2014年北约自主招生数学试题


2014 年北约自主招生数学试题
1.圆心角为 60 ? 的扇形面积为 6? ,求它围成的圆锥的表面积. 2.将 10 个人分成 3 组,一组 4 人,两组各 3 人,有多少种分法. 3.如果 f ( x) ? lg( x2 ? 2ax ? a) 的值域为 R ,求 a 的取值范围. 4.设 f (

a ? 2b f (a ) ? 2 f (b) )? ,且 f (1) ? 1, f (4) ? 7 ,求 f (2014) . 3 3

5.已知 x ? y ? ?1 且 x, y 都是负数,求 xy ? 6.已知 f ( x) ? arctan

1 的最值. xy

2 ? 2x 1 1 ? c 在 ( ? , ) 上是奇函数,求 c . 1? 4x 4 4

7.证明: tan 3? 是无理数. 8.已知实系数二次函数 f ( x ) 与 g ( x) 满足 3 f ( x) ? g ( x) ? 0 和 f ( x) ? g ( x) ? 0 都有双重 实根,如果已知 f ( x) ? 0 有两个不同的实根,求证: g ( x) ? 0 没有实根. 9 . a1 , a2 ,

7 16 , a13 是等差数列, M ? ?ai ? a j ? ak 1 ? i ? j ? k ? 13? ,问: 0, , 是否 2 3

可以同时在 M ,并证明你的结论. 10.已知 x1 , x2 ,

, xn ? R ,且 x1 x2

xn ? 1,求证:

( 2 ? x1 )( 2 ? x2 )

( 2 ? xn ) ? ( 2 ?1)n .


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