高中数学第二章平面向量2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.2_2.3.3知识巧解学案新人教A版必修4

2.3.2 平面向量的坐标表示及运算 2.3.3 平面向量共线的坐标表示 疱工巧解牛 知识?巧学 一、平面向量的正交分解 1.由平面向量基本定理可知, 我们选定平面中的一组不共线向量作为基底, 则这个平面内的 任意一向量都可用这组基底唯一表示.在解决实际问题时,往往根据需要,人为地选定一组 基底来表示相关的量. 如图 2-3-11,△ABC 中,D、E 分别是边 AB 、 AC 的中点. 图 2-3-11 求证:DE 1 BC. 2 证明:先选定一组基底,设 AB =a, AC =b,则 BC =b-a. 1 1 1 1 AB = a, AE = AC = b, 2 2 2 2 1 1 1 ∴ DE = AE - AD = b ? a= (b-a). 2 2 2 1 ∴ BC =2 DE ,即△ABC 中,DE BC. 2 又∵ AD = 学法一得 利用平面向量的基本定理证明向量共线的过程是: 先选好一组基底, 用该基底把 相关的向量表示出来,再根据两向量共线的条件,确定唯一的实数,证得两向量共线,其实 质是判定出两向量的方向与模的关系. 2.把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.此时,这两个互相垂直的 基底为正交基底. 二、正交分解下向量的坐标 1.向量的坐标表示 在直角坐标系中,分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i、j 作为基底,任作 一个向量 a.由平面向量基本定理知,有且只有一对实数(x,y),使得 a=xi+yj.由于向量 a 与有序实数对(x,y)是一一对应的,因此,我们就把(x,y)叫做向量 a 的(直角)坐标,记作 a=(x,y),其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标,y 叫做 a 在 y 轴上的坐标,a=(x,y)叫做向量的 坐标表示. 显然,i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0). 1 图 2-3-12 设向量 a=(x , y) , a 方向相对于 x 轴正方向的旋转角为 θ . 由三角函数的定义可知: x=|a|cosθ ,y=|a|sinθ ,即向量 a 的坐标由它的模和方向唯一确定,与它的位置无关. 2.向量坐标的唯一性 在直角坐标平面内,以原点 O 为起点作 OA =a,则点 A 的位置由 a 唯一确定. 设 OA =xi+yj,则向量 OA 的坐标(x,y)就是点 A 的坐标;反过来,点 A 的坐标(x,y) 也就是向量 OA 的坐标. 图 2-3-13 如图 2-3-13 所示, CD = OA =a, CD 向量的坐标怎样表示?由向量相等的定义可知, 对于一个向量,只要不改变它的大小和方向,是可以任意平行移动的,这就是我们常说的自 由向量.向量在移动的过程中,其坐标是不变的,此时 OA 向量的坐标等于 CD 的坐标,即 相等向量的坐标相同. 3.一一对应原理 任何一个平面向量都有唯一的坐标表示,但是每一个坐标表示的向量却不一定是唯一 的,也就是说,向量的坐标表示和向量不是一一对应的关系,但和起点为坐标原点的向量是 一一对应的关系. 由此可见,在全体有序实数对与坐标平面内的所有向量之间可以建立一一对应关系.因 此在直角坐标系中,点或向量都可以看作有序实数对的直观形象. 学法一得 ①平面向量的坐标表示是平面向量基本定理的具体运用, 其关键是在直角坐标系 的两坐标轴上取与正方向一致的两个单位向量作为基底, 用该基底把平面直角坐标系中的某 一向量表示出来. ②由于向量是可以平移的, 模相等方向相同的向量是相等的向量, 所以平面内任一向量所对 应的坐标,与把该向量的起点移至原点,终点所对应的坐标相等. 三、向量的坐标运算 1.加法运算 对于向量的加法除了用向量线性运算的结合律和分配律去证明外, 还可用几何作图的方 法予以证明.设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),求 a+b. 2 图 2-3-14 如图 2-3-14 所示, OA =a, OB =b,以 a、b 为邻边作平行四边形,则 OC =a+b. 作 BB′⊥x 轴,垂足为 B′,AA′⊥x 轴,垂足为 A′,CD⊥x 轴,垂足为 D,AC′⊥CD, 垂足为 C′. 从作图过程可知 Rt△BB′O≌Rt△CC′A.所以 OB′=AC′=A′D,BB′=CC′. 所以 C 点的坐标为 xC=OA′+A′D=x1+x2,yC=C′D+C′C=y1+y2, 即 OC =(x1+x2,y1+y2),也就是 a+b=(x1+x2,y1+y2). 也就是说:两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和. 上述结论对于三个或三个以上向量加法仍然成立. 2.减法运算 由向量线性运算的结合律和分配律,可得 a-b=(x1i+y1j)-(x2i+y2j)=(x1-x2)i+(y1-y2)j, 即 a-b=(x1-x2,y1-y2),也就是说:两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差. 类似于向量的加法运算,也可以通过作图验证减法的坐标运算规则. 3.实数与向量积的坐标 如图 2-3-15,已知 OA =a, OB =λ a,不妨设 λ >0,作 AA′⊥x 轴,BB′⊥x 轴,垂 足分别为 A′、B′. 图 2-3-15 OA OA? A?A ? ? 由△AOA′∽△BOB′,∴ . OB OB ? B ?B OA 1 ? ,OA′=x,A′A=y, 由 OB ? 1 x 1 y ∴ ? , ? ,得 OB′=λ x,B′B=λ y, ? OB ? ? BB ? 即 OB =(λ x,λ y),即 λ a=(λ x,λ y). 同理可证当 λ <0 时,结论也成立;当 λ =0 时,λ a=0,结论显然也成立. 综上所述,实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 学法一得 当 λ >0 时,λ a 所对应的坐标可看作把 a 的坐标伸长(λ >1)或缩短(0<λ < 1)到原来的 λ 倍而得到;当 λ <0 时,可看作把 a 的相反向量的坐标伸长(λ <

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