【模型解题法】高中数学抛物线焦点弦模型

【模型解题法】高中数学抛物线焦点弦模型
【模型思考】过抛物线焦点的直线,交抛物线于 A、B 两点,则称线段 AB 为抛物线的 焦点弦。 过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点弦 AB 的端点 D y A

A, B 分别抛物线准线 l 的垂线,交 l 于 D、C ,

构成直角梯形 ABCD (图 1).这个图形是抛物线 问题中极为重要的一个模型,围绕它可以生出许 多重要的问题,抓住并用好这个模型,可以帮助 我们学好抛物线的基本知识与基本方法,同时, 它又体现了解析几何的重要思想方法。在图 1 中, 有哪些重要的几何量可以算出来?又可以获得哪 些重要结论呢?

O C B

F

x

l
图1

【模型示例】设直线 AB 的倾角为 ? ,当 AB ? x 轴(? =90 ?) 时,称弦 AB 为通 径。 例1. 求通径长.

例 2. 求焦点弦 AB 长.

例 3.

求 ?AOB 的面积.
D y A

例 4.

连 CF,DF , 求证CF ? DF (图2)
E C O B F x

l
例 5. 设准线 l 与 x 轴交于点 E ,求证: FE 是 CE 与 DE 的比例中项, 即 FE ? CE ? DE .
2

1

例 6. 目)

如图 3,直线 AO 交准线于 C ,求证:直线 BC // x 轴. (多种课本中的题

例 7.设抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,经过点 F 的直线交抛物线于 A, B 两 点.点 C 在抛物线的准线上,且 BC // x 轴. 证明直线 AC 经过原点.

例 8.

证明:梯形中位线 MN 长为

p . sin 2 ?

例 9.

连 AN、BN ,图(5),证明:AN ? BN .

例 10. 求证:以线段 AB 为直径的圆与准线相切.

例 11. 连 NF,证明:NF⊥AB,且 NF ? AF ? BF .

2

2

例 12. 已知抛物线 x 2 ? 4 y 的焦点为 F, AB 是抛物线的焦点弦,过 A、B 两点 分别作抛物线的切线,设其交点为 M. (I)证明:点 M 在抛物线的准线上; →→ AB 为定值; (Ⅱ)求证: FM ·
F A O M x B y

3

【小结】由抛物线的焦点弦所构成的直角梯形中蕴涵着丰富多彩的内容, 可以获得多达十多条的重要结论,它涉及抛物线的定义与基本性质,在解决各类 问题时, 又贯穿着解析几何的基本思想方法,其中尤以求抛物线弦长时的两种方 法集中体现了解决抛物线问题的基本思路与常用方法,应予以牢固把握。 上面十多条结果归纳起来有:
D y A

(1)焦点弦长(通径长) ; (2) ?AOB 的面积; (3)梯形中位线长; (4) y1 y2 ? ? p 2 ; (5) A,O,B三点共线 ? A,F,B三点共线 ;
(斜边AB上的高为NF), (6)两组直角三角形: Rt? ANB Rt?CFD (斜边CD上的高FE), 以及相应的比例线段;
N E C x=p 2 O B M ? F x

图7

(7) MN ? AM ? BN ,以AB 为直径的圆与准线相切; (8)过抛物线上 A,B 两点的切线的交点 G 落在准线上,且 GF ? AB.

4

【模型解析】 设直线 AB 的倾角为 ? ,当 AB ? x轴(? =90?) 时,称弦 AB 为通径。 例1 求通径长.
p 解: 由于 AB ? x轴(? =90?) , F ( ,0 ) , 2 p ? 当 x ? ? 时,代入 y 2 ? 2 px( p ? 0) 中,得 y2 ? p2,故yA ? p, yB ? ? p. 2

?
例2

. A B? 2 p 求焦点弦 AB 长.

p 解法一: 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) , 当 ? ? 90?时,设直线AB的方程为:y=k(x- ). 2

? y 2 ? 2 px, p2k 2 ? 2 2 2 ?0, 由? p 得 k x ? p(k ? 2) x ? 4 ? y ? k(x ? ) ? 2

......①

? x1 ? x2 ? p(1 ?

2 ) . k2 p , 2

......②

? AB ? AF ? BF = AD ? BC ,准线方程 x ? ? ?
AB ? x1 ? p p ? x2 ? ? ( x1 ? x2 ) ? p . 2 2
2p . k2

由②知, AB ? 2 p ?

......③

当 ? ? 90? ,由(一)知 AB ? 2 p . 说明:? k ? tan ?

?

1?

1 1 cos 2 ? sin 2 ? ? cos 2 ? 1 ? 1 ? ? 1 ? ? ? . 2 2 2 2 k tan ? sin ? sin ? sin 2 ?
1 2p )? . 2 k sin 2 ?

因此,由 ③ 得 AB ? 2 p (1 ?

特别,当 ? ? 90?时,上式为 AB ? 2 p, 是通径长。 解法二:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) .

? ? 90?时,上式为 AB ? 2 p;
? ? 90?时,设直线AB的方程为 x ? my ?
p 1 1 (其中m ? ? ). 2 k tan ?

5

? y 2 ? 2 px, ? 由 ? x ? my ? p ? ? 2

得 y 2 ? 2 pmy ? p2 ? 0.

? y1 ? y2 ? 2 pm,
2

y1 y2 ? ? p2 .

......④

?

AB ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2
? (my1 ? p p ? my2 ? ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 2 2

? m2 ( y1 ? y2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? (m2 ? 1)( y1 ? y2 )2 ? (m2 ?1)[( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 ]
? (m2 ? 1)(4 p2m2 ? 4 p2 ) (由④得) =4 p2 (m2 ? 1)2 ,
......⑤

?

AB ? 2 p(m2 ?1).
m2 ? 1 ? 1 ? 1 cos 2 ? 1 ? 1 ? ? 2 2 tan ? sin ? sin 2 ?

?

......⑥

? AB =
例3

2p . sin 2 ?

求 ?AOB 的面积.
p p ,即 x ? my ? ? 0 . 2 2
y A

解法一:直线 AB 的方程为: x ? my ?

? ? 原点O到它的距离h=

p 2

1 ? m2

?

p sin ? (由⑥得), 2

D

? S?AOB ?

1 1 2 p p sin ? p2 AB ? h ? ? 2 ? ? . 2 2 sin ? 2 2sin ?

E C

O B

F

x

解法二: S?AOB ? S?AOF ? S?BOF

l

6

1 1 OF ? y1 ? OF ? (? y2 ) 2 2 1 p ? ? ( y1 ? y2 ) 2 2 p ? ( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 4 ?
? p 4 p 2 m 2 ? 4 p 2 (由④得) 4

p2 = ? m2 ? 1 2 ? p2 1 ? (由⑥得) 2 sin ? p2 . 2sin ?

=

例4

连 CF,DF , 证明:CF ? DF (图2) .
y A

证明:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) , 则

p p C (? , y2 ), D(? , y1 ) , 2 2
0 ? y2 0 ? y1 yy ? ? 1 22 . p p p p p ? (? ) ? (? ) 2 2 2 2

D

KCF ? K DF ?

E C

O B

F

x

l
图2

?

y1 y2 ? ? p 2 ,

? KCF ? KDF ? ?1, 故 CF ? DF .
例5 设准线 l 与 x 轴交于点 E ,证明: FE 是 CE 与 DE 的比例中项,
2

即 FE ? CE ? DE . 例6 目) 容易证明,留给读者完成。 如图 3,直线 AO 交准线于 C ,证明:直线 BC // x 轴. (多种课本中的题 分析:只要证 C、D 两点纵坐标相同。

7

证明:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,则 y1 y2 ? ? p 2 .

? y12 ? 2 px1 , kOA ?

y1 ? 0 y1 2 p ? ? , x1 ? 0 y12 y1 2p
p 2p x, 它与准线方程 x ? ? 联立,得 2 y1

图3

? 直线AC的方程为y ?
p2 . y1

C点纵坐标yc ? ?

由 y1 y2 ? ? p 2 得 yc ?

y1 y2 ? y2 . y1

因此 C、D 两点纵坐标相同, BC // x 轴. 例7 设抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F , 经过点 F 的直线交抛物线于 A, B

两点.点 C 在抛物线的准线上,且 BC // x 轴.证明:直线 AC 经过原点. 分析:只要证 kOC ? kOA . 证法 1:如图 3,设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) , 再设直线 AB 的方程为 x ? my ?
p . 2

? y1 y2 ? ? p 2 , y12 ? 2 px1 , ?
k OC ? y2 2y y y y ? 2p 2 p 2 px1 ? 1 2 ? ? ? ? ? 1 ? k OA , p ? py1 ? py1 y1 x1 y1 x1 y1 x1 ? 2
2 2 1

图3

?

A, O, C 三点共线.

证法 2:如图 4,设 AC 与 EF 相交于 N ,准线与 x 轴交于 E .

? AD // x 轴 // BC . ? ?CEN ??CDA, ? ANF ?? ACB.
D

?

EN AD

?

CN AC

?

BF AB

,

E

8

图4

(即 EN ?

AD BF ) , AB
(即 NF ?

NF BC

?

AF AB

AF BC ). AB

又 AF ? AD , BF ? BC ,

?

EN ? NF ,

即点 N 是 EF 的中点,与抛物线的顶点 O 重合,所以直线经过原点 O . 【专家点评】2001 年试题评价报告(高考专家组)指出:理科(19)题(即 上题)是课本习题八第 8 题(系指 y1 y2 ? ? p 2 ) ,第 13 题(系指(六) )的转化, 揭示了抛物线的一个本质属性: “若抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点为 F , A, B 是抛物线 上的两点 . 点 C 在它的准线上,且 BC // x 轴 . 则 A, O, C 三点共线的充要条件是
A, F , B 共线。

【探究】 上面的课本题与高考题共有三个条件与一个结 论(对于抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 及图 3) : ①弦 AB 过焦点 F ;②点 C 在准线上; ③ BC // x 轴; ④ AC 过顶点 O .

可组成以下四个命题:
A. ①②③ ? ④ (高考题) B. ①②④ ? ③ (课本题)
图3

C.①③④ ? ② ? ? 是否正确? D.②③④ ? ①?
例8 证明: 梯形中位线 MN 长为 留给读者做。 例9 连 AN、BN (图5),证明:AN ? BN .
D D N E C

p . sin 2 ?

y
A M

证明较难,留作习题。 例 10 证明:以线段 AB 为直径的圆与准线相切。

O _
B

F

?

x
9

x??

p 2

由例 9,这个性质是显然成立的。 例 11 连 NF,证明:NF⊥AB,且 NF ? AF ? BF . 证明:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) , 又设直线 AB 的方程为 x ? my ?
p y ? y2 p ), ,则 N ( ? , 1 2 2 2
图5
2

?

?

y1 +y2 2 ? - y1 +y2 ? 2 pm ? ?m (由④得) k NF ? p p 2p 2p -(- ) 2 2 1 k AB ? , ? kNF ? k AB ? ?1, 此即 NF ? AB. m 0?
2

在 Rt? ANB中,NF 为斜边上的高,故有 NF ? AF ? BF .
Rt? ABC中, 说明: 在平面几何中, 有下述定理: 斜边 BC 上的高 AD 是 BD与CD

的比例中项。 例 12 已知抛物线 x 2 ? 4 y 的焦点为 F, AB 是抛物线的焦点弦,过 A、B 两点
y B

分别作抛物线的切线,设其交点为 M. (I)证明:点 M 在抛物线的准线上; →→ AB 为定值; (Ⅱ)求证: FM · 证明: (I)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) , 则 y1 ?
x12 x2 , y2 ? 2 , 由已知, F (0,1), 4 4
A

F O M

x

? y ? kx ? 1 设直线 AB 的方程为: y ? kx ? 1 ,则由 ? 2 ?x ? 4 y
得 x2 ? 4kx ? 4 ? 0,

图6

? x1 x2 ? ?4.
由y?
1 2 1 x 得 y ? ? x ,所以过 A, B 两点的切线方程分别为: 4 2
2 x12 x2 1 1 y ? x1 ( x ? x1 ) ? , y ? x2 ( x ? x2 ) ? , 2 4 2 4



y?

x2 x2 1 1 x1 x ? 1 , y ? x 2 x ? 2 . 2 4 2 4
10

【注: x 2 ? 2 py 过点( x0 , y0 ) 的切线方程为: x0 x ? p( y ? y0 ) 】 由上式可得 2( x1 ? x2 ) x ? x12 ? x22 . 显然 x1 ? x2 , 故 x ? 因此, M (
x1 ? x2 x ?x x xx 1 , y ? x1 ? 1 2 ? 1 ? 1 2 ? ?1. 2 2 2 4 4

x1 ? x 2 ,?1) . 2

由于抛物线准线方程为 y ? ?1 ,故点 M 在抛物线的准线上。
???? ? ??? ? x ?x x 2 ? x12 x12 ? x2 2 1 2 1 2 FM ? AB ? ( 1 2 , ?2) ? ( x2 ? x1 , x2 ? x1 ) ? 2 ? ? 0. 2 4 4 2 2

→→ 因此, FM · AB 为定值,其值为 0.

11


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