高中数学2.3幂函数课件3新人教A版必修1_图文

§2.3 幂函数 y 4 y?x 3 y ? x2 y?x 3 2 y?x (1,1) 1 2 1 y ? x ?1 -3 -2 -1 -4 o -1 1 2 3 4 x (-1,-1) -2 -3 学习目标 知识与技能 理解并掌握幂函数的图象与性质,能初步运用所学知识 解决有关问题,培养灵活思维能力. 过程与方法 通过具体函数归纳与概括幂函数定义、图象和性质,体 验数学概念的形成过程,培养学生的抽象概括能力. 情感、态度与价值观 培养学生数形结合、分类讨论的思想,以及分析归纳的 能力,培养学生合作交流的意识. 学习重点 从具体函数归纳认识幂函数的一些性质并简单应用. 学习难点 概括幂函数的性质. 问 题 情 境 a 问题1:如果张红购买了每千克1元的水果w千克, 那么她需要付的钱数p= w 元, 这里p是w的函数 y ? 问题2:如果正方形的边长为a,那么正方形的面积 2 a S= , 这里S是a的函数 y? 问题3:如果正方体的边长为a,那么正方体的体积 3 V= a , 这里V是a的函数 y? 问题4:如果正方形场地面积为S,那么正方形的边 长a= S 1 2 x x 2 S V a a x3 1 2 S ,这里a是S的函数 y?x 问题5:如果某人ts内骑车行进了1km,那么他骑车 ?1 t v 的速度 = km/s. 这里v是t的函数 y? 若将它们的自变量用x来表示,函数值用y来表示, 则它们的函数关系式将是: x ?1 (1) (2) (3) (4) (5) y?x 以上几个函数有什么共同特征? 2 y?x y?x 3 y?x ?1 y?x 1 2 ①底数都是自变量x; ②指数都是常数; ③幂的系数都是1. 形式为 y?x ? y?a x 是不是指数 函数啊 幂函数 问题 指数函数与幂函数有什么区别? 指数函数:底数是常数,指数是自变量x. 幂函数:底数是自变量x,指数是常数. 口答 下列函数中哪几个是幂函数? ① ③ y ? 2x y ? 3x 1 2 × × ② ④ y ? x ?1 1 2 y ? x? 2 √ × 一、幂函数定义 几点说明: 一般的,我们把形如y ? x?的函数称为幂函数, 其中x是自变量,? 是常数. 1、对于幂函数,我们只讨论?=1,2,3, ,-1时的情形. 2、幂函数的定义方式是一种形式定义,解析式是幂的形式, 1 2 底数是自变量x,指数是常数,幂的系数为1. 若函数y ? (m ?1) xm是幂函数,求m的值? 解: 若为幂函数,则m ?1 ? 1, 所以m ? 2. 二、五个常用幂函数的图象: y y ? x, y ? x 2 , y ? x ?1 y ? x , y ? x3 1 2 (-2,4) 4 y?x 3 y?x (2,4) 2 y?x y?x 1 2 3 2 1 (1,1) y ? x ?1 -4 -3 -2 -1 o -1 1 2 3 4 x (-1,-1) X X 1 3 2 3 1 ? …0 2 -1 2 1 12 ? 0 2 1 23 14 3 … 2… -2 0-3.38 0.71 1 1.41 1.73 1 2 3.38 …… y x … -1 -0.13 0 0.13 y? ?x -3 观察图象,将你发现的结论填在下表中 解析式 y?x y (1,1) o x y?x y 2 y?x y o 3 y?x y (1,1) o 1 2 y?x y o ?1 图 象 (1,1) (1,1) x (1,1) x o x x 定义 域 值 域 奇偶 性 单调 性 定 点 R R R R R ?0, ??) 偶函数 (??, 0) 减 (0, ??) 增 ?0, ??) ?0, ??) 非奇非偶 [0, ??) 增 (??,0)∪(0, ??) (??,0)∪(0, ??) 奇函数 R上 增函数 奇函数 R上 增函数 奇函数 (??, 0) 减 (0, ??) 减 (1,1) 幂函数性质 (1)函数 y ? x, y ? x 2 , y ? x3 , y ? x 1 2 y 4 y ? x3 y ? x2 y?x 3 2 y ? x ?1 在(0,+∞)上都有定义, 并且图象都过点(1,1). (2)函数 y ? x, y ? x , y ? x ?1 3 -4 -3 -2 -1 y?x (1,1) 1 2 1 y ? x ?1 o -1 1 2 3 4 x (-1,-1) -2 是奇函数; y ? x 2是偶函数. -3 (3)在第一象限内,y ? x, y ? x 2 , y ? x 3 ,y ? x 是增函数; 1 2 y ? x-1 是减函数. y ? x-1图象向上与 y 轴无限 (4)在第一象限内, 接近;向右与 x 轴无限接近. 性 质 证 明 2、证明幂函数f ( x) ? x在[0, ??)上是增函数. 证明: 任取 x1 , x2 ?[0,??) ,且 x1 ? x2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) x1 ? x2 分子有理化 x1 ? x2 ? x1 ? x2 0 ≤ x1 ? x2 , ? x1 ? x2 ? 0 , x1 ? x2 ? 0, ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0, 即f ( x1 ) ? f ( x2 ), ? 幂函数f ( x) ? x在[0, ??)上是增函数. 例 比较下列各组数值大小: 1 2 1 2 2 (1)1.3 ____1.4 < 2 1 2 1 2 (2)0.

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