椭圆第一定义的相关应用_图文

椭圆的定义:
平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常 数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆, 这两个定点叫做椭圆的焦点, 两焦点的距离叫做椭圆的焦距. 记:平面内点M与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a (即|MF1|+|MF2|=2a),两焦点的距离为2c。

(1)当2a=2c时, 点M的轨迹为线段F1F2
(2)当2a<2c时,点M的轨迹不存在

(3)当2a>2c时,点M的轨迹是为椭圆

椭圆的标准方程:
定 义 P={M||MF1|+|MF2|=2a} (2a>2c>0)

y

y

M
图 形

F2

M x

F1

o

F2 x

o
F 1

方 程 焦 点 a,b,c之间的关系 注:

x2 y2 ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0? 2 a b
F(±c,0)在X轴上

y2 x2 ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0? 2 a b
F(0,±c)在Y轴上

c2=a2-b2

哪个分母大,焦点就在相应的哪条坐标轴上!

应用1:
例题 例1.已知△ABC的一边BC固定,长为6,周长为16, 求顶点A的轨迹方程。

解:以BC的中点为原点,BC所在的 直线为x轴建立直角坐标系。 根据椭 圆的定义知所求轨迹方程是椭圆, 且焦点在x轴上,所以可设椭圆的标 x2 y2 准方程为 : a 2 ? b 2 ? 1(a ? b ? 0) ∵ 2a=10, 2c=6 ∴ a=5, c=3
∴ b2=a2-c2=52-32=16 x 2 y 2 ? ?1 ∴顶点A的轨迹方程为 25 16

y

A
B

o

C

x

( y ? 0)

思考:焦点建在 Y轴上的椭圆的标准方程呢?

练习:已知△ABC的一边BC长为8,周长为20,求顶点A 的轨迹方程.
解:以BC边所在直线为x轴,BC中点为原点,建立如右图所示的直角坐标系,则B?C 两点的坐标分别为(-4,0)?(4,0).

∵|AB|+|BC|+|CA|=20且|BC|=8,
∴|AB|+|AC|=12>|BC|, ∴点A的轨迹是以B?C为焦点的椭圆(除去与

x轴的交点).
且2a=12,2c=8,及a2=b2+c2得a2=36,b2=20. 故点A的轨迹方程是 (y≠0).

x2 y 2 ? ?1 36 20

定义法

变式1:在三角形ABC 中 ,B(-3,0),C(3,0),且三边长 |AC|, |BC| , |AB|成等差数列,求顶点

A的轨迹方程。 变式2:在三角形ABC中,B(0,-3),C(0,3)且
sinB+sinC=2sinA,求顶点A的轨迹方程。 变式3:在三角形ABC中,BC=24,AC,AB边上的中线 长之和等于39,求三角形ABC的中心的轨迹方程。

应用2:

x2 y2 例题 例2. 已知经过椭圆 25 ? 16 ? 1

的右焦点F2作垂直于 x轴的直线AB交椭圆于A,B两点,F1是椭圆的左焦点。 (1)求三角形AF1B的周长 y 的周长 (2)如果AB不垂直于x轴,三角形AF1B A 有变化吗?为什么? 解(1)∵三角形AF1B的周长为
F1

o

F2

x

B

|AF1|+|BF1|+|AB|= |AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|

又∵A,B两点在椭圆上
∴ |AF1|+|AF2|= |BF1|+|BF2|=2a(椭圆定义)

x2 y2 ∵椭圆方程为 25 ? 16 ? 1

∴ a2=25

a=5

∴ |AF1|+|AF2|= |BF1|+|BF2|=2a=10 ∴三角形的周长为20。 (2)三角形AF1B的周长不会发生变化。

三角形AF1B的周长=
|AF1|+|BF1|+|AB|= |AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|

∵A,B两点在椭圆上,
∴ |AF1|+|AF2|= |BF1|+|BF2|=2a=20始终成立

所以三角形的周长不会发生变化。

变式:已知椭圆的焦点F1,F2在x轴上,且a=2c,过

F1的直线l脚椭圆于AB两点,且三角形ABF2
的周长为16,那么椭圆的标准方程是?

应用3:
x2 y2 例题 例3.已知椭圆 25 ? 16 ? 1

的左右焦点为F1,F2。

点P是椭圆上任意一点,求|PF1|.|PF2|的最大值。
解:由椭圆方程可知,a=5,

∴ |PF1|.|PF2| ≤(|PF1|+|PF2|)2/4=25
当且仅当|PF1|=|PF2| =5时等号成立。

所以|PF1|.|PF2| 的最大值为25

x2 y2 变式 例3:P是椭圆 ? ? 1上的一点,F1 , F2是两个焦点 100 64 若?F1 PF2 ? 600 求 ( 1 )三角形F1 PF2的面积 (2) PF 1 ? PF 2 的最大值

P

解:由椭圆定义知PF1 ? PF2 ? 20, (1) 在△F1 PF2中由余弦定理知 PF1 ? PF2 - 2 PF1 ? PF2 cos600 ? 122 ? PF1 ? PF2 ? PF1 ? PF2 ? 144 ? ( PF1 ? PF2 ) 2 ? 3 PF1 ? PF2 ? 144 ? 202 ? 3 PF1 ? PF2 ? 144 ? PF1 ? PF2 ? 1 64 3 S ? ? PF1 ? PF2 sin F1 PF2 ? 2 3 (2) ? a ? 10,又 PF1 ? PF2 ? 20, ? PF1 ? PF2 ? 2 PF1 ? PF2 ? PF1 ? PF2 ? ( PF1 ? PF2 2 当且仅当PF1 ? PF2 时“?”成立? PF1 ? PF2 的最大值为 100
焦点三角形面积公式: S△ F1 PF2 ? b 2 ? tan ? F1 PF 2
2 2 2 2

256 3

) 2 ? 100

应用4:

例题 例:已知点A(-2,0),B 是圆F(x-2)2+y2=64 上一动点,线段AB的垂直平分线交BF于点P,求动 点P的 轨迹方程.

变式:已知点A(-1/2,0),B 是圆F(x-1/2)2+y2=4 上一动点,线段AB的垂直平分线交BF于点P,则动 点P的 轨迹方程是什么?

变式:习题2.1A组第7题

应用5: 相关点法求椭圆方程
例题 例、在圆

x ? y ? 4上任取一点P,过点P作x轴的
2 2
y

垂线段PD,D为垂足。当点P在圆上运动时,线段 PD的中点M的轨迹是什么?为什么?

x o

变式:已知圆 x ? y ? 9, 从这个圆上任意一点 P向x轴作
2 2

垂线段 PP ' ,点M在PP ' 上,并且 PM ? 2MP', 求点M的轨迹。
y P

x 2 ? y ?1 9

2

M
o P’ x

变式:已知点M在椭圆x2+4y2=36上,MP0垂直于椭圆 焦点所在直线,垂足为P0,且M为线段PP0的中点, 求点P的轨迹方程。 2 2

x +y =36

变式:习题2.1B组第1题

应用6: 交轨法求椭圆方程

例 4:如图,设A、B的坐标分别为(? 5,0), 例题 (5,0).直线AM,BM相交于点M,且他们的斜率 4 之积是 - ,求点M的轨迹方程。 9
y M

变式:36页练习第四题
B x

A

o

应用7: 给定条件求椭圆方程
例1.已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),(2,0并 , 求它的标准方程. x2 y2 解法一:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0). 2 a b
由椭圆的定义知

5 3 且经过点 ( ,? ) 2 2

5 3 2 5 3 2 2 2 2a ? ( ? 2) ? ( ? ) ? ( ? 2) ? ( ? ) ? 2 10 2 2 2 2
所以 又因为

a ? 10 .
,所以

c?2

b ? a ? c ? 10 ? 4 ? 6.
2 2 2

因此, 所求椭圆的标准方程为

x2 y2 ? ? 1. 10 6

解法二:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为

x2 y2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0). 2 a b

又 ?焦点的坐标分别是 (?2,0), (2,0) ? c ? 2
2 3 2 (5 ) ( ? ② 2 2 ) (1)确定焦点的位置; 又由已知 2 ? 2 ? 1 a b (2)设出椭圆的标准方程;

?a ? b ? 4
2 2
联立①②,



求椭圆标准方程的解题步骤:

2 2 解得 a ? 10 , b ?a 6 (3)用待定系数法确定 、b的值,
写出椭圆的标准方程 x y .
2

因此, 所求椭圆的标准方程为

10

?

2

6

? 1.

变 式1: 已 知 椭 圆 的 焦 距 为 求 椭 圆 的 标 准 方 程 。
变式2:求以对称轴为坐标轴 两点的椭圆的标准方程 。

8, 且 经 过 点 ( 0,2 6 )

且经过 A( 3 ,?2), B(?2 3 ,1)

y2 x2 变式 3:求与椭圆 ? ? 1共焦点,且过点( 2, 3)的椭圆方 9 4
求椭圆的标准方程 (1)首先要判断类型, (2)用待定系数法求a 、b


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第1节 椭圆的定义及应用
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