版高考数学一轮复习第11章算法复数推理与证明113合情推理与演绎推理学案文(数学教案)

11.3 合情推理与演绎推理 [知识梳理] 1.推理 (1)定义:根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程就是推理. (2)分类:推理一般分为合情推理与演绎推理. 2.合情推理 (1)定义:根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳类比,然后提 出猜想的推理叫做合情推理. (2)分类:数学中常用的合情推理有归纳推理和类比推理. (3)归纳和类比推理的定义、特征 1 3.演绎推理 (1)定义:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演 绎推理,简言之,演绎推理是由一般到特殊的推理. (2)“三段论”是演绎推理的一般模式,包括: ①大前提——已知的一般原理; ②小前提——所研究的特殊情况; ③结论——根据一般原理,对特殊情况做出的判断. [诊断自测] 1.概念思辨 (1)归纳推理得到的结论不一定正确,类比推理得到的结论一定正确.( (2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质,这是一种合情推理.( ) ) ) ) (3)在类比时,平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.( (4)演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时,得到的结论一定正确.( 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√ 2.教材衍化 (1)(选修 A1-2P23 例题)观察下列各式:a+b=1,a +b =3,a +b =4,a +b =7,a +b =11,…,则 a +b 为( 答案 C 5 10 10 2 2 3 3 4 4 5 ) A.28 B.76 C.123 D.199 解析 记 a +b =f(n), 则 f(3)=f(1)+f(2)=1+3=4; f(4)=f(2)+f(3)=3+4=7; n n f(5)=f(3)+f(4)=11.通过观察不难发现 f(n)=f(n-1)+f(n-2)(n∈N*, n≥3), 则 f(6) =f(4)+f(5)=18;f(7)=f(5)+f(6)=29;f(8)=f(6)+f(7)=47;f(9)=f(7)+f(8) =76;f(10)=f(8)+f(9)=123.所以 a +b =123.故选 C. (2)(选修 A1-2P23 例 2)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 S4,S8-S4,S12-S8,S16- 10 10 2 S12 成等差数列. 类比以上结论有: 设等比数列{bn}的前 n 项积为 Tn, 则 T4, ________, ________, T16 成等比数列. T12 答案 T8 T12 T4 T8 4 6 8 1+2+…+7 解析 设等比数列{bn}的公比为 q,首项为 b1, 则 T4=b1q ,T8=b1q =b1q , 8 28 1+2+…+11 12 66 T12=b12 =b1 q , 1 q ∴ =b1q , 即? ? = T T8 T4 4 22 T12 4 38 =b1q , T8 ?T8?2 T12·T ,故 T ,T8,T12成等比数列. 4 4 T4 T8 ? 4? T8 T8 T12 . T4 T8 2 2 2 故答案为 , 3.小题热身 (1)(2018·厦门模拟)已知圆:x +y =r 上任意一点(x0,y0)处的切线方程为 x0x+y0y =r .类比以上结论,有双曲线 2- 2=1 上任意一点(x0,y0)处的切线方程为________. 答案 2 x2 y2 a b x0x y0y - =1 a2 b2 2 2 解析 设圆上任一点为(x0,y0),把圆的方程中的 x ,y 替换为 x0x,y0y,则得到圆的 x2 y2 x0x y0y 切线方程; 类比这种方式, 设双曲线 2- 2=1 上任一点为(x0, y0),则切线方程为 2 - 2 = a b a b 1(这个结论是正确的,证明略). (2)(2015·陕西高考)观察下列等式 1 1 1- = 2 2 1 1 1 1 1 1- + - = + 2 3 4 3 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1- + - + - = + + 2 3 4 5 6 4 5 6 …… 据此规律,第 n 个等式可为________. 1 1 1 1 1 1 1 1 答案 1- + - +…+ - = + +…+ 2 3 4 2n-1 2n n+1 n+2 2n 1 解析 观察已知等式可知,第 n 个等式左边共有 2n 项,其中奇数项为 ,偶数项为 2n-1 1 1 1 - ,等式右边共有 n 项,为等式左边后 n 项的绝对值之和,所以第 n 个等式为 1- + - 2n 2 3 1 1 1 1 1 1 +…+ - = + +…+ . 4 2n-1 2n n+1 n+2 2n 3 题型 1 类比推理 典例 已知 P(x0,y0)是抛物线 y =2px(p>0)上的一点,过点 P 的切线方程的斜率可 2 2 通过如下方式求得:在 y =2px 两边同时对 x 求导,得 2yy′=2p,则 y′= ,所以过点 P 的切线的斜率 k= .类比上述方法求出双曲线 x - =1 在 P( 2, 2)处的切线方程为 y0 2 ________. p y p 2 y2 注意题意要求,类比上述方法求切线. 答案 2x-y- 2=0 解析 将双曲线方程化为 y =2(x -1), 类比上述方法两边同时对 x 求导得 2yy′=4x, 2x 2x0 2 2 则 y′= ,即过点 P 的切线的斜率 k= ,由于 P( 2, 2),故切线斜率 k= =2, y y0 2 因此切线方程为 y- 2=2(x- 2),整理得 2x-y- 2=0. 方法技巧 1.类比推理的四个角度和四个原则 (1)四个角度 类比推理是由特殊到特殊的推理,可以从以下几个方面考虑类比: ①类比定义:如等差、等比数列的定义; ②类比性质:如椭圆、双曲线的性质; ③类比方法:如基本不等式与柯西不

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