北大2017博雅数学试题

2017 年博雅数学试卷 A
选择题共 20 小题(15 题至 34 题) ;在每小题的四个选项中,只有一项符合题目要求, 请把正确的代号填在表格中,选对得 5 分,选错扣 1 分,不选得 0 分. 15. 正整数9 + 95 + 995 + ? + 99 … 9 5的十进制表示中数字1的个数为().
2016

A. 2012 B. 2013 C. 2014 D. 前三个答案都不对 16. 将等差数列1,5,9,13, … ,2017排成一个大数157913 … 2017, 则该大数被9除的余数为 () . A. 4 B. 1 C. 7 D. 前三个答案都不对 17. 一个三位数等于它的各位数字的阶乘之和,则此三位数的各位数字之和为(). A. 9 B. 10 C. 11 D. 前三个答案都不对 18. 单位圆的内接五边形的所有边及所有对角线的长度的平方和的最大值为(). A. 15 B. 20 C. 25 D. 前三个答案都不对 19. 1 + cos 7 A. 1 +
1 8 1+ 3 3?

1 + cos

3 7

1 + cos
1 8

5 7

的值为(). C. 1 ?
1 4

B. 1 ?

D. 前三个答案都不对

20. 已知 = 等于(). A.
2017+ 3 2017 ? 3

,定义1 = , +1 = , ≥ 1,则2017 2017 的值

B. 2017

C.

1+2017 3 2017+ 3

D. 前三个答案都不对

21. 已知正整数满足 ≠ 2017,且 与20172017 有相同的个位数字,则 2017 ? 的最小 值为(). A. 4 B. 6 C. 8 D. 前三个答案都不对 22. 一个盒子装有红、白、蓝、绿四种颜色的玻璃球,每种颜色的玻璃球至少有一个. 从众 随机拿出4个玻璃球,这4个球都是红色的概率为1 ,恰好三个红色和一个白色的概率 为2 ,恰好有两个红色,一个白色和一个蓝色的概率为3 ,四种颜色各一的概率为4 , 若恰好有1 = 2 = 3 = 4 ,则这个盒子里玻璃球的个数的最小值等于(). A. 17 B. 19 C. 21 D. 前三个答案都不对 23. 设, , 和 ?
1

?

1

? 均为正整数, 则2 + 3 + 5的最大值与最小值的差为

1

(). A. 9 B. 15 C. 22 D. 前三个答案都不对 24. 有()种方式可以将正整数集合分成两个不相交的子集的并,使得每个子集都不包含 无穷等差数列. A. 0 B. 1 C. 无穷多 D. 前三个答案都不对 25. 是凸四边形对角线 和 的交点 . 已知三角形, , , 的周长相 同. 三角形, , 的内切圆半径分别为3,4,6, 在三角形的内切圆半径为 () . A.
9 2

B. 5

C.

11 2

D. 前三个答案都不对

26. 一群学生参加学科夏令营,每名同学至少参加一个学科考试. 已知有100名学生参加了

27. 28. 29. 30.

31.

数学考试, 50名学生参加了物理考试, 48名学生参加了化学考试. 学生总数是参加至少 两门考试学生数的两倍,也是参加三门考试学生数的三倍. 则学生总数为(). A. 108 B. 120 C. 125 D. 前三个答案都不对 有()个平面距离正四面体4个顶点的距离都相等. A. 4 B. 6 C. 8 D. 前三个答案都不对 有()个互不相似的三角形满足sin = cos = tan . A. 0 B. 1 C. 2 D. 前三个答案都不对 已知存在正整数, , 满足 + + = 407,10 |,则的最大值为(). A. 5 B. 6 C. 7 D. 前三个答案都不对 整数, , 满足 + + = 1, = + + + > 100,则的最小值属于 区间(). A. 100,110 B. 110,120 C. 120,130 D. 前三个答案都不对 2 整数, 满足 + = 218, + + = 0有整数根,满足这样条件的整数对 , 的 个数为(). A. 0 B. 2 C. 4 D. 前三个答案都不对
tan 2 +tan 2 1+tan 2 +tan 2

32. 已知

= sin2 + sin2 ,则sin ? sin 的最大值为(). B.
1 4

A. 0

C.

2 2 1

D. 前三个答案都不对

33. 令 = sin 14°+ cos 14° , = sin 16°+ cos 16° , = 2 2 + 2 ,则, , 的大小顺序为 (). A. < < B. < < C. < < D. 前三个答案都不对 34. 假设三角形三边长为连续的三个正整数,且该三角形的一个角是另一个角的两倍. 则这 个三角形的三边长为(). A. 4,5,6 B. 5,6,7 C. 6,7,8 D. 前三个答案都不对


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