2018版高中数学人教版a版必修一学案:第一单元 章末复习课 含答案

章末复习课 网络构建 核心归纳 1.集合的“三性” 正确理解集合元素的三性,即确定性、互异性和无序性.在集合运算中,常 利用元素的互异性检验所得的结论是否正确,因互异性易被忽略,在解决含参集 合问题时应格外注意. 2.集合与集合之间的关系 集合与集合之间的关系有包含、真包含和相等.判断集合与集合之间的关系 的本质是判断元素与集合的关系,包含关系的传递性是推理的重要依据.空集比 较特殊,它不包含任何元素,是任意集合的子集,是任意非空集合的真子集.解 题时,已知条件中出现 A?B 时,不要遗漏 A=?. 3.集合与集合之间的运算 并、交、补是集合间的基本运算,Venn 图与数轴是集合运算的重要工具.注 意集合之间的运算与集合间的关系之间的转化,如 A?B?A∩B=A?A∪B=B. 4.函数与映射的概念 (1)已知 A,B 是两个非空集合,在对应关系 f 的作用下,对于 A 中的任意一 个元素 x,在 B 中都有唯一的一个元素与之对应,这个对应叫做从 A 到 B 的映射, 记作 f:A→B.若 f:A→B 是从 A 到 B 的映射,且 B 中任一元素在 A 中有且只有一 个元素与之对应,则这样的映射叫做从 A 到 B 的一一映射. (2)函数是一个特殊的映射,其特殊点在于 A,B 都为非空数集,函数有三要 素:定义域、值域、对应关系.两个函数只有当定义域和对应关系分别相同时, 这两个函数才是同一函数. 5.函数的单调性 (1)函数的单调性主要涉及求函数的单调区间,利用函数的单调性比较函数值 的大小,利用函数的单调性解不等式等相关问题.深刻理解函数单调性的定义是 解答此类问题的关键. (2)函数单调性的证明 根据增函数、减函数的定义分为四个步骤证明,步骤如下: ①取值:任取 x1,x2∈D,且 x1<x2,得 x2-x1>0; ②作差变形:Δy=y2-y1=f(x2)-f(x1)=…,向有利于判断差的符号的方向变 形; ③判断符号:确定 Δy 的符号,当符号不确定时,可以进行分类讨论; ④下结论:根据定义得出结论. (3)证明函数单调性的等价变形: ①f(x)是单调递增函数?任意 x1<x2,都有 f(x1)<f(x2)? f(x2)]· (x1-x2)>0; ②f(x)是单调递减函数?任意 x1<x2,都有 f(x1)>f(x2)? f(x2)]· (x1-x2)<0. 6.函数的奇偶性 判定函数奇偶性,一是用其定义判断,即先看函数 f(x)的定义域是否关于原点 对称,再检验 f(-x)与 f(x)的关系;二是用其图象判断,考察函数的图象是否关于 原点或 y 轴对称去判断,但必须注意它是函数这一大前提. f?x1?-f?x2? x1-x2 <0?[f(x1)- f?x1?-f?x2? x1-x2 >0?[f(x1)- 要点一 集合的基本概念 解决集合的概念问题的两个注意点 (1)研究一个集合,首先要看集合中的代表元素.然后再看元素的限制条件, 当集合用描述法表示时,注意弄清元素表示的意义是什么. (2)对于含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合中的元素是否 满足互异性. 【例 1】 集合 M={x|ax2-3x-2=0,a∈R}中只有一个元素,求 a 的取值范 围. 解 由题意可知若集合 M 中只有一个元素,则方程 ax2-3x-2=0 只有一个 2 根,当 a=0 时,方程为-3x-2=0,只有一个根 x=- ;当 a≠0 时,Δ=(-3)2 3 ? 9? ? ? ? -4×a×(-2)=0,得 a=- .综上所述,a 的取值范围是 0,- ?. 8? 8 ? ? ? 9 【训练 1】 已知集合 A={m+2,2m2+m},若 3∈A,则 m 的值为________. 解析 因为 3∈A,则 m+2=3 或 2m2+m=3,当 m+2=3,即 m=1 时,m 3 +2=2m2+m,不符合题意,故舍去;当 2m2+m=3,即 m=1 或 m=- ,m 2 3 3 =1 不合题意,若 m=- ,m+2≠2m2+m,满足题意,故 m=- . 2 2 答案 要点二 - 3 2 集合间的基本关系 两集合间关系的判断 (1)定义法. ①判断一个集合 A 中的任意元素是否属于另一集合 B,若是,则 A?B,否则 A 不是 B 的子集; ②判断另一个集合 B 中的任意元素是否属于第一个集合 A,若是,则 B?A, 否则 B 不是 A 的子集;若既有 A?B,又有 B?A,则 A=B. (2)数形结合法. 对于不等式表示的数集,可在数轴上标出集合的元素,直观地进行判断,但 要注意端点值的取值. 【例 2】 已知集合 A={x|2x-3≥3x+5},B={x|x≤2m-1},若 A?B,则 实数 m 的取值范围是________. 解析 解不等式 2x-3≥3x+5 得 x≤-8,即 A={x|x≤-8},因为 A?B,所 7 以 2m-1≥-8,解得 m≥- . 2 答案 m≥- 7 2 x= x2-2,x∈R},B={1,m},若 A?B,则 【训练 2】 已知集合 A={x| m 的值为( A.2 ) B.-1 C.-1 或 2 D.2 或 2 解析 由 x= x≥0, ? ? x2-2,可得?x2-2≥0, ? ?x=x2-2, 解得 x=2,∴A={2},又∵B= {1,m},A?B,∴m=2. 答案 A 考查方向 集合基本运算的方法及注意点 (1)一般来讲,集合中的元素若是离散的,则用 Venn 图表示;集合中的元素 若是连续的实数,则用数轴表示,此时要注意端点的情况. (2)进行集合的运算时要看集合的组成,并且要对有的集合进行化简. (3)涉及含字母的集合时,要注意该集合是否可能为空集. 方向 1 集合的运算 设全集 U={x∈N*|x<6},集合 A={1,3},B={3,5},则?U(A∪B) 要点三 集合的基本运算 【例 3-1】 等于( )

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