2016年全国高中数学联赛(B卷)试题及答案

2016 年全国高中数学联赛(B 卷)试题及答案 一试
一、选择题: (每小题 8 分,共 64 分) 1.等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且 a1a3 ? a2 a6 ? 2a32 ? 36, 则 a2 ? a4 的值为. 答案:6. 解:由于 36 ? a1a3 ? a2 a6 ? 2a32 ? a22 ? a42 ? 2a2a4 ? ? a2 ? a4 ? , 且 a2 ? a4 ? 0, 故 a2 ? a4 ? 6.
2

另解:设等比数列的公比为 q ,则 a2 ? a6 ? a1q ? a1q5 . 又因

36 ? a1a3 ? a2 a6 ? 2a32 ? a1 ? a1q 2 ? a1q ? a1q5 ? 2 a1q 2 ? ? a1q ? ? 2 ? a1q ? a1q3
2 3 2 3 2 1 1 1

? ? ? ?a q ? ? ?a q ? a q ? ? ?a

2

2

? a4 ? ,
2

而 a2 ? a4 ? 0 ,从而 a2 ? a4 ? 6. 2.设 A ? ?a | ?1 ? a ? 2? ,则平面点集 B ? ?? x, y ? | x, y ? A, x ? y ? 0? 的面积为. 答案:7. 解:点集 B 如图中阴影部分所示,其面积为
1 S正方形MNPQ ? S?MRS ? 3 ? 3 ? ? 2 ? 2 ? 7. 2

3.已知复数 z 满足 z 2 ? 2 z ? z ? z ( z 表示 z 的共轭复数) ,则 z 的所有可能值的积为. 答案:3. 解:设 z ? a ? bi ? a, b ? R ? . 由 z 2 ? 2 z ? z 知,
a2 ? b2 ? 2abi ? 2a ? 2bi ? a ? bi,

比较虚、实部得 a 2 ? b2 ? a ? 0, 2ab ? 3b ? 0. 又由 z ? z 知 b ? 0 ,从而有
3 3 2a ? 3 ? 0, 即 a ? ? ,进而 b ? ? a 2 ? a ? ? . 2 2

? 3 3 ?? 3 3 ? i ?? ? ? i ? 3. 于是,满足条件的复数 z 的积为 ? ? ? ? 2 2 ?? 2 2 ? ? ? ?? ?
1

4.已知 f ? x ? , g ? x ? 均为定义在 R 上的函数, f ? x ? 的图像关于直线 x ? 1 对称, g ? x ? 的图像关于点 ?1, ?2? 中心对称,且 f ? x ? ? g ? x ? ? 9x ? x3 ? 1 ,则 f ? 2? g ? 2? 的值为. 答案:2016. 解:由条件知

f ? 0? ? g ? 0? ? 2, ① f ? 2? ? g ? 2? ? 81 ? 8 ? 1 ? 90. ②
由 f ? x ? , g ? x ? 图像的对称性,可得 f ? 0? ? f ? 2? , g ? 0? ? g ? 2? ? ?4, 结合①知,

f ? 2? ? g ? 2? ? 4 ? f ? 0? ? g ? 0? ? 2. ③
由②、③解得 f ? 2? ? 48, g ? 2? ? 42, 从而 f ? 2? g ? 2? ? 48 ? 42 ? 2016. 另解:因为

f ? x ? ? g ? x ? ? 9x ? x3 ? 1 ,①
所以

f ? 2? ? g ? 2? ? 90. ②
因为 f ? x ? 的图像关于直线 x ? 1 对称,所以

f ? x ? ? f ? 2 ? x ?. ③
又因为 g ? x ? 的图像关于点 ?1, ?2? 中心对称,所以函数 h ? x ? ? g ? x ? 1? ? 2 是奇函数, h ? ? x? ? ?h? x? ,

g ? ?x ? 1? ? 2 ? ? ? ? g ? x ? 1? ? 2? ? ,从而
g ? x ? ? ? g ? 2 ? x ? ? 4. ④
将③、④代入①,再移项,得

f ? 2 ? x ? ? g ? 2 ? x ? ? 9x ? x3 ? 5. ⑤
在⑤式中令 x ? 0 ,得

f ? 2? ? g ? 2? ? 6. ⑥
由②、⑥解得 f ? 2? ? 48, g ? 2? ? 46. 于是 f ? 2? g ? 2? ? 2016. 5.将红、黄、蓝 3 个球随机放入 5 个不同的盒子 A, B, C , D, E 中,恰有两个球放在同一盒子的概率为. 解:样本空间中有 53 ? 125 个元素.而满足恰有两个球放在同一盒子的元素个数为 60 12 2 C32 ? P ? . 5 ? 60. 过所求的概率为 p ? 125 25 6.在平面直角坐标系 xOy 中, 圆 C1 : x2 ? y 2 ? a ? 0 关于直线 l 对称的圆为 C2 : x2 ? y 2 ? 2 x ? 2ay ? 3 ? 0, 则
2

直线 l 的方程为. 答案: 2 x ? 4 y ? 5 ? 0. 解: C1 , C2 的标准方程分别为

C1 : x2 ? y2 ? 1, C2 : ? x ? 1? ? ? y ? a ? ? a2 ? 2.
2 2

由于两圆关于直线 l 对称,所以它们的半径相等.因此 a ? a 2 ? 2 ? 0, 解得 a ? 2. 故 C1 , C2 的圆心分别是
? 1 ? O1 ? 0,0? , O2 ? ?1,2?. 直线 l 就是线段 O1O2 的垂直平分线,它通过 O1O2 的中点 M ? ? ,1? ,由此可得直线 l 的方 ? 2 ? 程是 2 x ? 4 y ? 5 ? 0.

7.已知正四棱锥 V - ABCD 的高等于 AB 长度的一半, M 是侧棱 VB 的中点, N 是侧棱 VD 上点,满足
DN ? 2VN ,则异面直线 AM , BN 所成角的余弦值为.

??? ? ??? ? ???? 解:如图,以底面 ABCD 的中心 O 为坐标原点, AB, BC, OV 的方向为 x, y, z 轴的正向,

z
V N D O A B M C

y

x

建立空间直角坐标系.不妨设 AB ? 2, 此时高 VO ? 1, 从而

A? ?1, ?1,0? , B ?1, ?1,0? , D ? ?1,1,0? ,V ? 0,0,1?.
?1 1 1? ? 1 1 2? 由条件知 M ? , ? , ? , N ? ? , , ? ,因此 ?2 2 2? ? 3 3 3? ???? ? ? 3 1 1 ? ???? ? 4 4 2 ? AM ? ? , , ? , BN ? ? ? , , ? . ?2 2 2? ? 3 3 3? 设异面直线 AM , BN 所成的角为 ? ,则 ???? ? ???? AM ? BN ?1 11 cos ? ? ???? ? . ? ???? ? 11 11 AM ? BN ?2 2 ? n ? ? n ? ? n? ? n ? 8.设正整数 n 满足 n ? 2016 ,且 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 .这样的 n 的个数为.这里 ?x? ? x ? ? x? ,其 ? 2 ? ? 4 ? ? 6 ? ? 12 ?

中 ? x ? 表示不超过 x 的最大整数.
3

解:由于对任意整数 n ,有 ? n ? ? n ? ? n ? ? n ? 1 3 5 11 ? 3, ? ??? ??? ??? ?? ? ? ? ? 2 ? ? 4 ? ? 6 ? ?12 ? 2 4 6 12
6 ,满足条件的所有正整数为 等 号 成 立 的 充 分 必 要 条 件 是 n ? ?1? mod12? , 结 合 1 ? n ? 2 0 1 知

n ? 12k ? 1? k ? 1,2,?,168? , 共有 168 个.
?x? ?y? 另解:首先注意到,若 m 为正整数,则对任意整数 x, y ,若 x ? y ? mod m ? ,则 ? ? ? ? ? . 这是因为, ?m? ?m?

当 x ? y ? mod m ? 时, x ? y ? mt ,这里 t 是一个整数,故
y? y ?y? ?y? ? x ? x ? x ? y ? mt ? y ? mt ? y ? ?? ? ?? ?? ?? ? ? m ? t ? ?t ? m ? ? m ? ? m ? ? ? m ? . m m m m m ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

因此,当整数 n1 , n2 满足 n1 ? n2 ? mod12? 时,
? n1 ? ? n1 ? ? n1 ? ? n1 ? ? n2 ? ? n2 ? ? n2 ? ? n2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. ? 2 ? ? 4 ? ? 6 ? ?12 ? ? 2 ? ? 4 ? ? 6 ? ?12 ? ?n? ?n? ?n? ? n ? 容易验证,当正整数满足 1 ? n ? 12 时,只有当 n ? 11 时,等式 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 才成立.而 ? 2 ? ? 4 ? ? 6 ? ?12 ? ?n? ?n? ?n? ? n ? 2016 ? 12? 168,故当 1 ? n ? 2016 时,满足 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 正整数 n 的个数为 168. ? 2 ? ? 4 ? ? 6 ? ?12 ?

二、解答题: (共 3 小题,共 56 分) 9.(16 分)已知 ?an ? 是各项均为正数的等比数列,且 a50 , a51 是方程

100lg2 x ? lg ?100 x ?
的两个不同的解,求 a1a2 ? a100 的值. 解对 k ? 50,51 ,有 100lg2 ak ? lg ?100ak ? ? 2 ? lg ak , 即

100 ? lg ak ? ? lg ak ? 2 ? 0.
2

因此, lg a50 ,lg a51 是一元二次方程 100t 2 ? t ? 2 ? 0 的两个不同实根,从而
lg ? a50 a51 ? ? lg a50 ? lg a51 ? 1 , 即 a50 a51 ? 10100 . 100
50
1

由等比数列的性质知, a1a2 ?a100 ? ? a50 a51 ?

? 1 ? ? ?10100 ? ? 10. ? ?

50

??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 10.(20 分)在 ? ABC 中,已知 AB ? AC ? 2BA ? BC ? 3CA ? CB.

(1)将 BC , CA, AB 的长分别记为 a , b, c ,证明: a 2 ? 2b 2 ? 3c 2 ; (2)求 cos C 的最小值.

4

??? ? ???? b2 ? c 2 ? a 2 解 (1)由数量积的定义及余弦定理知, AB ? AC ? cb cos A ? . 2 ??? ? ??? ? a2 ? c2 ? b2 ??? ? ??? ? a 2 ? b2 ? c 2 同理得, BA ? BC ? , CA ? CB ? . 故已知条件化为 2 2

b2 ? c 2 ? a 2 ? 2 a 2 ? c 2 ? b2 ? 3 a 2 ? b2 ? c 2 ,
即 a 2 ? 2b2 ? 3c2 . (2)由余弦定理及基本不等式,得

?

? ?

?

1 a 2 ? b 2 ? a 2 ? 2b 2 a 2 ? b2 ? c 2 3 cos C ? ? 2ab 2ab a b a b 2 ? ? ?2 ? ? , 3b 6a 3b 6a 3

?

?

等号成立当且仅当 a : b : c ? 3 : 6 : 5. 因此 cos C 的最小值为

2 . 3

11.(20 分)在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 C 的方程为 x2 ? y 2 ? 1 .求符合以下要求的所有大于 1 的 实数 a :过点 ? a,0 ? 任意作两条互相垂直的直线 l1 与 l2 ,若 l1 与双曲线 C 交于 P, Q 两点, l2 与 C 交于 R, S 两 点,则总有 PQ ? RS 成立. 解过点 ? a,0 ? 作两条互相垂直的直线 l1 : x ? a 与 l2 : y ? 0. 易知,l1 与 C 交于点 P0 a, a 2 ? 1 , Q0 a, ? a 2 ? 1 (注意这里 a ? 1 ) ,l2 与 C 交于点 R0 ?1,0? , S0 ? ?1,0? , 由
2. 条件知 2 a2 ? 1 ? PQ 0 0 ? R0 S0 ? 2 ,解得 a ?

?

? ?

?

这意味着符合条件的 a 只可能为 2. 下面验证 a ? 2 符合条件. 事实上,当 l1 , l2 中有某条直线斜率不存在时,则可设 l1 : x ? a, l2 : y ? 0 ,就是前面所讨论的 l1 , l2 的情况, 这时有 PQ ? RS . 若 l1 , l2 的斜率都存在,不妨设
l1 : y ? k x ? 2 , l2 : y ? ?

?

?

1 x ? 2 ? k ? 0? , k

?

?

注意这里 k ? ?1 (否则 l1 将与 C 的渐近线平行,从而 l1 与 C 只有一个交点) . 联立 l1 与 C 的方程知, x2 ? k 2 x ? 2

?

?

2

? 1 ? 0, 即

?1 ? k ? x
2

2

? 2 2k 2 x ? 2k 2 ? 1 ? 0,

这是一个二次方程式,其判别式为 ? ? 4k 2 ? 4 ? 0 .故 l1 与 C 有两个不同的交点 P, Q .同样, l2 与 C 也有两
5

个不同的交点 R, S . 由弦长公式知,

PQ ? 1 ? k 2 ?

4k 2 ? 4 1? k2

? 2?

1? k2 . 1? k2
?2

1 ? ? ?k ? k2 ?1 1 ? 2 . 于是 PQ ? RS . 用 ? 代替 k ,同理可得 RS ? 2 ? ?2 k2 ?1 k 1 ? ? ?k ?

综上所述, a ? 2 为符合条件的值.

加试
一、 (40 分)非负实数 x1 , x2 ,?, x2016 和实数 y1 , y2 ,?, y2016 满足: (1) xk 2 ? yk 2 ? 1, k ? 1,2,?,2016 ; (2) y1 ? y2 ? ? ? y2016 是奇数. 求 x1 ? x2 ? ? ? x2016 的最小值. 解:由已知条件(1)可得: xk ? 1, yk ? 1, k ? 1,2,?,2016, 于是(注意 xi ? 0 )
2016 k ?1

?x ??x
k k ?1

2016

2

k

? ? 1 ? yk 2 ? 2016 ? ? yk 2 ? 2016 ? ? yk . ①
k ?1 k ?1 k ?1

2016

?

?

2016

2016

不妨设 y1 ,?, ym ? 0, ym?1 ,?, y2016 ? 0,0 ? m ? 2016, 则

?y
k ?1 m k ?1

m

k

? m, ?

2016 k ? m ?1

?

yk ? 2016 ? m. yk ? 2015 ? m, 令

若 ? yk ? m ? 1 ,并且 ?

2016 k ? m ?1

?

? yk ? m ? 1 ? a , ?
k ?1

m

2016 k ? m ?1

?

yk ? 2015 ? m ? b,

则 0 ? a, b ? 1, 于是
2016 k ?1

? yk ? ? yk ?
k ?1

m

2016 k ? m ?1

?

yk ? m ? 1 ? a ? ? 2015 ? m ? b ?

? 2m ? 2016 ? a ? b,

由条件(2)知, ? yk 是奇数,所以 a ? b 是奇数,这与 0 ? a, b ? 1 矛盾.
k ?1

2016

因此必有 ? yk ? m ? 1 ,或者 ?
k ?1 2016

m

2016 k ? m ?1

?

yk ? 2015 ? m, 则

?
k ?1

yk ? ? yk ?
k ?1 2016 k ?1

m

2016 k ? m ?1

?

yk ? 2015.

于是结合①得 ? xk ? 1.

6

又当 x1 ? x2 ? ? ? x2015 ? 0, x2016 ? 1, y1 ? y2 ? ? ? y2015 ? 1, y2016 ? 0 时满足题设条件,且使得不等式等号成 立,所以 x1 ? x2 ? ? ? x2016 的最小值为 1. 二、 (40 分)设 n, k 是正整数,且 n 是奇数.已知 2 n 的不超过 k 的正约数的个数为奇数,证明: 2 n 有 一个约数 d ,满足 k ? d ? 2k . 证明:记 A ? ?d | d | 2n,0 ? d ? k , d是奇数? , B ? ?d | d | 2n,0 ? d ? k , d是偶数? ,则 A ? B ? ?, 2n 的不超 过 k 的正约数的集合是 A ? B. 若结论不成立,我们证明 A ? B . 对d ? A, 因为 d 是奇数, 故 2d | 2 n , 又 2d ? 2k , 而 2 n 没有在区间 ? k ,2k ? 中的约数, 故 2d ? k , 即 2d ? B , 故 A ? B. 反过来,对 d ? B ,设 d ? 2 d ? ,则 d ? | n , d ? 是奇数,又 d ? ?
k ? k ,故 d ? ? A, 从而 B ? A . 2

所以 A ? B . 故 2 n 的不超过 k 的正约数的个数为偶数,与已知矛盾.从而结论成立. 三、 ( 50 分)如图所示, ABCD 是平行四边形, G 是 ?ABD 的重心,点 P, Q 在直线 BD 上,使得 GP ? PC , GQ ? QC. 证明: AG 平分 ?PAQ.

P D G A B Q
解:连接 AC ,与 BD 交于点 M . 由平行四边形的性质,点 M 是 AC , BD 的中点.因此,

C

P C D G A M B O

Q
7

点 G 在线段 AC 上. 由于 ?GPC ? ?GQC ? 90? ,所以 P, G, Q, C 四点共圆,并且其外接圆是以 GC 为直径的圆.由相交弦定理知
PM ? MQ ? GM ? MC. ①

取 GC 的中点 O. 注意到 AG : GM : MC ? 2 :1: 3, 故有
1 OC ? GC ? AG, 2 因此 G, O 关于点 M 对称.于是
GM ? MC ? AM ? MO. ② 结合①、②,有 PM ? MQ ? AM ? MO ,因此 A, P, O, Q 四点共圆.

1 又 OP ? OQ ? GC, 所以 ?PAO ? ?QAO ,即 AG 平分 ?PAQ. 2

四、 (50 分)设 A 是任意一个 11 元实数集合.令集合 B ? ?uv | u, v ? A, u ? v?. 求 B 的元素个数的最小值. 解:先证明 B ? 17. 考虑到将 A 中的所有元素均变为原来的相反数时,集合 B 不变,故不妨设 A 中正数 个数不少于负数个数.下面分类讨论: 情况一: A 中没有负数. 设 a1 ? a2 ? ? ? a11 是 A 中的全部元素,这里 a1 ? 0, a2 ? 0, 于是
a1a2 ? a2 a3 ? a2 a4 ? ? ? a2 a11 ? a3a11 ? ? ? a10 a11 ,

上式从小到大共有 1 ? 9 ? 8 ? 18 个数,它们均是 B 的元素,这表明 B ? 18. 情况二: A 中至少有一个负数. 设 b1 , b2 ,?, bk 是 A 中的全部非负元素, c1 , c2 ,?, cl 是 A 中的全部负元素.不妨设
cl ? ? ? c1 ? 0 ? b1 ? ? ? bk ,

其中 k , l 为正整数, k ? l ? 11 ,而 k ? l ,故 k ? 6. 于是有
c1b1 ? c1b2 ? ? ? c1bk ? c2bk ? ? ? cl bk ,

它们是 B 中的 k ? l ? 1 ? 10 个元素,且非正数;又有
b2b3 ? b2b4 ? b2b5 ? b2b6 ? b3b6 ? b4b6 ? b5b6 ,

它们是 B 中的 7 个元素,且为正数.故 B ? 10 ? 7 ? 17. 由此可知, B ? 17. 另一方面,令 A ? 0, ?1, ?2, ?22 , ?23 , ?24 , 则

?

?

B ? 0, ?1, ?2, ?22 , ?23 ,?, ?26 , ?27 , ?28

?

?

是个 17 元集合. 综上所述, B 的元素个数的最小值为 17.
8


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