高二椭圆 综合讲解_图文
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考点 ? 大整合
1．把握椭圆的定义
平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|) 的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦 点间的距离叫做椭圆的焦距． [说明] 当常数＝|F1F2|时，轨迹为线段|F1F2|；当常数＜|F1F2| 时，轨迹不存在．
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2．牢记椭圆的标准方程及其几何意义
条件 标准方程 及图形 范围 对称性
|x|≤a；|y|≤b
曲线关于x轴、y轴、原点对称 长轴顶点(±a,0)，短轴顶点(0，±b) (±c,0)
2a＞2c，a2＝b2＋c2，a＞0，b＞0，c＞0
|x|≤b；|y|≤a
曲线关于x轴、y轴、原点对称 长轴顶点(0，±a)短轴顶点(±b,0) (0，±c)
顶点
焦点 通径 离心率 准线方程
∣AB∣=2b?/a
X=-a?/c
x=a?/c 返回导航页
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3.灵活选用求椭圆标准方程的两种方法
(1)定义法：根据椭圆定义，确定a2，b2的值，再 结合焦点位置，直接写出椭圆方程． (2)待定系数法：根据椭圆焦点是在x轴还是y轴上， 设出相应形式的标准方程， 然后根据条件确定关于a，b，c的方程组，解出a2， b2，从而写出椭圆的标准方程．
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考向大突破一：椭圆的定义及标准方程
例1：(1)(2013·长治调研)设F1，F2是椭圆: 的两个 焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝4∶3，则△PF1F2的面 积为( ) A．30 B．25 C．24 D．40
解析： (1)∵|PF1|＋|PF2|＝14， 又|PF1|∶|PF2|＝4∶3，∴|PF1|＝8，|PF2|＝6.
∵|F1F2|＝10，∴PF1⊥PF2.
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(2)(2013·全国大纲卷)已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2 且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为( )
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归纳升华
1.椭圆定义的应用主要有两个方面：一是利用定义求椭圆的标准方程； 二是利用定义求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等． 2．利用定义和余弦定理可求得|PF1|·|PF2|，再结合|PF1|2＋|PF2|2＝ (|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|进行转化，可求焦点三角形的周长和面 积．
3．当椭圆焦点位置不明确时，可设为 (m＞0，n＞ 0，m≠n)，也可设为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，且A≠B)．
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二、椭圆的几何性质
y F1
·
p
o
·
F2
x
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1.椭圆的几何性质常涉及一些不等关系，例如对椭圆 有－a≤x≤a，－b≤y≤b,0＜e＜1等，在求与椭圆有关的 一些量的范围，或者求这些量的最大值或最小值时，经常 用到这些不等关系．
(a＞b＞0)
2．求解与椭圆几何性质有关的问题时常结合图 形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想 到图形．当涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的 基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间 的内在联系．
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变式训练 2.(1)(2013·四川卷)从椭圆 (a＞b＞0)上一点P向x轴作垂线， 垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴 的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )
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(2)底面直径为12 cm的圆柱被与底面成30°的平面所截，截口是一个 椭圆，则这个椭圆的长轴长为________，短轴长为________，离心率为 ________．
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三、直线与椭圆的位置关系
(2013·全国卷Ⅱ)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M： (a＞b＞0) 右焦点的直线x＋y－ ＝0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜 率为 (1)求M的方程； (2)C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形 ACBD面积的最大值．
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(2013·全国卷Ⅱ)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M： (a＞b＞0)右焦点 的直线x＋y－ ＝0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为 (1)求M的方程； (2)C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面 积的最大值．
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归纳升华
1.判断直线与椭圆位置关系的四个步骤 第一步：确定直线与椭圆的方程； 第二步：联立直线方程与椭圆方程； 第三步：消元得出关于x(或y)的一元二次方程； 第四步：当Δ＞0时，直线与椭圆相交； 当Δ＝0时，直线与椭圆相切； 当Δ＜0时，直线与椭圆相离． 2．直线被椭圆截得的弦长公式 设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则|AB|
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3.已知椭圆C： (a＞b＞0)的离心率为 ，以原点 为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x－y＋ ＝0相切， 过点P(4,0)且不垂直于x轴的直线l与椭圆C相交于A，B两 点． (1)求椭圆C的方程；(2)求 的取值范围．
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考向大攻略：直线与椭圆综合问题的规范解答
(12分)(2013·天津卷)设椭圆 (a＞b＞0)的左焦点为F，离心率 为 ，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 . (1)求椭圆的方程； (2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交 于C，D两点，若 求k的值． 思维导图
过点F且与x轴垂 直的直线
x=-c
与椭圆方程联立
焦点坐标
弦长
b的值
椭圆
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考向大攻略：直线与椭圆综合问题的规范解答
思维导图
由（1）知 A,B坐标
设出CD的方程
关于x的一元二 次方程
x1＋x2，x1x2的值
k的值
关于k的等 式
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考向大攻略：直线与椭圆综合问题的规范解答
失 分 警 示
解答本题的失分点是：
解决直线与椭圆的综合问题时，还易出现下列问题： 学 习 建 议 (1)求圆锥曲线方程时，易出现对曲线的焦点位置判断 不明，导致所求方程错误． (2)求直线与圆锥曲线的关系时，易忽视对直线斜率不 存在的情况进行讨论． (3)把直线方程代入曲线方程时，易出现计算性错误.
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