高考数学二轮复习第二篇熟练规范中档大题保高分第24练数列的综合问题课件_图文

第二篇 熟练规范 中档大题保高分 第24练 数列的综合问 题 明考情 数列与函数方程、方程不等式的综合问题是高考的重点,往 往和数列的通项、求和结合考查,在高考中经常出现. 知考向 1.数列与函数的综合. 2.数列与不等式的综合. 3.数列与其他知识的综合. 栏目 索引 研透考点 练 练 核心考点突破 模板答题规范 规范解答 研透考点 核心考点突破练 考点一 数列与函数的综合 方法技巧 (1)以函数为背景的数列问题,一般要利用函数的性 质图象进行转化,得出数列的通项或递推关系. (2)数列中的函数问题,一般利用数列的性质研究函数的性质, 用函数思想求解数列问题. x 1.设函数 f(x)=2+sin x 的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{xn}. (1)求数列{xn}的通项公式; x 解 f(x)=2+sin x, 1 2π 令 f′(x)=2+cos x=0,得 x=2kπ± 3 (k∈Z). 2π 2π 由 f′(x)>0?2kπ- 3 <x<2kπ+ 3 (k∈Z), 2π 4π 由 f′(x)<0?2kπ+ 3 <x<2kπ+ 3 (k∈Z), 2π 当 x=2kπ- 3 (k∈Z)时,f(x)取得极小值, 2π 所以 xn=2nπ- 3 (n∈N*). 1 2 3 解答 ? 1 ? xn (2)令 bn=2π,求数列?b b ?的前 n 项和 Sn. ? n n+1? 1 3n-1 xn 解 因为 bn=2π=n-3= 3 , ? 1 1 ? 1 3 3 所以 = · =3?3n-1-3n+2?, bnbn+1 3n-1 3n+2 ? ? ?1 1 1 1 1 1 ? ?1 1 ? 9n 所以 Sn=3?2-5+5-8+…+3n-1-3n+2?=3?2-3n+2?= . ? ? ? ? 6n+4 1 2 3 解答 2.已知定义域为R的二次函数f(x)的最小值为0,且有f(1+x)=f(1 -x),直线g(x)=4(x-1)的图象被f(x)的图象截得的弦长为 数列{an}满足a1=2,(an+1-an)· g(an)+f(an)=0(n∈N*). (1)求函数f(x)的解析式; 4 17 , 解 设f(x)=a(x-1)2(a>0), ?4 16?? ? 则直线 g(x)=4(x-1)的图象与 y=f(x)的图象的两个交点为(1,0),?a+1, a ?. ? ? 因为 ?4? ? ? ? ?2 ?16?2 ? ? +? ? =4 ?a? ?a? 17(a>0), 所以a=1, 所以f(x)=(x-1)2. 1 2 3 解答 (2)求数列{an}的通项公式; 解 f(an)=(an-1)2,g(an)=4(an-1), 因为(an+1-an)· 4(an-1)+(an-1)2=0, 所以(an-1)(4an+1-3an-1)=0. 因为a1=2,所以an≠1,所以4an+1-3an-1=0, 3 所以 an+1-1=4(an-1),且 a1-1=1, 3 所以数列{an-1}是首项为 1,公比为4的等比数列, ?3? ?3? ? ?n-1 ? ?n-1 所以 an-1=?4? ,即 an=?4? +1. ? ? ? ? 1 2 3 解答 (3)设bn=3f(an)-g(an+1),求数列{bn}的最值及相应的n. 解 bn=3(an-1)2-4(an+1-1), ?3? ? ?n-1 令 bn=y,u=?4? , ? ? ?? 1??2 1?? ?? 1??2 3 ?? 则 y=3??u-2? -4?=3?u-2? -4. ? ? ? ?? ? 3 9 27 因为 n∈N ,所以 u 的值分别为 1,4,16,64,…, 9 1 经比较16距2最近, 189 所以当 n=3 时,bn 有最小值-256, * 当n=1时,bn有最大值0. 1 2 3 解答 1 3.已知函数 f(x)满足 f(x+y)=f(x)· f(y)且 f(1)=2. (1)当n∈N*时,求f(n)的表达式; 1 解 令 x=n,y=1,得 f(n+1)=f(n)· f(1)=2f(n), 1 1 ∴{f(n)}是首项为2,公比为2的等比数列, ?1? ∴f(n)=??2??n. ? ? 1 2 3 解答 (2)设an=n· f(n),n∈N*,求证:a1+a2+a3+…+an<2; 证明 设Tn为{an}的前n项和, ?1? ? ?n ∵an=n· f(n)=n· ? ?, ?2? ?1? 1 ??1??2 ??1??3 ? ?n ∴Tn=2+2· ? ? +3· ? ? +…+n· ? ?, 2 2 ? ? ? ? ?2? ?1? ?1? 1 ??1??2 ??1??3 ??1??4 ? ?n ? ?n+1 ? ? +3· ? ? +…+(n-1)· ? ? +n· ? ? , 2 2 2 2Tn=??2?? +2· ? ? ? ? ? ? ?2? ?1? ?1? 1 1 ??1??2 ??1??3 ? ?n ? ?n+1 两式相减,得2Tn=2+?2? +?2? +…+?2? -n· ? ? , ? ? ? ? ? ? ?2? ?1? ?1? ? ?n ∴Tn=2-??2??n-1-n· ? ? <2. ? ? ?2? 即a1+a2+a3+…+an<2. 1 2 3 证明 f?n+1? (3)设 bn=(9-n) ,n∈N*,Sn 为{bn}的前 n 项和,当 Sn 最大时,求 n 的值. f?n? 解 ?1? ∵f(n)=??2??n, ? ? ?1? ? ?n+1 ? ? f?n+1? 9-n ?2? ∴bn=(9-n) =(9-n) ?1? = 2 , f? n ? ? ?n ? ? ?2? ∴当n≤8时,bn>0; 当n=9时,bn=0; 当n>9时,bn<0. ∴当n=8或

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