,函数 f ( x) 的图象关于直线 x ? 1 对称. ??4分
3

1 ? 4 x , x ? , ? 2 ? ?4 ? 4 x, 1 ? x ? 1, ? 2 (2)当 a ? 2 时, f ( f ( x)) ? ? ??8 3 ?4 x ? 4,1 ? x ? , ? 2 ? 3 ?8 ? 4 x, x ? . ? 2
10 8 6 4

y
2

y=x
1

2

O
1

2

x y=f(x)

4

6

y=f(fx))
2

分 如图,当 m ? 0 时,方程有2个解;当 m ? 0 时,方程有3个解;当 0 ? m ? 2 时,方 程有4个解;当 m ? 2 时,方程有2个解. ??9分 综合上述,当 m ? 0 或 m ? 2 时,方程有2个解;当 m ? 0 时,方程有3个解;当 0 ? m ? 2 时,方程有4个解. ??10分

?a(2 ? x), x ? 1, (3)因 f ( x) ? ? , ?ax, x ? 1.
所以,当 x ? 1 , f ( f ( x)) ? a(1? | a(2 ? x) ?1|) . 若 a(2 ? x) ?1 ? 0 ,即 1 ? x ? 2 ? 若 a(2 ? x) ?1 ? 0 ,即 x ? 2 ? 当 x ? 1 ,同理可得,
1 , f ( f ( x)) ? 2a ? 2a2 ? a2 x ; a

1 , f ( f ( x)) ? a2 (2 ? x) . a

1 1 ? x ? 1 , f ( f ( x)) ? a(2 ? ax) ; x ? , f ( f ( x)) ? a 2 x . a a

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1 ? 2 ? a x, x ? a , ? ?a(2 ? ax), 1 ? x ? 1, ? a 所以, f ( f ( x)) ? ? ??14分 ?2a ? 2a 2 ? a 2 x,1 ? x ? 2 ? 1 , ? a ? 1 ?a 2 (2 ? x), x ? 2 ? . a ?
2a 2a 2a 2 , 从而 f ( f ( x)) ? x 有四个解: 0, 2 , .??16分 a ? 1 a ? 1 a2 ? 1

又 f (0) ? 0 , f (

2a 2a 2 2a 2a 2a 2a ) ? ? 2 , f( ) ? a(2 ? )? 2 2 a ?1 a ?1 a ?1 a ?1 a ?1 a ?1

f(

2a 2 2a 2 2a 2a 2 2a 2a 2 , ) ? a (2 ? ) ? ? ,所以只有 是二阶周期 a2 ? 1 a2 ? 1 a2 ? 1 a2 ? 1 a2 ? 1 a2 ? 1

点. ?? ?? 18分

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